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实验十三：测量电源的电动势和内阻
学习目标　1.掌握伏安法、伏阻法、安阻法测量电源电动势和内阻的原理及电路设计。2.理解实验的误差分析和改进方法。
实验原理 操作要领 注意事项
1.电路图和实物图(如图甲、乙所示) 2.原理:改变滑动变阻器的电阻，测多组U、I值，根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir计算E、r 1.选量程、连线路:电流表用0~0.6 A量程，电压表用0~3 V量程，按原理图连接电路，注意电压表、电流表的正、负接线柱。 2.滑动变阻器滑片移到阻值最大一端。 3.测量:闭合开关，改变滑动变阻器阻值，测多组U、I值。 4.断开开关，拆除电路，整理好器材 1.为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池。 2.电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快。 3.要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些
数据处理 方法一:公式法。取六组对应的U、I数据，列方程组求解电动势和内阻的大小。 (1);(2);(3)，根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E和内阻r。 方法二:图像法。用作图法处理数据，如图所示。 (1)图线与纵轴交点为电动势E。 (2)图线的斜率的绝对值表示内阻r=
1.读数不准确引起误差。 2.用图像法求E和r时，由于作图不准确造成误差。 3.实验时通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。 4.若采用图甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差值越大，其U-I图像如图丙所示。结论:E测r真
考点一　教材原型实验
考向　伏安法测电动势和内阻
例1 将铜片和锌片插入苹果中制成一个“水果电池”，利用下列所给器材测量该“水果电池”的电动势E和内阻r。
电流表A1(量程0~0.6 A，内阻约0.5 Ω)
电流表A2(量程0~20 mA，内阻约10 Ω)
电压表V1(量程0~3 V，内阻约1 kΩ)
电压表V2(量程0~15 V，内阻约4 kΩ)
滑动变阻器R1(0~10 Ω)
滑动变阻器R2(0~1 000 Ω)
待测“水果电池”(电动势E约为4 V，内阻r约为200 Ω)
开关S，导线若干
(1)为尽量减小实验误差，实验中电流表选择　　　　;电压表选择　　　　;滑动变阻器选　　　　(填正确器材的符号)。
(2)甲、乙两个实验电路中最合理的电路为　　　　(选填“甲”或“乙”)。
(3)甲同学根据实验数据画出U-I图像，如图丙所示。由图像可得“水果电池”的电动势E=　　　　V，内阻r=　　　　Ω(计算结果保留3位有效数字)。
(4)乙同学利用图像对所选最佳实验电路进行误差分析。图中实线是根据实验数据描点作图得到的U-I图像;虚线是没有电表内阻影响的理想情况下该电源的路端电压U随电流I变化的U-I图像。则与该实验对应的U-I分析图像是　　　　。
答案　(1)A2　V1　R2　(2)乙　(3)3.80　187(186~188均可)　(4)C
解析　(1)在实验中应该保证电路正常工作时，电表的读数大于满偏的，由于电动势E约为4 V，所以电压表选V1;回路中的短路电流I== A=0.02 A=20 mA，可知实验中电流表选A2;由于待测电阻大约200 Ω，要使滑动变阻器能很好地控制电路，则应选R2。
(2)由于=100 Ω则电流表采用相对电源的内接法，为方便调节电流，滑动变阻器采用限流式接法，则最合理的电路为乙。
(3)根据闭合电路欧姆定律有U=E-Ir，结合图像有E=3.80 V，r= Ω≈187 Ω。
