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专题强化十六：测电阻的其他几种方法
学习目标：1.了解差值法、半偏法、替代法、电桥法等测电阻的方法。2.会用电学实验知识探究创新实验方案。
方法　差值法测电阻
电流表差值法 电压表差值法
设计 思想 已知内阻的电流表可作电压表使用，在缺少合适电压表的情况下，常用电流表代替电压表 已知内阻的电压表可作电流表使用，在缺少合适电流表的情况下，常用电压表代替电流表
电路 原理图
基本 原理 通过定值电阻R0的电流I0=I2-I1，电流表A1两端的电压U1=(I2-I1)R0 定值电阻R0两端的电压U0=U2-U1，通过电压表V1的电流I1=
可测物理量 ①若R0为已知量，可求得电流表A1的内阻RA1=; ②若RA1为已知量，可求得定值电阻 R0= ①若R0为已知量，可求得电压表V1的内阻RV1=R0; ②若RV1为已知量，可求得定值电阻 R0=RV1
例1 在“金属丝电阻率的测量”的实验中:
(1)用螺旋测微器测量金属丝直径时，其示数如图甲所示，则金属丝的直径为d=　　　　 mm。
(2)某同学设计了如图乙所示的电路测量该金属丝的电阻(阻值约为3 Ω)。
可选用的器材规格如下:
电源E(电压为3 V，内阻不计)
电流表A1(量程0~10 mA，内阻RA1为50 Ω)
电流表A2(量程0~0.6 A ，内阻RA2约为0.5 Ω)
滑动变阻器R1(阻值为0~5 Ω，额定电流为2 A)
滑动变阻器R2(阻值为0~1 kΩ，额定电流为1 A)
定值电阻R3=250 Ω
定值电阻R4=2 500 Ω
开关S和导线若干。
①为了便于操作，并使测量尽量精确，定值电阻应选　　　　，滑动变阻器RP应选　　　　(均填器材符号)。
②某次测量时电流表A1的示数为I1，电流表A2示数为I2，计算Rx的表达式为Rx=　　　　(用题中所给物理量符号表示)。
答案　(1)0.800(0.799~0.801均可)　(2)①R3　R1 ②
解析　(1)由题图甲可知，d=0.5 mm+30.0×0.01 mm=0.800 mm。
(2)①由于滑动变阻器为限流接法，且待测电阻为3 Ω，所以滑动变阻器应选用R1。
根据欧姆定律得串联电阻约为R=-RA1= Ω-50 Ω=250 Ω，故定值电阻选R3。
②根据欧姆定律得Rx=。
例2 某同学利用下列器材，要测量阻值大约30 Ω一段电阻丝的电阻:
A.电源E(电动势约4 V)
B.电压表V1(量程为0~5 V，内阻约4 kΩ)
C.电压表V2(量程为0~1 V，内阻约1 kΩ)
D.定值电阻R0，阻值为10 Ω
E.滑动变阻器R(最大阻值5 Ω)
F.开关一个，导线若干。
(1)他设计如图甲所示电路图，请根据电路图把图乙中的实物图补充完整。
(2)通过调节滑动变阻器，测量得到多组V1和V2的示数U1、U2，并作出图丙所示图像，该图像的斜率为k，则待测金属丝电阻Rx=　　　　(用R0、k等字母表示)，该测量值　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)真实值。
答案　(1)见解析图　(2)(k-1)R0　大于
解析　(1)根据电路图连接实物图，如图所示。
(2)根据串并联电路的特点有=
可得U1=U2
可知U1-U2图像的斜率k=
解得Rx=(k-1)R0
关系式=是在忽略电压表V2分流的情况下等到的，故Rx=中的电流I测Rx真。
方法　“半偏法”测电阻
1.电流表半偏法(电路图如图所示)
(1)实验步骤
