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山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知是正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．展开式中的系数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有（ ）
A．540种 B．450种 C．360种 D．90种
8．已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正实数，满足，则（ ）
A． B．的最大值为16
C．的最小值为9 D．的最小值为3
11．六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数．《礼记·射义》：“射者，仁之道也．射求正诸己，己正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”．若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭．已知甲每次射箭命中的概率均为，乙每次射箭命中的概率均为．由抽签确定第1次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选项正确的是（ ）
A．第3次射箭的人是甲的概率为
B．在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙的概率为
C．在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为
D．若第次射箭的人是甲的概率为，则
三、填空题
12．若，则_____.
13．已知，则_____．
14．定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知集合，集合或．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
16．某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中学生进行问卷调查，统计表格数据如下：
初中 高中 合计
男 270 230
女 230 230
合计
(1)完成表格数据，并根据小概率值的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在年级差异
(2)每日锻炼对身心健康有显著影响.已知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为，现随机抽取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的．
(1)求小明可以背诵2首古诗的概率；
(2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差；
(3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？
18．某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）.
(1)求的表达式；
(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？
19．当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
30.5 15 15 46.5
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
(3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
附：若随机变量，则，.
《山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D B C A B CD AC
题号 11
答案 ACD
1．B
2．A
3．D
4．D
5．B
6．C
7．A
8．B
9．CD
10．AC
11．ACD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
或
16．(1)
初中 高中 合计
男 270 230 500
女 230 230 460
合计 500 460 960
不存在年级差异
(2)0.9831
17．(1)
(2)
分布列为：
期望，方差
(3)
选小明同学代表班级参加总决赛更合适
18．(1)
(2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元
19．(1)更适合作为关于的回归方程类型，
(2)54千万元
(3)11.36元

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