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第2讲：力的合成与分解
学习目标：1.了解力的合成与分解，知道矢量和标量。2.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。3.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
1.力的合成
2.力的分解
3.矢量和标量
基础自测
1.(人教版必修第一册P75T5改编)关于合力与分力的关系，下列说法正确的是(　　)
A.合力F总比分力F1和F2中任何一个力都大
B.若两个分力F1、F2的大小一定，则其合力F的大小和方向一定
C.若两个分力F1与F2的大小不变，则两个分力的夹角越小，其合力F一定越大
D.若两个分力F1与F2的夹角θ不变，F1大小不变，只增大F2，则其合力F一定增大
答案　C
2.(人教版必修第一册P80T6改编)如图所示，用一根轻质细绳将重为10 N的画框对称悬挂在竖直墙上，画框上两个挂钉间的距离为0.5 m。若绳能承受的最大拉力为10 N，要使绳不会被拉断，绳子的最短长度为(　　)
A. m 　　B.0.5 m
C. m 　　D.1.0 m
答案　C
3.(人教版必修第一册P80T5改编)生活中经常用刀来劈开物体，如图是刀刃的横截面，F是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为θ，则刀劈物体时对物体侧面推力FN的大小为(　　)
A.FN= 　　B.FN=
C.FN= 　　D.FN=
答案　C
考点一　共点力的合成
1.两个共点力的合成
两个共点力的合力大小范围:|F1-F2|≤F合≤F1+F2。
(1)两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)当两力反向时，合力最小，为|F1-F2|;当两力同向时，合力最大，为F1+F2。
2.三个共点力的合成
(1)最大值:三个力共线且同向时，其合力最大，为F1+F2+F3。
(2)最小值:任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零;如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小力的大小之和。
3.几种特殊情况的共点力的合成
类型 作图 合力的计算
互相垂直 F= tan θ=
两力等大， 夹角为θ F=2F1cos F与F1夹角为
两力等大， 夹角为120° 合力与分力等大 F'与F夹角为60°
例1 两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。下列说法正确的是(　　)
A.若F1和F2大小不变，θ角越大，合力F就越大
B.合力F总比分力F1、F2中的任何一个力都大
C.合力F的大小范围是|F1-F2|D.若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能先减小后增大
答案　D
解析　根据平行四边形定则可知，若F1和F2大小不变，θ角越大，合力F就越小，故A错误;合力F可能比分力F1、F2中的任何一个力都大，也可能比分力F1、F2中的任何一个力都小，还可能等于分力F1、F2中的其中一个，故B错误;合力F的大小范围是|F1-F2|≤F≤F1+F2，故C错误;若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，若夹角θ大于90°，根据力的合成可知，合力F可能先减小后增大，故D正确。
例2 (2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A.2Fsin B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
答案　B
解析　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos ，故B正确。
考点二　力的分解
考向　效果分解法
例3 (2025·重庆一中模拟)如图所示，静止在水平桌面上厚度不计的圆柱形玻璃杯中放有两个半径相同的玻璃球A和B，每个玻璃球的重力为G。已知玻璃杯的底部直径是玻璃球半径的3倍，玻璃球A对玻璃杯侧壁的压力大小为F1，玻璃球A对玻璃球B的压力大小为F2，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.F1=G，F2=G B.F1=G，F2=G
C.F1=G，F2=G D.F1=G，F2=G
答案　A
解析　设两玻璃球A、B的球心连线与竖直方向的夹角为θ，如图甲所示，由几何关系可知sin θ=，θ=30°，将玻璃球A的重力进行分解，如图乙所示
可得玻璃球A对玻璃杯侧壁的压力大小为F1=Gtan θ=G，玻璃球A对玻璃球B的压力大小为F2==G，故A正确。
考向　正交分解法
例4 (2024·河北卷，5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
A. N B.1.0 N C. N D.2.0 N
答案　A
解析　对球体受力分析如图所示，由平衡条件，x轴方向有FN1sin 30°=FN2sin 30°，y轴方向有FN1 cos 30°+FN2cos 30°+F=mg，联立解得FN1=N，A正确。