①先断开S2，再闭合S1，将R1由最大阻值逐渐调小，使电流表读数等于其量程Im;
②保持R1不变，再闭合S2，将电阻箱R2由最大阻值逐渐调小，当电流表读数等于Im时记录下R2的值，则RA=R2。
(2)实验原理
当闭合S2时，因R1 RA，故总电流变化极小，认为不变仍为Im，电流表读数为，则R2中电流为，所以RA=R2。
(3)误差分析
①测量值偏小:RA测=R2②原因分析:当闭合S2时，总电阻减小，实际总电流增大，大于原电流表的满偏电流，而此时电流表半偏，所以流经R2的电流比电流表所在支路的电流大，R2的电阻比电流表的内阻小，而我们把R2的读数当成电流表的内阻，故测得的电流表的内阻偏小。
③减小误差的方法:选电动势较大的电源E，选阻值非常大的滑动变阻器R1，满足R1 RA。
2.电压表半偏法(电路图如图所示)
(1)实验步骤
①将R2的阻值调为零，闭合S，调节R1的滑动触头，使电压表读数等于其量程Um;
②保持R1的滑动触头不动，调节R2，当电压表读数等于Um时记录下R2的值，则RV=R2。
(2)实验原理:因RV R1，故R2接入电路时可认为电压表和R2两端的总电压不变，仍为Um，当电压表示数调为时，R2两端电压也为，则二者电阻相等，即RV=R2。
(3)误差分析
①测量值偏大:RV测=R2>RV真。
②原因分析:当R2的阻值由零逐渐增大时，R2与电压表两端的总电压也将逐渐增大，因此电压表读数等于Um时，R2两端的实际电压将大于Um，则R2>RV，从而造成RV的测量值偏大。显然电压表半偏法适用于测量内阻较大的电压表的电阻。
③减小误差的方法:选电动势较大的电源E，选阻值较小的滑动变阻器R1，满足R1 RV。
例3 某小组用图甲所示电路测量毫安表G的内阻Rg。毫安表G量程Ig=3 mA，内阻Rg(60~90 Ω)，可供选择的器材如下:
A.滑动变阻器R1(最大阻值500 Ω)
B.滑动变阻器R2(最大阻值5 kΩ)
C.电阻箱R(0~999.9 Ω)
D.电压表(量程0~300 mV)
E.电源E(电动势约为6 V)
F.开关、导线若干。
(1)实验中，滑动变阻器应选用　　　　 (选填“R1”或“R2”)。
(2)闭合开关S1，开关S2接a，调节滑动变阻器的滑片，电表示数如图所示，毫安表G内阻的测量值Rg=　　　　 Ω(结果保留3位有效数字)。
(3)闭合开关S1，断开开关S2，调节滑动变阻器的滑片，使毫安表G的指针满偏;保持滑动变阻器滑片的位置不变，将开关S2接b，调节电阻箱的阻值使毫安表G的指针指在1.50 mA处，记下电阻箱的阻值R=76.8 Ω，则毫安表G内阻的测量值Rg'=　　　　 Ω。
(4)该小组认为在(3)中测得毫安表G的内阻较为准确，你　　　　(选填“同意”或“不同意”)该观点，理由是　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)R2　(2)80.0　(3)76.8　(4)不同意　见解析
解析　 (1)电路最小电阻为R==2 000 Ω，故滑动变阻器应选R2。
(2)由题图乙可知，电压表的读数为160 mV
毫安表的读数为2.00 mA，则毫安表内阻测量值Rg==80.0 Ω。
(3)保持滑动变阻器滑片的位置不变，将开关S2接b，电路电流不变，当毫安表指针指在1.50 mA处时，流过电阻箱的电流为1.50 mA，由并联电路特点可知，毫安表内阻等于电阻箱阻值，即毫安表内阻Rg'=R=76.8 Ω。