(4)根据所选电路图可知，当电路中电流为0时，无论有没有电表内阻影响，电压表测量的均为电源的电动势，若没有电表内阻影响，电路的短路电流较大，故C正确。
考向　安阻法测电动势和内阻
(1)电路图及数据处理图像
(2)误差分析:电流表分压造成误差，E测=E真，r测>r真。
例2 (2026·江苏盐城期末)某组同学利用铜片、锌片和苹果制作了水果电池，并测量这种电池的电动势E和内阻r。
(1)用量程“0~3 V”的电压表粗测水果电池的电压，指针偏转如图甲所示，读数为　　　　 V。
(2)该组同学又用微安表和一个电阻箱设计了如图乙的电路图。请按电路图完善实物电路的连接。
(3)闭合开关S前，电阻箱接入电路阻值应为　　　　(选填“最大”或“最小”)。
(4)实验中，测得多组I、R的值，并作出R-图像，如图丁所示。由此可得水果电池的电动势E=　　　　 V，内阻r=　　　　 kΩ。
(5)用图乙所示电路进行实验可能存在的问题　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)0.25(0.24~0.27均可)　(2)见解析图　(3)最大　(4)1.0　2.0　(5)见解析
解析　(1)用量程“0~3 V”的电压表测量，可知电压表分度值为0.1 V，故读数为0.25 V。
(2)实物连接如图所示。
(3)为了保护电路，闭合开关S前，电阻箱接入电路阻值应为最大。
(4)根据闭合电路的欧姆定律有E=I(r+R)
整理得R=E·-r
可知图像斜率表示电动势，则E= V=1.0 V
纵截距绝对值表示电池内阻，则r=2.0 kΩ。
(5)用图乙所示电路进行测量时，由于微安表的分压，故IR并不是路端电压，而只是R两端的电压;这样测得的内阻实际是RA+r，可知电源内阻测量值总是比电源内阻的真实值大。
考向　伏阻法测电动势和内阻
(1)电路图及数据处理图像
(2)误差分析:电压表分流造成的误差，E真>E测，r真>r测。
例3 (2026·江苏扬州中学月考)用图甲所示的电路测定某电源的电动势和内阻，R为电阻箱，阻值范围0~9 999 Ω，R0是保护电阻，电压表内阻对电路的影响可忽略不计。该同学连接好电路后，闭合开关S，改变电阻箱接入电路的电阻值，读取电压表的示数。根据读取的多组数据，他画出了图乙所示的图像。
(1)在图乙所示图像中，当=0.10 V-1时，外电路处于　　　　(选填“通路”“断路”或“短路”)状态。
(2)根据该图像可求得该电源的电动势E=　　　　 V、内阻r=　　 Ω。
(3)本实验存在系统误差，原因是　　　　(选填“①电压表分流”或“②电流表分压”前面的序号)，由此造成电源内阻测量值　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
答案　(1)断路　(2)10(9.5~10.5均可)　50
(3)①　小于
解析　(1)根据闭合电路的欧姆定律得E=U+Ir=U+r
变形得=+·
当等于0时，路端电压等于电源电动势，所以电路是断路状态。
(2)根据-图像的纵轴截距表示电动势的倒数，得E=10 V
该图像的斜率表示，有k==5 Ω/V
可得r=kE=50 Ω。
(3)尽管电压表的内阻对电路的影响可忽略不计，但电压表的分流作用会导致测量的电流值偏小，从而导致内阻的测量值小于真实值。
考点二　拓展创新实验
例4 (2025·湖北卷，11)某实验小组为测量一节干电池的电动势E和内阻r，设计了如图(a)所示电路，所用器材如下:干电池、智能手机、电流传感器、定值电阻R0、电阻箱、开关、导线等。按电路图连接电路，将智能手机与电流传感器通过蓝牙无线连接，闭合开关S，逐次改变电阻箱的阻值R，用智能手机记录对应的电流传感器测得的电流I。回答下列问题:
(1)R0在电路中起　　　　(选填“保护”或“分流”)作用。
(2)与E、r、R、R0的关系式为=　　　　　　　　　　　　　　　　。
(3)根据记录数据作出-R图像，如图(b)所示。已知R0=9.0 Ω，可得E=　　　　V(保留3位有效数字)，r=　　　　Ω(保留2位有效数字)。
