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高考数学平面向量六大核心解题大招6：向量中的数形结合
大招总结
当向量题中出现了多个向量的角度、模长等几何量时,大部分题目可以根据几何
图形找到对应关系, 利用数形结合思想求解问题可以起到事半功倍的效果,下面以
几个例题来研究一下这种方法的便捷性.
典型例题
(2026 - 新高考 II ) 已知向量 , 则
解 方法 1 : 由 得 或 或 ,
故答案为: .
方法 2 : 数形结合
根据题意画出示意图, 作平行四边形, 反向延长得到
例2. 设 ,那么 与 的夹角为（ )
A.
B.
C.
D.
解 方法 设 与 的夹角为 ,
故选D.
方法 2 : 直接画图, 有一个内角 的菱形, 即可得出答案.
例3.已知 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 满足, 则 的最大值是 ( )
A. 1
B. 2
C.
D.
解：∵,
∴ 如图设 , 连接 , 作以 为直径的圆, 在圆上取 点, 连接 , 则 的最大值为该圆的直径, 则根据图形及已知条件,此时 , 即 的最大值为 . 故选 .
例4.已知向量 为单位向量, , 向量 满足 与 的夹角为 , 则 的最大值为( )
A.
B. 4
C.
D. 2
解：∵, 向量 为单位向量, ∴设 向量 满足 与 的夹角为 ,∴. 由等边三角形 , 点 在 外且 为定值, 可得 的轨迹是两段圆弧, 是 所对的圆周角. 可知: 当 是弧 所在圆 (上述圆弧) 的直径时, 取得最大值 , 在 中, 由正弦定理可得: 取得的最大值是 2. 故选 D.
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1. 若 均为单位向量, 且 , 则 的最大值为 ( )
A.
B. 1
C.
D. 2
答案：
方法1:∵均为单位向量,且,则.而,故的最大值为1,故选.
方法2:直接画图,找出点轨迹即可.轨迹是一段圆弧,最大值在端点和处取得,最小值在处取得.
2. 设向量 满足 , 若 , 则 的值是 ( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
答案：
方法1:∵,
所以,故选B.
方法2:直接画图即可.分别是.
3. 已知 是非零向量, 且 , 则向量 的模为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 3
答案:
方法1:令,则我们易得表示与向量同向的单位向量,表示与向量同向的单位向量,则,则.故选B.
方法2:直接画图即可.两个单位向量模长是1,夹角是,转化为一个菱形,对角线长度.
4. 已知向量 , 且 , 则 的最大值为 ( )
A.
B. 4
C.
D. 2
答案：
∵,即
的夹角为.作向量,延长到,使得.以为邻边作平行四边形,则.设在以为圆心,1为半径的圆上.∵的最大值为.故选A.

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