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高考数学平面向量六大核心解题大招5：向量与“四心”
大招总结
四心的概念:
外心: 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点 (或三角形外接圆的圆心).
内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 (或内切圆的圆心).
垂心: 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点 (通常用 表示).
重心: 三角形的重心是三角形三条中线的交点.
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式:
(1) 设 ,则向量必平分,该向量必通过的内心;
(2) 设,则向量必平分的邻补角;
(3)设,则向量必垂直于边,该向量必通过 的垂心;
(4)中,一定过的中点,通过的重心;
(5) 点是的外心;
(6) 点是的重心;
(7) 点是的垂心(移项证明);
(8) 点是的内心(其中为三边);
(9)的外心、重心、垂心共线,即;
(10设为所在平面内任意一点,为的重心,为的内心, 则
有 ,并且重心
,内心, .
推论 (结合奔驰定理):
内有一点 .
1．如果点是的重心:.
2．如果点是的内心:.
3．如果点是的外心:.
4．如果点 是的垂心:.
三、向量四心问题
重心:
(1) 定义: 三条中线的交点
(2) 若为的重心,则
(3)若为的重心,为平面内任意一点,则
重心坐标公式:
(4) 若为的重心,分别为的中点,则
(5)重心满足:
外心:
(1)定义: 外接圆圆心, 是三条中垂线的交点
(2) 为的外心,则
(3) 分别为的外心、垂心,则
(4)外心满足
(5) 为锐角的外心, 则
明:
根据奔驰定理得到:
内心:
(1) 定义:为内心,则内切圆圆心,是三条角平分线的交点,到三边距离相等.
(2)
(3)内切圆半径公式: 面积法
(4) 为内心,则,即
证明:的高都是
根据奔驰定理得到:
垂心:
(1)定义:为垂心,则为三条垂线的交点
(2)垂心满足:.
(3) 为的垂心,则
(4) 为非直角的三角形的垂心,则
(5) 为的垂心,则
证明 (3):
所以
同理:
,
所以:
证明(5):
同理可得
所以:
(4) 是非直角的垂心
证明: (1)如图为三角形的垂心,且在三角形内部时,
同理得
所以由奔驰定理可得:
(2) 当三角形为钝角时,在三角形外部.
.
所以 .
所以
典型例题
已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足
,则点的轨迹一定通过的
( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
解 ： ,设 它们 等 于,而
表示与共线的向量,而点是的中点,
所以的轨迹一定通过三角形的重心.故选C.
已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足
,则动点的轨迹一定通过
的 ( )
A. 内心
B. 垂心
C. 重心
D. 外心
解 ：设的中点为,
两端同时点乘,得
在的垂直平分线上,即经过的外心.
故选 .
例3. 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点, 动点 满足
, , 则点 的轨迹一定通过 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
解 ： 分别表示向量 方向上的单位向量, 的方向与 的 角平分线重合, 又
可得到 ,
向量 的方向与 的角平分线重合, 点 的轨迹一定通过 的内心, 故选 .
例4. 已知三个不共线的向量 满足,则为的( )
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
解 ：在上取点,在延长线上取点,使得,则
, 以为邻边作平行四边形,则
平行四边形是菱形,,过作
的平行线交于点
在直线上,
,由菱形的性质可知 为
的角平分线,故在 的角平分线上, 同理可得:在
的平分线上在的角平分线上, 是的内心
故选 .
例5.(2021-番禺区校级模拟) 已知 是平面上不共线的三点,为外心,动点满足:且,则的轨迹一定通过的( )
A. 内心
B. 垂心
C. 重心
D. 边的中点
解:取的中点,
则
而 三点共线,
点的轨迹一定不经过的重心.故选 D.
例6.(2025 秋-莱芜区校级月考) 已知为所在平面内一点,若 , 则
A.
B.
C. 10
D. 5
解:设的点为的中点为 的中点为 , 则
,
,
即 为 的外心, 所以
.
. 故选 B.
例7. (2025 秋 东安区校级期末)已知,点为所在平面内的点,且,则点为的 ( )
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
解 ：
同理 是的外心. 故选 B.
例8.已知平面内,,则
解：依题, 在以 为圆 心 的圆上.又,则,设,则又
故
例9. 已知是锐角的外心,.若,则 ）
A.
B. .
C. 3
D.