考向　力的分解中定解问题
已知条件 示意图 解的情况
已知合力和一个分力的大小和方向 有唯一解(可由三角形定则确定)
已知合力和两个分力的方向 有唯一解
已知合力和一个分力的大小及另一个分力的方向 (1)当F1例5 将一个F=12 N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1方向与F成30°角，另一个分力为F2，则下列说法正确的是(　　)
A.F1的大小不可能等于10 N
B.F1的大小不可能小于6 N
C.F2的大小不可能小于6 N
D.F2的方向可能与F平行
答案　C
解析　已知合力和其中一个分力的方向，根据三角形定则作出F、F1、F2的关系示意图如图所示。由解析图可知，F2的方向不可能与F平行，当F2的方向与F1垂直时，F2最小，最小值为F2 min=Fsin 30°=6 N，故C正确，D错误;F1大小的可能值为大于0的任意值，不存在最大值，故A、B错误。
将力F=10 N分解成两个分力，已知其中一个分力与F的夹角为30°，另一个分力的大小为7 N，则在分解时可能(　　)
A.有无数组解 B.有两组解 C.有唯一解 D.无解
答案　B
解析　已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一分力的最小值为Fsin 30°=5 N，而题中所给另一个分力大小为7 N，大于5 N，小于10 N，所以分解时有两组解，如图，故B正确，A、C、D错误。
A级　基础对点练
对点练1　共点力的合成
1.(2026·江苏无锡期中)作用在物体上的三个共点力，其大小分别为2 N、8 N、9 N，其合力最小值是(　　)
A.0 B.6 N C.8 N D.1 N
答案　A
解析　2 N与8 N的两个力的合力最小值为6 N，最大值为10 N，当2 N与8 N的两个力的合力方向与9 N的力方向相反，且大小为9 N时，三个力合力最小，最小值为0，A正确。
2.如图，现有两个相互垂直、大小相等的共点力F1、F2。现保持F1不变，只将F2的方向沿顺时针方向绕作用点转动90°，则在此过程中F1、F2的合力(　　)
A.变小 B.变大
C.先变大后变小 D.与F1夹角减小
答案　A
解析　两个共点力的大小相等，夹角从90°一直增加到180°的过程中，根据平行四边形定则可知，合力大小一直变小，方向与F1夹角一直变大，故A正确。
3.如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形(顶角为直角)。在图中所示的方向关系中，三个力的合力最大的是(　　)
答案　C
解析　 由三角形定则可知，A中的合力大小为2F1，B中的合力为0，C中的合力大小为2F2，D中的合力大小为2F3，由于F2是直角三角形的斜边，所以F2最大，故C正确。
4.两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。以下说法正确的是(　　)
A.合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B.若F1和F2大小不变，θ角减小，合力F一定增大
C.若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F一定增大
D.若F1和F2大小不变，合力F与θ的关系图像如图所示，则任意改变这两个分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
答案　B
解析　合力F的取值范围是|F1-F2|≤F≤F1+F2，所以合力F不一定总比分力F1和F2中的任何一个力都大，故A错误;根据余弦定理可得合力大小为F=，θ角减小，则合力F一定增大，故B正确;若夹角θ为钝角，θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，故C错误;由题图知，当θ=180°时，F合=2 N，即|F1-F2|=2 N，当θ=90°时，F合'=10 N，即=10 N，解得F1=6 N，F2=8 N或F1=8 N，F2=6 N，故2 N≤F≤14 N，故D错误。
对点练2　力的分解
5.如图所示，人游泳时若某时刻手掌对水的作用力大小为F，该力与水平方向的夹角为30°，则该力在水平方向的分力大小为(　　)
A.2F B.F C.F D.F
答案　D
解析　沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力分解，则该力在水平方向的分力大小为Fcos 30°=F，故D正确。
6.(2026·江苏镇江期中)如图所示AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°。如果把球的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为(　　)
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
答案　A
解析　根据重力压两个光滑斜面的作用效果，将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2，根据平行四边形定则作出力的示意图，如图所示，由几何关系可得G1=Gcos 30°=G，G2=Gsin 30°=G，故A正确。
