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吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第三学程考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ）
A．事件A和相等 B．事件A和互相对立
C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥
4．某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ）
A．身高在区间的男生比女生多人
B．B组中男生和女生占比相同
C．超过一半的男生身高在以上
D．女生身高在组的人数有人
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
6．孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（ ）杯．
A．13 B．14 C．15 D．16
7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，，若有两解，则
C．若，则
D．若，，则面积最大值为
10．在以下命题中正确的是（ ）
A．一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的分位数为11
B．已知，，，的方差为4，则，，，的方差为8
C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D．已知，，则在上的投影向量坐标为
11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，点是侧面内一动点，是上一动点，以上动点都含边界．则下列说法正确的为（ ）
A．若平面，则的轨迹长度为
B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是
C．当时，若保持，则点的运动轨迹长度
D．的最小值为
三、填空题
12．某高中调研学生对世界杯的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是__________．
13．已知四面体的个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．
14．在锐角 中，角， ， 的对边分别为 ，，， 的面积，则的取值范围为______．
四、解答题
15．已知的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)设，，求.
16．如图，平行六面体中，与相交于，设，，.
(1)用表示；
(2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求．
17．学校组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求的值；
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果四舍五入取整数）；
(3)学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
18．如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．
(1)证明：平面平面；
(2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求．
19．在三棱锥中，已知、均是边长为的正三角形，棱．为侧棱上一点．
(1)现对，两个顶点随机贴上写有数字四个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，求事件“为偶数”的概率；
(2)现对，两个顶点随机贴上写有数字八个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，若，求“二面角的平面角大于”的概率．
《吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第三学程考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D D C B C ABD ACD
题号 11
答案 ABD
1．A
2．D
3．D
4．D
5．D
6．C
7．B
8．C
9．ABD
10．ACD
11．ABD
12．
24
13．
14．
15．(1)
(2)
16．(1)
(2)
17．(1)
(2)平均数为，中位数为
(3)
18．(1)证明：因为，
所以，，所以
又，且平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面.
(2)；
(3).
19．(1)
(2)

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