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乌鲁木齐市第23中学 高一数学期末考试试卷
试卷满分：150 分；考试时间：120 分钟； 命题人：刘英； 审题人：韩培齐
一 、 单 选 题 ( 每 小 题 5 分 ， 共 40分 )
1. 已知复数 (i 为虚数单位)，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 满足 则
A. B.
3. 已知向量 若 时，ā//b; t=t l时, ā⊥b, 则 ( )
4. 已知m，n是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是 ( )
A. 若m //α, m⊥n, 则n ⊥α B. 若 m⊥α,m ⊥n, 则n ⊥α
C. 若m //α,n ⊥α, 则m ⊥ n D. 若m⊥α,n ⊥α,则m ⊥ n
5. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8 名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，
8, 7, 9, 4, 2, 这组数据的75%分位数是 ( )
A. 6.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
6. 某校男生400人，女生600人，男生、女生每天运动时间(分钟)的平均值为100，80，方差分别
为156，136，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值(分钟)和方差分别为( )
A. 90, 144 B. 88, 96 C. 88, 144 D. 88, 240
7. 已知正三棱台 的体积为 , AB=6, A B =2, 则A A与 平 面ABC所成角的正切值
为 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知⊙O 的半径为1, 直 线PA 与⊙O 相切于点A, 直 线PB 与⊙O 交于 B,C 两 点 ,D 为 BC 的中
点，若 则 的最大值为( )
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二、多选题(每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分，共18分)
9. 已知向量( 则 ( )
D. d在b方向上的投影向量坐标是(
10.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，
每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是 ( )
A.取出的两个球上标号都是 2 的概率为
B.取出的两个球上标号为不同数字的概率为
C.取出的两个球上标号中至少有一个标号为1 的概率为
D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
11. 如图，在棱长为2的正方体中 E为线段CC 的中点，F为线段A B上的动点(含
端点)，则下列结论正确的有 ( )
A. 过 A,D ，E三点的平面截正方体 所得的截面的面积为
B. 异 面 直 线 DF 与 D C所成角的取值范围是
C.当F在线段A B上运动时，三棱锥C—AFD 的体积不变
D. FA+FC 的 最 小 值 为
三、填空题 ( 每小题5分，共15分 )
12.已 知 当 z=1 +i, 则 | 1-i·z | = .
13.在 △ ABC 中 , AB=5, BC=3, cosA= 则△ABC的面积为 .
14.已知在正四棱锥P—ABCD中,AB =2,PA = 设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为O ，O ，
则O O 的长为 .
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四 、 解 答 题 ( 第 15 题 13 分 , 第 16 、 17 题 各 15 分 , 第 18 、 19 题 各 17 分 , 共 77 分 )
15. ( 13 分)成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体
广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组
[45,55), 第二组[55,65), 第三组[65,75), 第四组[75,85), 第五组[85,95], 绘制成如图所示的频率分布直
方图.
(1) 求a的值;
(2) 估计这 100 名候选者面试成绩的中位数，平均数和方差
(结果保留整数，方差用整数结果进行计算)；
(3) 志愿者中选取了两人通过答题竞争组长，采取五局三
胜制(即先胜三局可当选组长)，假设在一局比赛中，甲
0~45 55 65 75 85 95 成 绩/分
获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，各局答题结果相
互独立，则比赛第四局结束的概率.
16. ( 15 分 ) 在 △ABC 中, 角A, B, C的对边分别为a , b , c且
(1) 求A;
(2)若△ABC 的面积为2asinC ,求b的值
(3) 在 (2) 的 基 础 上 且△ABC 为锐角三角形，求a+c 的取值范围.
17. ( 15 分 ) 已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且(
(1) 求C;
(2)若角C的平分线长为 求△ABC 的面积的最小值；
(3) 若a=4, 且BC 边上的中线长为 求△ABC 的面积.
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18. ( 17 分 )(建 系0 分 ) 如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，
侧面 是 矩 形 ,M,N 分别为BC, 的中点，P为AM上一点，过 和P
的平面交AB 于E, 交AC于F.
(1 ) 证明:
( 2 ) 证明:
(3) 设0为 的中心,若AO // 平 面EB C F, 且 求直线 与
平面 所成角的正弦值.
19. ( 17 分 )(建 系0 分 )如图,四棱锥: 中 ,SD ⊥底面ABCD,AB / /CD,AD ⊥DC,AB = AD = 1,
E为棱SB上的点，M 为 CE 上的点且( 平 面EDC ⊥平面SBC.
(1) 证明: BC ⊥ 平 面SDB;
(2) 证明: (II) 求 DE 的长;
(3) 求二面角A-DE-C 的大小.
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