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微专题2：“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
学习目标：1.了解“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”的特点。2.掌握解决“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”问题的方法。
考向　“活结”和“死结”问题
分类 模型结构 模型解读 模型特点
“活结” 模型 “活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结” 模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
例1 如图所示，不可伸长的轻绳AO和BO共同吊起质量为m的重物，AO与BO垂直，BO与竖直方向的夹角为θ，OC连接重物，已知OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　)
A.AO所受的拉力大小为mgcos θ
B.AO所受的拉力大小为
C.BO所受的拉力大小为mgcos θ
D.若逐渐增加C端所挂重物的质量，一定是绳AO先断
答案　C
解析　结点O受AO绳的拉力FTAO、BO绳的拉力FTBO和大小等于重物重力mg的OC绳的拉力，如图所示，由平衡条件可得FTAO=mgsin θ，FTBO=mgcos θ，故A、B错误，C正确;依题意，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，由O点受力分析图可知，在力的三角形中，三个力成比例增大，若逐渐增加C端所挂重物的质量，一定是绳CO先断，故D错误。
例2 如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q。现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB=120°，下列说法正确的是(　　)
A.若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
B.若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
C.若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变
D.若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升
答案　C
解析　对沙桶Q由平衡条件有FT=GQ。设AC与BC间夹角为θ，对C点受力分析可知，C点受三力而平衡，而C点为活结绳上的点，两侧绳的张力相等，有2FTcos =GP，联立可得2GQcos =GP，故只增大Q的重力时，夹角θ变大，C点上升;只增大P的重力时，夹角θ变小，C点下降，A、B错误;当θ=120°时，GP=GQ，故两桶增加相同质量的沙子，P和Q的重力仍相等，C点的位置不变，C正确，D错误。
考向　“晾衣绳类”活结问题
如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。结点为O。
由于“活结”两端绳子拉力相等，故FOA=FOB=F
水平方向:Fsin θ1=Fsin θ2，结合几何关系知θ1=θ2=θ
竖直方向:Fcos θ+Fcos θ=mg
故F=，可知F只与θ有关。
由几何关系有sin θ==(L为绳的总长)。
可知绳长一定的情况下θ只与两杆之间的水平距离d有关。
结论:若d不变，上、下移动绳子B端，θ不变，F不变;两杆之间水平距离越大，θ越大，F越大。
例3 (2026·江苏苏州市期中)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　)
A.将绳的右端上移到b'，绳子拉力大小变大
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案　B
解析　衣架挂于绳上O点，
设衣架与衣服质量之和为m，绳aOb长为L，M、N的水平距离为d，bO延长线交M于a'，由几何关系知a'O=aO，sin θ=，由平衡条件有2Fcos θ=mg，则F=。当绳右端从b上移到b'时，d、L不变，θ不变，故F不变，故A、C错误;将杆N向右移一些，L不变，d变大，θ变大，cos θ变小，则F变大，故B正确;只改变衣服的质量，则m变化，其他条件不变，则sin θ不变，θ不变，衣架悬挂点不变，故D错误。
例4 (2025·江苏南京调研)抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是(　　)
A.沿虚线a向左移动，细线的拉力增大
B.沿虚线b向上移动，空竹向左上方移动
C.沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变
D.沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大
答案　B
解析　对空竹受力分析如图所示，
根据平衡条件可得2FTsin θ=mg，设绳长为L，A、B间距为x，由几何关系可得cos θ=。沿虚线a向左移动，x减小，θ增大，细线的拉力减小，故A错误;沿虚线b向上移动，x不变，θ不变，细线的拉力不变，但右侧细线变长，左侧变短，左侧A不动，故空竹会向左上方移动，故B正确;沿虚线c斜向上移动，x增大，θ减小，细线的拉力增大，故C错误;沿虚线d向右移动，x增大，θ减小，细线的拉力增大，但细线对空竹的合力不变，等于空竹的重力，故D错误。
考向　“动杆”和“定杆”问题
分类 模型结构 模型解读 模型特点
“动杆” 模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆
“定杆” 模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
例5 如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O'D与竖直方向的夹角均为θ=30°，下列说法一定正确的是(　　)
A.m1∶m2=1∶1 B.m1∶m2=2∶
C.m3∶m4=1∶1 D.m3∶m4=2∶
答案　B
解析　题图甲中，OB绳的张力为FT=m1g，由平衡条件可得m2g=m1gcos θ，则m1∶m2=2∶，故A错误，B正确;CD杆固定在墙上，杆的弹力方向不确定，则m3、m4的比值不确定，故C、D错误。
例6 如图甲、乙、丙所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，杆和缆绳重力均不计。当它们吊起相同重物时，杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系式中正确的是(　　)
A.Fa>Fb>Fc B.Fa>Fc=Fb
C.Fa=Fb>Fc D.Fa=Fb=Fc
答案　C
解析　 分别对三种形式的结点进行受力分析，如图(a)、(b)、(c)所示。各图中连接重物的缆绳中拉力均为FT=G
在图(a)中，有Fa=2FTcos 30°=mg
在图(b)中，有Fb=FTtan 60°=mg
在图(c)中，有Fc=FTcos 30°=mg，可知Fa=Fb>Fc，故C正确，A、B、D错误。

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