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高考数学平面向量六大核心解题大招4：奔驰定理
大招总结
【奔驰定理】:若为内任意一点,有,
则.
证明:如图1,取点,使得,则,即为的重心,
同理.
即证明.
与三角形“四心”的结合.
(1)是的重心
.
(2)是的内心
.
(3)是的外心
.
(4)是的垂心
.
证明:如图为三角形的垂心,,
同理得.
∴.
定理的推广:
若在外部,如图3,则:
(1)当位于区域(1)所对应的两部分时:.
(2)当位于区域(2)所对应的两部分时:
.
(3)当位于区域(3)所对应的两部分时:.
典型例题
例1.已知点是内部一点,且满足,则的面积之比依次为（ ）
A.
B.
C.
D.
解：
方法1:延长,使,
如图所示:∵,
即是的重心,故的面积相等,不妨令
它们的面积均为1,则的面积为的面积为
的面积为,故的面积之比依次为
,故选.
方法,由 驰定理得,,故选A.
例2. 已知 是 所在平面内一点, , 现将一粒黄豆随机撒在 内, 则黄豆落在内的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解方法以、为邻边作平行四边形,则,得,由此可得,是边上的中线的中点,点到的距离等于到的距离的.将一粒黄豆随机撒在内,黄豆撒在内的 率为.故选C.方法,由奔驰定理得,黄豆落在内的概率为,故选C.
例3.已知点是所在平面内一点,且满足,设的面积为,则的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
解方法1:如图所示,设的中点分别为,由得:点在上,且到边的距离等于到边的距离的,则的面积为,故选D.
方法,由奔驰定理得,:
,则的面积为,故选D.
例4.已知是的重心,且满足
,求角_______.
解方法是三角形的重忐,∴
∴∵∴∴
∴
∵和不共线,
∴
∴
∴
∵
∴.故选D.
方法2:∵是重心,∴
∴
由正弦定理,
由余弦定理,
∵.
（2025秋-湖南月考)设是内任意一点,表示的面积,,,定义,若是的重心,,则( )
A.点在内
B.点在内
C.点在内
D.点与点重合
解:方法1:由已知得中的三个坐标分别为分所得三个三角形的高与的的高的比值,
∵,
∴离线段的距离最近,故点在内.故选B.
方法2:不妨设,根据奔驰定理重心公式可知
题千要求,所以点,必然在过且平行于的直线
上,如右图,而,所以点必然在线段上且不包括2个端,点,所以点内部,选B.
例6.(2025春-高新区校级月考)为等边三角形内一点,且满足,若与的面积之比为,则实数的值为
A.
B.1
C.2
D.3
解方法1:取边的中点的中点,连接,作图如下,
由可得,即,故点在中位线上,∵与的面积之比为与与的面积之比为,
∵这两个三角形等高,∴面积之比等于底边长度之比,即,故点是上靠近点的三等分点,显然此时.故选.方法2:根据奔驰定理,得到
例7.(2025秋-铅山县校级月考)已知点在内部,且,记的面积为的面积为,则的值为
解方法,整理得:即:,则:点是边中线的中点,由于的面积为的面积为,
则.故答案为:
方法2:由得:
所以
例8.(2025秋-迎泽区校级月考)若点是所在平面内一点,且满足,则
与的面积之比值为
解方法1:如图,取的中点为,则,
∵,
∴
∴.
故答案为:..
方法 2:
由 得
所以
例9. (2025 - 连云港模拟)
已知点为内一点,且(其中), :,则
解
方法 1 :连接交于,如下图所示:,
,则
又与 共线,故
又
故答案为
方法
将变形得:
得,所以
例 10. (2025 - 江苏四模) 设为的垂心(三角形三条高的交点),且,则的值为
解
方法 1:
由题,为的垂心(三角形三条高的交点),
,
.同理,
即.
设,
,
,
同理可求得,
.
故答案为:.
方法 2:
,那么
再根据向量和四心可以得到
设,解得
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1.在所在的平面内有一点,如果,那么的面积与的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
答案：
方法 1:
,即,可知向量
方向相反,且模长是的3倍, 即是的四等
分点,设点到直线的距离为,故的面积与
的面积之比为.
故选 A.
方法 2：
,得,
.
2.已知的外接圆半径为1,圆心为,且,则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案：
方法 1:
如图, ; 由 得:
, ;(1)两边平
方得: ; 同理 (2) (3)
两边分别平方得: , 故选 C.
方法 2 :
同理证明,则,由奔驰定理得,
3.在中,为三角形所在平面内一点,且,则
A.
B.
C.
D.
答案：
方法 1:
由已知,在中,为三角形所在平面内一点,且, 点
在平行于的中位线上, 且靠近边,从而有
,有.
故选 B.
方法 2:
, 即
, 由奔驰定理得, , 故
选 B.
4.已知为的垂心,且,则角的值为
答案
方法 1:
,取的中
点分别为 , 记 ,则 ,故 ,即
,解得或(舍去),故,
故答案为 .
方法 2
, 设 , 则 , 又
,
, 解得 或
(舍去), , 故.
5.已知点是内一点,且, 则
答案
方法 1 :
连接并延长,交于,则,即
, 故 , 则的面积与面积之比为.
方法 2 :
由得:,则
由奔驰定理得: , 所以
6.已知点是内一点,,则
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案
方法 1 :
如图所示, 点是内部一点,满足,延长到点,以
为邻边作平行四边形,连接分别交于点.则点是
的 重心.,不妨设 , 则
, 解得 . 故选 C.
方法 2:
因为 所以 . 所以
故选 C.
7.已知点是内一点,若,设, 则和的值分别是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案
方法 1 :
如图, 根据题意不妨设 的边, , 建立如图
坐标系,则的方程为,则, 设点坐标为,点在三
角形内,则到的距离,则根据
, 得 ,
解得 , 由 ,
得 解得, .
方法 2:由 得:
即 :
因为
所以
故 , 选
8.已知点是内一点,,且, 则
答案
方法 1 :
如图, 延长到,使,延长到,使,连接,取中点
,并连接,设交于,连接,则,
且
, 即
方法 2 :
由题意易得, , 因为 , 所以
, 故
9.内一点满足,直线交于点,则 ( )
A.
B.
C.
D.
答案
方法 1:
内一点满足,直线交于
,令,则 三点
共线,三点共线,重合.
.
故选 A.
方法 2 :
因为 , 故 , 由图易知
故 2 .
10.已知是所在平面上的一点,若,(其中是 所在平面内 任意一点)则是的（ )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
答案
方法
由得,
即 . 即 .
即 .
再设为的单位向量,为的单位向量,所以,
所以 .则说明在的角平分线上,同理可得也在
的平分线上, 故为的内心.
故选 B.
方法 2:
由 可得: 则 点为内心,
选 B.

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