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山东临沂市2025-2026学年高一下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知；则（ ）
A． B． C． D．
2．空间中，下列结论正确的是（ ）
A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行
3．超市有A，B两种品牌的羽毛球拍，甲、乙两人各购买一支羽毛球拍，若甲、乙买A品牌羽毛球拍的概率分别是0.6，0.5，则甲、乙两人买相同品牌羽毛球拍的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
4．甲，乙两人在一次射击比赛中各射靶次，两人射击成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲射击成绩的极差等于乙射击成绩的极差
B．甲射击成绩的平均数小于乙射击成绩的平均数
C．甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的中位数
D．甲射击成绩的第百分位数大于乙射击成绩的众数
5．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，高为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点，分别在边，上，且，，若与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．在正四棱锥中，，，给出以下判断：①直线与所成角为；②二面角的大小为；③直线与平面所成角的余弦值为；④直线与平面的距离为．其中判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．希腊数学家克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据上述材料，解决如下问题：如图，在平面四边形中，，，，若，则当取得最小值时，（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、多选题
9．下列关于复数的结论正确的是（ ）
A．若，则的实部是3
B．若，则
C．是方程的一个根
D．若满足，则
10．袋中有5个质地均匀的小球，其中两个红球标号为1，2，三个白球标号为3，4，5，则（ ）
A．任取3个小球，标号之和大于6是必然事件
B．任取3个小球，标号之和小于6是不可能事件
C．任取2个小球，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件
D．任取2个小球，“两球标号之和是3的倍数”与“两球标号之积大于6”相互独立
11．正方体的外接球的表面积为，则（ ）
A．
B．
C．若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为
D．若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为
三、填空题
12．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4
乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1
分别计算平均数和标准差，从计算结果看，性能更好的机床是______．
13．在体积为的圆柱内放入一个球，则该球表面积的最大值为______．
14．已知为的外心，为内一点，且，若，，则______．
四、解答题
15．已知平面向量，，，，是单位向量，．
(1)若与共线，求的坐标；
(2)若，与的夹角为，求．
16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若完成5局比赛未出现连胜两局者，则胜场较多者赢得比赛．假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．
(1)求3局比赛结束后甲赢得比赛的概率；
(2)求第5局比赛结束后乙赢得比赛的概率．
17．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若，且边上的高为1，求的周长．
18．蒙山主峰龟蒙顶海拔1156米，是沂蒙山区的最高峰，也是山东省第二高峰．蒙山有云蒙、龟蒙、天蒙三个景区，临沂文旅集团精心策划主题活动，2026年“五一”假期来蒙山旅游观光的人数突破22万人．某数学兴趣小组为了解游客旅游体验满意度，随机调查了600名来蒙山旅游的游客，被调查的游客根据旅游体验给出满意度分值T（满分100分），兴趣小组将收集到的数据分成五段：，，，，，处理后绘制了如下频率分布直方图．
(1)求图中的值并估计600名游客满意度分值的中位数（结果用分数表示）；
(2)已知在的平均数，方差，在的平均数，方差，试求被调查的600名游客的满意度分值的平均数及方差；
(3)按比例分配的分层抽样方法从分值在，两组中抽取6名游客，再从这6名游客中随机抽取2名，求恰好2名游客给出满意度分值都不小于90的概率．
19．如图，在正三棱柱中，是的中点．
(1)证明：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
(3)若，直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
《山东临沂市2025-2026学年高一下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A A B B ABD BCD
题号 11
答案 BC
1．C
2．D
3．B
4．D
5．A
6．A
7．B
8．B
9．ABD
10．BCD
11．BC
12．乙机床.
13．
14．/
15．(1)
或
(2)
16．(1)
(2)
17．(1).
(2)的周长为
18．(1)，中位数；
(2)平均数，方差；
(3).
19．(1)证明：在正三棱柱中，是正三角形，是的中点，
所以，
又因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，
所以，因为，
所以平面，因为平面，
所以
(2)棱上存在点，使得平面，；
(3)；

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