(4)不同意。保持滑动变阻器滑片的位置不变，将开关S2接b，毫安表与电阻箱并联，电路总电阻减小，电路电流变大，干路电流大于3 mA，当毫安表指针指在1.50 mA处时，流过电阻箱的电流大于1.50 mA，电阻箱阻值小于毫安表内阻，实验认为毫安表内阻等于电阻箱阻值，则毫安表内阻测量值小于真实值。
例4 电压表满偏时通过该表的电流是半偏时通过该表电流的两倍。某同学利用这一事实测量电压表的内阻(半偏法)，实验室提供的器材如下:
待测电压表V(量程0~3 V，内阻约为3 000 Ω)，电阻箱R0(最大阻值为99 999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值100 Ω，额定电流2 A)，电源E(电动势6 V，内阻不计)，开关两个，导线若干。
(1)图中虚线框内为该同学设计的测量电压表内阻的电路图的一部分，将电路图补充完整。
(2)根据设计的电路，写出实验步骤:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　。
(3)将这种方法测出的电压表内阻记为RV'，与电压表内阻的真实值RV相比，RV'　　　　　RV(选填“>”“=”或“<”)，主要理由是　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)见解析图　(2)见解析　(3)>　见解析
解析　(1)因滑动变阻器阻值较小，所以选择滑动变阻器的分压式接法。实验电路如图所示。
(2)①移动滑动变阻器R1的滑片至最左端，以保证通电后电压表所在支路分压最小;②闭合开关S1、S2，调节R1滑片使电压表的指针满偏;③保持R1滑片的位置不变，断开S2，调节电阻箱R0，使电压表的指针半偏;④读取电阻箱所示的电阻值，该值即为所测电压表的内阻。
(3)断开S2，调节电阻箱使电压表成半偏状态，电压表所在支路总电阻增大，分得的电压也增大;此时R0两端的电压大于电压表的半偏电压，故RV'>RV(其他合理说法均可)。
方法　“替代法”测电阻
如图所示，先让S掷向1，调节R2，使电表指针指在适当位置读出电表示数;然后将S掷向2，保持R2阻值不变，调节电阻箱R1的阻值，使电表的读数仍为原来记录的读数，则R1的读数等于待测电阻的阻值。
例5 某同学测量合金丝的电阻率的实验电路如图甲所示，Rx为接入电路的合金丝的电阻。将粗细均匀的合金丝固定在刻度尺上，通过鳄鱼夹可以改变接入电路的合金丝有效长度L。
实验步骤:
①闭合开关S1，将S2拨至1，记录电压表示数U0。
②将S2拨至2，调节电阻箱使电压表示数为某值，此时R0的阻值等于Rx。
③改变接入电路的合金丝的有效长度L，重复测量5次，L和电阻箱R0阻值的数据如下表:
L/cm 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
R0/Ω 1.2 2.3 3.5 4.7 5.9
(1)实验步骤②中的电压表示数为　　　　，该实验利用电压表两次示数一致来测量合金丝接入电路部分的阻值，使用的物理方法是　　　　　　　　　　　　　　　　法。
(2)根据数据绘制出R0-L图像如图乙所示，并求得图像斜率为k=0.059 Ω/cm，可求得合金丝的电阻率为　　　　 Ω·m(已知合金丝直径d=0.20 mm，结果保留2位有效数字)。
(3)若合金丝表面部分氧化变为绝缘状态，而使此位置导电部分的直径测量值偏大，电阻率测量值将　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
答案　(1)U0　等效替代　(2)1.9×10-7　(3)偏大
