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高考数学平面向量六大核心解题大招3：矩形大法
大招总结
矩形大法:已知为矩形所在平面内任意一点(即使在矩形外也成立,甚至在空间中),则有,我们可以用三种方法来证明:
方法一:勾股定理
如图,
是矩形里的一点,连接,过做两条直线
分别平行于.由勾股定理可知,,
易知
方法二:建立直角坐标系
以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系,设,则:
所以
所以
方法三:向量法
如图:
在矩形中,
所以
又因为
典型例题
例1.(2026春-启东市校级月考)已知圆,圆,定点
,动点分别在圆和圆上,满足,则线段的取值范围________.
解:方法1:设、,则
设中点为,则,
∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆,
∴的取值范围是,
故,
故的范围为,
故答案为:.
方法2:构造矩形,根据矩形所满足的性质可得
,所以,即,所以点在以原点为圆心,半径为的圆上运动,故
,即,所以点在以原点为圆心,半径为的圆上运动,故
又因为,所以
例2.(2018-青浦区一模)在平面直角坐标系中,已知两圆和,又点A坐标为是.上的动点,为上的动点,则四边形能构成矩形的个数为( )
A.0个
B.2个
C.4个
D.无数个
解：解方法1:如图所示,任取圆上一点,以为直径画圆,
交圆与、两点,若,即可得出四边形是矩形,
由的任意性知,四边形能构成无数个矩形
方法2:取中点,联结,
既
∵点的轨迹方程为,设点,
∵为中点,∴,带入点的轨迹方程,得,∴上的每个点都符合题意
方法三:当四边形构成矩形时,有,因为、是上的动点,为上的动点,则点坐标为,故,该等式成立,所以满足该条件的矩形有无数个.故选D.
例3.(2012-江西)在直角三角形中,点是斜边的中点,点为线段的中点,则
( )
A.2
B.4
C.5
D.10
解：解方法以为原点,所在直线为轴,建立如图坐标系,
∵是Rt的斜边,
∴以为直径的圆必定经过点
设,则
∵点为线段的中点,
∴
可得
又∵点为线段的中点,
所以:，故选D.
方法2:构造矩形,根据矩形的性质,有,又因为可得
若平面向量满足,且,则的最小值是（ ）
A.1
B.
C.
D.
解：解方法1:由得,等式两边平方得:
令,上式可化为:即
∴,即
∴,
方法2:设,由,得,可以构造矩形,则有,可得,则,即
故选B.
运用"矩形大法“解向量模取值范围问题
例5.(-漳州模拟)已知,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
解:如图1,作,则
以为两邻边构造矩形,由矩形性质得
,因为,代入上式得,
,而
即
故的取值范围是,于是选.
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1.(2013-重庆)在平面上,.若,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
方法 1: 根据条件知 构成一个矩形 , 以 所在直线为坐 标轴建立直角坐标系, 设 , 点 的坐标为 , 则点 的坐标 为 ,
由 , 得 , 则 ∵ ∴ (1) ∵, 同理 , ∴
∴
由(1)(2)知 ,
∵, 故选 D.
方法 构成一个矩形 , 根据矩形所满足的性质 , 即
, 因为 的取值范围为 , 可知 的取值范围为
2.(2012秋-霍邱县校级月考)已知向量满足,则的取值范围为_____.
答案：方法 1: ∵ 向量 满足 ,
∴,
∴, 展开为 ,
∴.
∵.
故 的取值范围为 . 故答案为 .
方法 2 : 设 , 由 , 则 ;
过点 作平行于 的直线, 过点 作平行于 的直线, 两直线相交于点 , 则四边形 为矩形,
根据矩形的性质, 有 , 所以 ,
, 又因为 ,
所以 :
(2015秋-温州校级期中)已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点,使,则矩形的顶点的轨迹方程为_____________.
答案：
方法 1 : 设 , 又 ,
则 .
由 , 得 , 即 .
整理得: ,
即 (D)
又 ∵ 点 、 在圆上, ∴ (2)
再由 , 得 ,
整理得:
把(1)(2)代人(3)得: .
∴ 矩形 的顶点 的轨迹方程为: .
故答案为: .
方法 2: 因为 , 那么当 为矩形时, 有 , 因为 ,
所以 的轨迹是以原点为中心, 以 为半径的圆, 则 的轨迹方程为:
(2017-南通一模)在平面直角坐标系中,已知为圆上两点,点,且,则线段的长的取值范围为_________.
答案：
方法 1: 在平面直角坐标系 中, 已知 为圆 上两点, 点 , 且
, 如图所示当 时, 取得最小值或最大值. 由 , 可得
或 ,
由 , 可得 或 ,
解得 ,
故答案为: .
方法 2: 因为 , 则可以构造一个矩形 , 由矩形的性质可知 , 又因为 , 则 , 又因为 点在圆内, 所以:
5.(2014-广东考)已知椭圆的右焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.
答案：
(1) 依题意知 , 求得 ,
∴ 椭圆的方程为 .
(2)方法 1: (1)当两条切线中有一条斜率不存在时, 即 、 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点, 的坐 标为 , 土2),
(2)当两条切线斜率均存在时, 设过点 的切线为 ,
,
整理得 ,
∴,
整理得 ,
把点 代人亦成立, ∴ 点 的轨迹方程为: .
方法 2 : 过点 、 分别作两条切线 、 的对称点 , 分别
交 、 于点 , 再连接 、、、、, 因为点 是
的中点且点 是 的中点, 所以 , 同理可
得 , 因为四边形 是矩形, 所以
, 又因为 , 所以 13 , 所以 点是以原点为圆心, 半径为 的圆, 故点 的轨迹方程为 .
6.(-龙岩期中)已知向量、、满足:若的最大值和最小值分别为,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
如图 2, 作 , 则 ,
由 , 得 , 故 . 以 为两邻边构造矩
形 , 由矩形性质得 , 因为 , 代人
上式得 . 由 得 , 则
. 由三角形中线长公式得 , 则 , 解得
, 雨 , 即 , 所以 , 故选 D.
已知向量:,则的取值范围是__________.
答案：
解: 由题意画出大致图形,
可知 ,
可知 .
在平面直角坐标系中,若动点到直线的距离分别为,且满足,则的最大值为_____________.
答案：
由题意, (转化为线性规划问题).
所以 .
过圆:外一点作两条互相垂直的直线和,分别交圆于、和、两点,则四边形面积的最大值为____________.
答案：
由题意, 过 作圆的切线且切线长为 1 , 根据圆的相交线定理, , 理 由矩形性质知, , 所以 (当且仅当 、、 共线时取等号), 所以四边形 面积的最大值为 .

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