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河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月
期末测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ）
A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4
7．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（ ）

A． B． C． D．
8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为虚数单位，已知复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若点G是的重心，则
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ）
A． B．
C．当时，平面 D．当平面时，
三、填空题
12．甲 乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________.
13．在中，，，，的角平分线交于D，则_________
14．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________．
四、解答题
15．已知向量．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若向量，若与共线，求．
16．如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
17．已知在中，，，．
(1)求；
(2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求．
18．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)估计这批蜜桔的平均质量；
(3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？
19．若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体．
(1)求证：；
(2)求与平面的夹角的正弦值；
(3)设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值．
《河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B B A C A BD BCD
题号 11
答案 BC
1．A
2．C
3．B
4．B
5．B
6．A
7．C
8．A
9．BD
10．BCD
11．BC
12．
13．
14．2
15．(1)
(2)
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
17．(1)
(2)
18．(1)
(2)
(3)95克
19．(1)设点在平面的投影为，连接．
在三角形中，，即翻折后与不垂直，
从而,不重合，由是的垂心得，
因为平面平面，所以，
又因为，平面，所以平面.
因为平面，所以．
(2)；
(3)时，取得最小值．

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