解析　(1)将S2拨至2，调节电阻箱阻值使电压表示数再次为U0时，R0的阻值等于Rx，即通过电压相等实现等效替代过程，因此使用的物理方法是等效替代法。
(2)由电阻定律得R0==L
则斜率k=
其k=0.059 Ω/cm=5.9 Ω/m
解得ρ=≈1.9×10-7 Ω·m。
(3)因为氧化后导电部分直径的真实值比测量值小，即d测>d真，由ρ=∝d2可知测量值偏大。
方法　电桥法测电阻
1.操作:如图甲所示，实验中调节电阻箱R3，使灵敏电流计G的示数为0。
2.原理:当IG=0时，有UAB=0，则UR1=UR3，UR2=URx;电路可以等效为如图乙所示。
根据欧姆定律有==，由以上两式解得R1Rx=R2R3或=，这就是电桥平衡的条件，由该平衡条件可求出被测电阻Rx的阻值。
例6 实验小组准备测量某金属圆柱的电阻率，发现该电阻的阻值参数找不到，经小组成员讨论后设计了电阻的测量电路图，如图所示。实验室提供的器材中，电流表A0的量程为100 mA，内阻为r1=10 Ω，另外一个电流表A2的量程为200 mA。现在需要一个量程为0.6 A的电流表。
(1)将电流表A0改装成量程0.6 A的电流表A1，则应该并联一个阻值R'=　　　　Ω的电阻。
(2)图中E为学生电源，G为灵敏电流计，A1是A0改装后的电流表、R1为电阻箱、R2与R3均为滑动变阻器，R0为定值电阻，S为开关，Rx为待测金属圆柱，实验操作如下:
A.按照如图所示的电路图连接好实验器材;
B.将滑动变阻器R2的滑片、滑动变阻器R3的滑片均调至适当位置，闭合开关S;
C.调整R3，逐步增大输出电压，并反复调节R1和R2使灵敏电流计G的示数为零，此时电流表A1的示数为I1，A2的示数为I2，电阻箱的示数为R1;
D.实验完毕，整理器材。
实验中反复调节R1和R2使灵敏电流计G示数为零的目的是　　　　　　　　　　　　　。
(3)待测金属圆柱Rx的阻值为　　　　(用I1、I2、R1表示)。
(4)电流表A1、A2的内阻对电阻的测量结果　　　　(选填“有”或“无”)影响。
答案　(1)2　(2)使R1和Rx两端的电压相等　(3)　(4)无
解析　(1)根据电流表改装原理有I=Ig+=0.6 A，解得R'=2 Ω。
(2)使电流计G的示数为零，目的是使R1和Rx两端的电压相等。
(3)R1和Rx两端的电压相等，则I1R1=I2Rx
解得待测金属圆柱Rx的阻值为Rx=。
(4)根据表达式Rx=，可知电流表A1、A2的内阻对电阻的测量结果均无影响。
1.某物理实验小组要测量一圆柱形匀质金属导体在常温下的电阻率。实验室提供以下器材测金属导体的电阻。
A.待测电阻Rx(阻值约为10 Ω)
B.电流表A1(量程为0~0.6 A，内阻r1约为10 Ω)
C.电流表A2(量程为0~10 mA，内阻r2为60 Ω)
D.滑动变阻器R1(电阻变化范围为0~5 Ω)
E.滑动变阻器R2(电阻变化范围为0~1 kΩ)
F.电阻箱R3(最大阻值为999.9 Ω)
H.电源(电动势E约为6 V，内阻很小)
I.开关S，导线若干。
(1)为了尽可能准确测量金属导体的电阻，该小组同学设计了如图甲所示的电路，将电流表A2与电阻箱R3串联改装成量程为0~6 V的电压表，则实验前需要将电阻箱的阻值调节为R3=　　　　 Ω。
(2)图甲电路中，滑动变阻器应该选择　　　　(选填“R1”或“R2”)，开关闭合前应将滑动变阻器的滑片置于　　　　(选填“A”或“B”)端。
(3)若测得接入电路中金属导体的长度为L，导体横截面直径为d，调节滑动变阻器的滑片位置，测得多组电流表A1与A2的示数分别为I1与I2，记录在表格中，并在I1-I2坐标系中作出的图像如图乙所示，图线斜率为k，则待测导体电阻率的表达式为ρ=　　　　(用题目中所给物理量的符号表示)。