(4)电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果　　　　(选填“有”或“无”)影响。
答案　(1)保护　(2)R+　(3)1.50(1.47~1.52均可)　1.5(1.3~1.6均可)　(4)有
解析　(1)R0能避免电路中的电流过大，起到保护作用。
(2)若不考虑电流传感器的电阻，对整个回路由闭合电路欧姆定律有E=I(R+R0+r)
整理得=R+。
(3)结合(2)中关系式与题图(b)有
= V-1
=7 A-1
解得E=1.50 V，r=1.5 Ω。
(4)结合(2)(3)项分析可知，实验测量的内阻是干电池与电流传感器的总电阻，所以电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果有影响。
1.(2025·江苏徐州模拟)某实验小组利用铜片、锌片和梨制作了水果电池，并测量该水果电池的电动势E和内阻r，探究电极间距对E和r的影响，实验电路图如图甲所示。已知电流表内阻为Rg=20 Ω、量程为0~1 mA，电阻箱阻值的变化范围为0~9 999 Ω。
(1)连接好电路后将电阻箱的阻值调节到最大值，闭合开关。
(2)调节电阻箱R，改变电流I，利用所测实验数据作出U-I图像，其中电压U=IR。
(3)实验中依次增大铜片与锌片的间距，分别得到图乙中的直线a、b、c、d。
(4)由图乙可知，在该实验中，随电极间距的增大，该水果电池的电动势将　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)，内阻将　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)。
(5)直线c对应的电池电动势E=　　　　 V、内阻r=　　　　 Ω(均保留3位有效数字)，该电动势的测量值无系统误差，请简要说明理由　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(4)不变　增大　(5)0.980　455　理由见解析
解析　(4)由闭合电路的欧姆定律有E=U+I(Rg+r)，整理得U=E-I(Rg+r)，则U-I图像的纵截距表示水果电池的电动势，斜率的绝对值表示水果电池的内阻和电流表内阻之和，由题图乙可知，在该实验中，随电极间距的增大，所对应的纵截距不变、斜率逐渐增大，即水果电池的电动势不变、内阻逐渐增大。
(5)由题图乙可知，直线c对应的电池电动势大小E=0.980 V，其斜率的绝对值k== Ω=475 Ω，故直线c对应的内阻为r=k-Rg=455 Ω
U-I图像的纵截距表示水果电池的电动势，则水果电池的电动势测量无系统误差。
2.实验小组测量某型号电池的电动势和内阻。用电流表、电压表、滑动变阻器、待测电池等器材组成如图甲所示实验电路，由测得的实验数据绘制成的U-I图像如图乙所示。
(1)图甲的电路图为图中的　　　　(选填“A”或“B”)。
(2)如果实验中所用电表均视为理想电表，根据图乙得到该电池的电动势E=　　　　 V，内阻r=　　　　 Ω。
(3)实验后进行反思，发现上述实验方案存在系统误差。若考虑到电表内阻的影响，对测得的实验数据进行修正，在图乙中重新绘制U-I图像，与原图线比较，新绘制的图像与横坐标轴交点的数值将　　　　，与纵坐标轴交点的数值将　　　　(两空均选填“变大”“变小”或“不变”)。
答案　(1)B　(2)4.5　1.8　(3)不变　变大
解析　(1)通过观察实物图可知电流表相对电源外接，故电路图为B。
(2)根据闭合电路的欧姆定律E=U+Ir
有U=-Ir+E
则U-I图像在纵轴上的截距表示电池的电动势E，斜率绝对值表示电池的内阻r，根据题图乙结合上述分析可知电池电动势E=4.5 V
内阻r= Ω=1.8 Ω。
(3)分析测量电路可知系统误差的来源是电压表的分流作用，使得电流表的示数小于流过电池的电流，考虑电压表内阻RV的影响，流过电压表的电流为IV=
可知流过电池的电流为I=I测+，有I>I测