7.如图所示，蜘蛛用蛛丝将自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
答案　D
解析　对结点O受力分析，根据平衡条件，水平方向有F1sin α=F2sin β=Fx，即F1的水平分力等于F2的水平分力，C错误，D正确;F1的竖直分力为F1y=F1cos α= ，F2的竖直分力为F2y=F2cos β=，由tan α>tan β可知，F1yB级　综合提升练
8.耙在中国已有1 500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B=60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是(　　)
A.两根耙索的合力大小为F
B.两根耙索的合力大小为F
C.地对耙的水平阻力大小为
D.地对耙的水平阻力大小为
答案　B
解析　两根耙索的合力大小为F'=2Fcos 30°=F，A错误，B正确;由平衡条件得，地对耙的水平阻力大小为Ff=F'cos 30°=F，C、D错误。
9.白石天河大桥的桥梁全长826 m，主桥宽27.5 m，桥梁设计为独塔单索面斜拉桥(所有钢索都处在同一竖直平面内)，将白鹭的造型应用于桥塔之上，犹如两只白鹭比翼双飞，充分体现了巢湖沿岸独特的水鸟意境，其索塔与钢索如图所示。下列说法中正确的是(　　)
A.增加钢索的数量，可以减小索塔受到的向下的压力
B.为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C.索塔两侧钢索对称且拉力大小相等时，钢索对索塔的合力竖直向下
D.为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案　C
解析　对桥身进行受力分析可知，钢索对桥身的拉力的合力与桥身的重力大小相等、方向相反，则钢索对索塔向下的压力数值上等于桥身的重力，即增加钢索的数量，钢索对索塔的压力大小恒定不变，A错误;合力一定，分力间的夹角越小，则分力越小，为了减小钢索承受的拉力，应该适当增大索塔的高度，达到减小钢索间夹角的目的，B错误;根据对称性可知，索塔两侧钢索对称分布，拉力大小相等时，水平分力抵消，钢索对索塔的合力竖直向下，C正确;若索塔两侧的钢索不是对称分布，受力分析如图所示，当索塔受到钢索的合力竖直向下时，则有FACsin α=FABsin β，即只要满足=，索塔受到钢索的合力竖直向下，即索塔两侧的钢索可以不是对称分布，D错误。
10.如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x(在弹性限度内)，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦。已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B.口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C.耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
答案　D
解析　弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FAB=FDE=kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx=FABcos 37°+FDEcos 53°=kx，Fy=FABsin 37°+FDEsin 53°=kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F==kx。设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ==1，即口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确，A、B、C错误。
11.(2026·江苏南通高三开学考)竖直悬挂的重物与滑轮组成的“牵引治疗装置”如图，绳子足够长，不改变重物，下列操作可使装置对腿部的牵引力增大的是(　　)
A.上移悬点A B.下移滑轮B
C.下移滑轮C D.向右移腿部
答案　B
解析　对与腿连接处滑轮受力分析如图，可知腿部受到的牵引力与FB、FC两拉力的合力大小相等，FB、FC两拉力大小等于重物的重力G，则有F=，不改变重物，即G不变，使装置对腿部的牵引力F增大，需要减小两段绳子间的夹角θ，可通过下移滑轮B，或者上移滑轮C，或者向左移腿部实现，故B正确。
C级　拔尖进阶练
12.(2026·江苏宿迁期中)在探究两个互成角度的力的合成规律实验中。在如图所示平面内，保持合力F不变，分力F1的大小不变，改变F1的方向，则分力F2箭头端的轨迹为(　　)
答案　B
解析　若以O点为坐标原点，以合力F的方向为x轴正方向建立坐标系，设F与F1的夹角为θ，则力F2的箭头的坐标满足x+F1cos θ=F，y=-F1sin θ，联立化简得(x-F)2+y2=，因保持合力F的大小和方向不变，分力F1的大小不变，则使F1与F的夹角从0逐渐增大到360°的过程中，F2的箭头的轨迹图形为圆，故B正确。

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