(4)若实验中没有及时断开开关，金属丝持续发热，则实验得到的金属导体电阻率测量值　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
答案　(1)540.0(或540)　(2)R1　A (3)　(4)大于
解析　(1)将电流表A2(内阻r2=60 Ω)改装成量程为U=6 V的电压表，则有U=I2(r2+R3)
可得R3=-r2= Ω-60 Ω=540 Ω。
(2)因为待测电阻Rx阻值约为10 Ω，滑动变阻器采用分压式接法，故应选择总电阻较小的R1。
为了保护电路，开关闭合前应将滑动变阻器的滑片置于使测量电路电压为零的A端。
(3)根据欧姆定律得Rx=
整理得I1=I2
则有k=
又Rx=ρ，S=
解得ρ=。
(4)若实验中没有及时断开开关，金属丝持续发热，金属的电阻率随温度升高而增大，所以实验得到的金属导体电阻率测量值大于真实值。
2.某同学要用一气敏电阻制作甲醛气体浓度报警器。首先需要探究实验获得气敏电阻Rq随甲醛浓度η变化的关系，为此他设计了如图甲所示电路，实验可供选择的器材如下:
A.电源E(电动势6 V，内阻不计)
B.电压表V1(量程0~3 V，内阻为2 kΩ)
C.电压表V2(量程0~6 V，内阻约为5 kΩ)
D.滑动变阻器R1(最大阻值10 Ω，额定电流0.2 A)
E.滑动变阻器R2(最大阻值2 kΩ，额定电流0.2 A)
F.开关、导线若干。
(1)在图甲电路中，滑动变阻器应选择　　　　(填器材前的字母)。
(2)根据实验测得的数据，描绘出的Rq-η图像如图乙所示。当甲醛浓度为安全上限时，电压表V1、V2读数分别为2.30 V、5.29 V，则甲醛安全浓度上限为　　　　 kg/m3。
(3)该同学利用该气敏电阻设计了如图丙所示的报警电路，用来检测室内甲醛是否超标。电路中蜂鸣器的电阻可视为无穷大，电源电动势E2=6.0 V(内阻不计)，接通电路后当蜂鸣器两端电压达到4.5 V时报警，则R0的阻值为　　　　 kΩ(保留2位有效数字)。要使报警电路在甲醛浓度更低时报警，则应将R0　　　　(选填“调大”“调小”或“不变”)。
答案　(1)D　(2)1.0×10-7　(3)0.87　调小
解析　(1)在图甲电路中，滑动变阻器采用分压式接法;故应选择总电阻较小的R1，故选择D。
(2)气敏电阻两端的电压U=U2-U1=5.29 V-2.30 V=2.99 V
通过气敏电阻的电流I== A=0.001 15 A
由欧姆定律可得气敏电阻的阻值
Rq== Ω=2 600 Ω
则由题图乙可知，当Rq=2 600 Ω时甲醛安全浓度上限为1.0×10-7 kg/m3。
(3)当蜂鸣器两端电压达到4.5 V时报警，即Rq两端的电压为4.5 V，则R0两端的电压为
UR0=6.0 V-4.5 V=1.5 V
由于蜂鸣器的电阻为无穷大，则Rq、R0可视为串联，故=
可得R0=Rq=0.87 kΩ
由题图乙可知，甲醛浓度越低气敏电阻Rq越小;根据串联电路分压规律得U=E2
要使报警器在甲醛浓度更低时报警(U仍为4.5 V)，则应将R0调小。
3.某同学制作了一款测温计，该测温计的最高测温电路图如图甲所示，所使用器材:
定值电阻R1为10 Ω
定值电阻R2为50 Ω
电阻箱R3(调节范围0~999.9 Ω)
金属热电阻R4
电动势为36 V的直流电源(内阻很小可忽略不计)
电压表V(量程0~3 V，内阻很大)