因电压表内阻RV不变，随着电压值U测减小，电压表电流IV减小，当电压值U测趋于0时，I趋近于I测，在图乙中重新绘制的U-I图线如图所示，故新绘制的图像与横坐标轴交点的数值将不变，与纵坐标轴交点的数值将变大。
3.(2024·黑吉辽卷，11)某探究小组要测量电池的电动势和内阻。可利用的器材有:电压表、电阻丝、定值电阻(阻值为R0)、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干。他们设计了如图所示的实验电路原理图。
(1)实验步骤如下:
①将电阻丝拉直固定，按照图(a)连接电路，金属夹置于电阻丝的　　　　(选填“A”或“B”)端;
②闭合开关S，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数U，断开开关S，记录金属夹与B端的距离L;
③多次重复步骤②，根据记录的若干组U、L的值，作出图(c)中图线Ⅰ;
④按照图(b)将定值电阻接入电路，多次重复步骤②，再根据记录的若干组U、L的值，作出图(c)中图线Ⅱ。
(2)由图线得出纵轴截距为b，则待测电池的电动势E=　　　　。
(3)由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为k1、k2，若=n，则待测电池的内阻r=　　　　(用n和R0表示)。
答案　(1)①A　(2)　(3)
解析　(1)①闭合开关前，为了保护电路，应使电阻丝接入电路的阻值最大，故金属夹应置于电阻丝的A端。
(2)设电阻丝单位长度的电阻为λ，对题图(a)，由闭合电路的欧姆定律得U=E，整理得=·+;对题图(b)，由闭合电路的欧姆定律得U=E，整理得=·+。纵轴截距为b，则有b=，解得E=。
(3)由(2)中表达式可知k1=，k2=，又=n，解得r=。
4.(2026·江苏连云港一模)小明同学用图示电路测量电源的电动势E和待测电阻的阻值Rx。
(1)闭合开关S1前，应将滑动变阻器的滑片P置于图中　　　　(选填“a”或“b”)端。
(2)闭合开关S1、S2，调节滑动变阻器的滑片，记录多组电压表和电流表的示数，在U-I坐标系中描点作出图像①。
(3)断开开关S2，调节滑动变阻器的滑片，记录多组电压表和电流表的示数，在同一U-I坐标系中描点作出图像②，下列图像中正确的是　　　　。
(4)由第(3)问中选出的U-I图像，可知电源电动势E=　　　　(选用b1、b2、b3表示)，待测电阻的阻值Rx=　　　　　　　　(选用a1、a2、a3、b1、b2、b3表示)。
(5)关于该实验，下列说法正确的是　　　　。
A.实验测得的电动势大于真实值
B.实验还可以精确测量电源内阻
C.实验测得电阻阻值Rx小于真实值
D.电流表内阻不会引起Rx的测量误差
答案　(1)b　(3)B　(4)b1　-　(5)D
解析　(1)为了保护电路，闭合开关S1前，应使回路总电阻最大，此时滑动变阻器的滑片P应置于图中b端。
(3)闭合开关S1和S2时，Rx被短路，此时U=E-rI
则U-I图像的纵截距表示电源的电动势，斜率的绝对值表示电源的内阻;断开开关S2时，Rx接入电路，此时U=E-(Rx+r)I
则U-I图像的纵截距表示电源的电动势E，斜率的绝对值表示电源内阻r和待测电阻Rx之和。可知图像①和②的纵截距相同，但图像②的斜率的绝对值更大，故B正确。
(4)由(3)中B选项图像得
E=b1，r==
Rx+r==
则待测电阻的阻值Rx=-。
(5)考虑电流表内阻时，由(3)中B选项图像可知，图像①、②对应的表达式分别为
U=E-I(r+rA)
U=E-I(Rx+r+rA)
可得
E=b1，r+rA=
Rx+r+rA=
联立解得r=-rA，Rx=-
可见，实验测得的电动势等于真实值，测得的电源内阻偏大，即实验不能精确测量电源内阻，但实验测得待测电阻的阻值Rx等于真实值，即电流表内阻不会引起Rx的测量误差，故D正确，A、B、C错误。

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