解 设外接圆的半径为 ,
若 ,
,
,
,
即 ,
即 , 故 ,
故 ,故
故 , 即
故 , 即 , 故 选
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1.是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足
,,则的轨迹一定通过的( )
A. 外心
B. 垂心
C. 内心
D. 重心
答案：
令为的中点,则,于是有 点 共线, 即 点 的轨迹通过 的重心.
故选 D.
2.是所在平面上一点,若,则是 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 里心
D. 垂心
答案：
,则由得:,
即 ,同理,即的垂心,
故选 D.
3.已知是所在平面上的一点,若(其中是 所
在平面内任意一点),则点是的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
答案：
由得,
即,即,
即 .再设为 的单位向量,为的单位
向量,所以,所以 .则说明在
的角平分线上,同理可得也在的平分线上,故为的内心.
故选 B.
4.已知的三内角所对边的长依次为为该三角形所在平面内的
一点,若,则是的( )
A. 内心
B. 重心
C. 垂心
D. 外心
答案：
已知,延长交于,根据向量加法得:
代人已知得: ,
因为与 共线,所以可设,
上式可化为,由于与共线,与
不共线,所以只能有,由可知:与
的长度之比为 ,所以由内角平分线定理的逆定理可得为的平分线, 同理可证 的延长线也是角平分线.故为的内心.
故选 .
5.已知是平面内一点,且,则是的( )
A. 垂心
B. 外心
C. 重心
D. 内心
答案：
是平面内一点,且,可得:,所以是的外心.
故选 B.
6.已知为所在平面内一点,且满足,
则点的轨迹一定 通过的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
答案：
由,
得即 , 则是的垂心.
故选 D.
7.已知点在所在平面内,且.
，,则点依次为的 ( )
A. 里心、外心、垂心
B. 里心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心
D. 外心、重心、内心
答案：
到三角形三个顶点的距离相等,是三角形的外心,根据所给的 四个选项,第一个判断为外心的只有两个选项,只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以, , 同理 得到另外两个向量都与相对应的边垂直, 得到是三角形的垂心,
故选 .
8.已知点是的内心(三个内角平分线交点)、外心(三条边的中垂线交点）、
重心 (三条中线交 点)、垂心(三个高的交点)之一,且满足,
则点一定是的 ( )
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
答案：
设为的中点,
可得
点满足.
向量,移项得-(,即
,得.结合为的中点,可得在的垂直平
分线上,又点是的内心、外心、重心和垂心之一, 结合三角
形外接圆的性质,得点是的外心,
故选 B.
9.已知非零向量满足,且,则
的形状 是( )
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 等腰 (非等边)三角形
D. 等边三角形
答案：
分别为单位向量,的角平分线与垂直,
三角形为等边三角形.
故选 D.
10.已知点为线段上一点,为直线外一点,是的平分线,为
上一点,满足,则
的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：
是的平分线,
又满足 ,即,所以在
的角平分线上,由此得是的内心,过作于为圆心,为半
径,作的内切圆,如图,分别切于,
在直角三角形 中, , 所以
.
故选 B.
11.(2026 春 - 宁远县校级月考) 已知的三个顶点及所在平
面内一点,若,且实数满足,则
A.
B. 3
C.
D. 2
答案：
取的中点的中点,则
三点共线,同理
三点共线,是的重心,.
故 选 B.
12.(2021 - 天津一模) 已知点是内一点,满足,若
1,则 的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：
因为点是内一点,满足是的重心,
.
故选 C.
13.过的重心的直线交于点,若,则的值为
答案：
依题意,设的重心为,则故由“奔驰定理”,可得
.即.因为,
即 .所以同理由
,得又,故
解得
14.(2021 - 和平区一模) 在中,是的中点,,点在上且
满足 , 则 等于
A.
B.
C.
D.
答案：
如图,因为是的中点,根据向量加法的几何意义,,又 , 所以 .
故选 A.
15.(2025 秋 - 清河区校级期 中) 设为的内心,当
时, , 则 的值为
答案：
由题意,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立坐标系,则
, 则 因为点在的平分线
上,所以与及的单位向量的和向量共线.设这个和向量为,
则的单位向量,它与的单位向量相等,
设,由此得方程,
解方程得(另一负根不合题意,舍去).
所以.又 ,
故 ,即,解得
故答案为:
16.(2025 秋 - 寿县校级月考) 设的外心为,重心为,取点,使
.求证:
( I ) 点为的垂心;
( II) 的外心、重心、垂心在同一条直线上.
证明:
( I ) 为的外心,
,即,
同理
为的垂心;
(II) 延长交于, 则为中点,
为的之重心, 三点共线.

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