开关，导线若干。
金属热电阻的阻值随温度变化图像如图乙所示，操作步骤如下:
(1)先按图甲连接好电路，电压表的正接线柱应连接　　　　(选填“a”或“b”)，将传感器置于恒温箱中，将恒温箱温度调为180℃，调节R3的阻值为　　　　Ω，此时电压表指针指到0刻线。
(2)降低恒温箱温度，电压表示数为1.2 V时，恒温箱的温度为　　　　。
(3)依次降低温度，将电压表刻度改为相应的温度刻度。该测温计能够测量的最低温度为　　　　。
答案　(1)b　30　(2)90℃　(3)0℃
解析　(1)R2=50 Ω与R1=10 Ω串联，R4与R3串联，再并联在36 V的直流电源两端，因180℃时电压表指针指到0刻线，即φa=φb，此后温度降低，热敏电阻R4的阻值变小，其分得的电压变小，则b点的电势升高，R1分得的电压不变，a点电势不变，故电压表的正接线柱应连接b;
由题图乙得Rt=90+t(Ω)=90+t(Ω)
当t=180℃时，R4=90 Ω+×180 Ω=150 Ω，此时电压表指针指到0刻线，即φa=φb，则有=
代入电阻值解得R3=30 Ω。
(2)直流电源的电动势为E=36 V(内阻很小可忽略不计)，则有
UR2==30 V
UR1==6 V
当电压表示数为1.2 V时，有
UR4==(30-1.2) V=28.8 V
解得R4=120 Ω
代入Rt=90+t(Ω)，可得温度为t=90℃。
(3)当电压表的示数为3 V时，该测温计能够测量的温度最低，此时R4两端电压
UR4'==(30-3) V=27 V
解得R4'=90 Ω
代入Rt=90+t(Ω)，得最低温度为t=0℃。
4.(2025·甘肃卷，12)某兴趣小组设计测量电阻阻值的实验方案。可用器材有:电池(电动势1.5 V)两节，电压表(量程3 V，内阻约3 kΩ)，电流表(量程0.3 A，内阻约1 Ω)，滑动变阻器(最大阻值20 Ω)，待测电阻Rx，开关S1，单刀双掷开关S2，导线若干。
(1)首先设计如图甲所示的电路。
①要求用S2选择电流表内、外接电路，请在图甲中补充连线将S2的c、d端接入电路;
②闭合S1前，滑动变阻器的滑片P应置于　　　　(选填“a”或“b”)端;
③闭合S1后，将S2分别接c和d端，观察到这两种情况下电压表的示数有变化，电流表的示数基本不变，因此测量电阻时S2应该接　　　　(选填“c”或“d”)端。
(2)为了消除上述实验中电表引起的误差，该小组又设计了如图乙所示的电路。
①请在乙图中补充连线将电压表接入电路;
②闭合S1，将S2分别接c和d端时，电压表、电流表的读数分别为Uc、Ic和Ud、Id。则待测电阻阻值Rx=　　　　(用Uc、Ud、Ic和Id表示)。
答案　(1) ①见解析图(a)　②b　③c (2)①见解析图(b)　②-
解析　(1)①实物连接图如图(a)所示。
②闭合S1前，根据滑动变阻器的限流式接法知，滑片P应置于b端，使连入电路中的阻值最大，保护电路的安全。
③闭合S1后，将S2分别接c和d端，观察到这两种情况下电压表的示数有变化，电流表的示数基本不变，说明电流表分压明显，为减小实验误差，应采用电流表外接法，因此测量电阻时S2应该接c端。
(2)①实物连接图如图(b)所示。
②根据电路分析，当闭合S1，将S2接c端时，电压表、电流表的读数分别为Uc、Ic，由欧姆定律知
=Rx+RA+R滑
将S2接d端时，电压表、电流表的读数分别为Ud、Id，有
=RA+R滑
可得待测电阻阻值Rx=-。

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