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广西壮族自治区来宾市联考2025-2026学年高二下学期7月期末综合练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下面各选项中求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．把6个不同的球放入4个不同的盒子里，每个球可以放入任意一个盒子（允许有空盒），则不同的放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．某高中学校的学生中有60%的同学喜欢打羽毛球，50%的同学喜欢打篮球，40%的同学同时喜欢打羽毛球和篮球，在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学喜欢打篮球，则该同学也喜欢打羽毛球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．函数的单调递减区间为
C．函数的极大值点为
D．函数的极小值点为
6．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，且第3项和第5项二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项是第4项 B．
C． D．
10．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（ ）
月份x 1 2 3 4 5
利润y 5 8 10 12 15
A．
B．可以估计10月份的利润为25.5（万元）
C．1到5月份的利润数据的第70百分位数为12（万元）
D．5月份利润的残差为0.5（万元）
11．已知函数在有极大值，则（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．方程有且只有一个实数解，则或
D．当时，
三、填空题
12．名同学从左向右站成一排，则甲站在正中间且乙不站在最右端的排法种数是________．
13．已知随机变量，，则________．
14．已知函数有两个不同的极值点和，恒成立，则实数t的取值范围是________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
16．广西“三月三”，小明一家四口到北海度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种不同特色美食，其中有1种特色汤类，3种海鲜类，3种粉面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）.
(1)求小明家点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食的概率；
(2)用随机变量表示所选美食中粉面类的数量，求的分布列和期望.
17．某年广西举办的城市篮球联赛（简称“桂超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“桂超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“桂超”联赛的情况，得到如下表格：
性别 不喜欢 喜欢 合计
男性 40 140 180
女性 50 70 120
合计 90 210 300
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关；
(2)用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取4人参加抽奖活动，记这4人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，（结果精确到0．001）．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知函数．
(1)若时，求的极值；
(2)证明：当时，；
(3)已知函数有两个零点，，且．证明：．
19．2026年3月17日，德国柏林女篮世界杯预选比赛收官.预选比赛中，中国女篮战胜巴西女篮，最终稳稳晋级9月柏林世界杯正赛.中国女篮首发五人分别是张曼曼、杨舒予、张茹、罗欣棫和韩旭.主教练宫鲁鸣准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
(1)记张曼曼、杨舒予、张茹三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到张曼曼、杨舒予、张茹三个人相互做传球训练，且第1次由杨舒予将球传出，记n次传球后球在杨舒予手中的概率为，．
①直接写出，，的值；
②求数列的通项公式，并判断19次与20次传球后球在杨舒予手中的概率的大小．
参考答案
1．D
【详解】
2．B
【详解】因为常数的导数为，是常数，因此，选项A错误；
因为（），有，取，可得，选项B正确；
由（），有，因此，选项C错误；
因为，故选项D错误.
3．A
【详解】每个球都有4种选择，故不同的放法共有种.
4．D
【详解】设事件为“喜欢打羽毛球”，事件为“喜欢打篮球”，
可得，
由条件概率的计算公式，可得.
5．D
【详解】由导函数的图象，可知当时，，当时，，
则是该函数的单调递减区间，是该函数的单调递增区间，
真包含故不是该函数的单调递减区间，故AB错误；
由上分析，知函数的极小值点为，故C错误，D正确.
6．C
【详解】，，
又，.
7．B
【详解】对函数求导可得 ，
令 ，解得或.
若 ，即 ，
当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。此时 是极小值点，不符合题意；
若 ，即 ：恒成立， 在上单调递增，无极值点，不符合题意；
若 ，即 ：当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。此时 是极大值点。
综上， 是 的极大值点的充要条件为 .
所以，“”是“”是函数的极大值点”的必要不充分条件.
8．C
【详解】函数 的定义域为 ，对 求导得,
因为 在 上单调递增，所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
由于 ，不等式两边同除以 ，整理得 ,
令 ，由 得 ，原不等式转化为,
设 ，,由于图象是开口向下，对称轴为 的抛物线，
因此 在 上单调递减，其最大值为,
要使 对 恒成立，则，即实数 的取值范围是 .
9．ABD
【详解】由第3项和第5项二项式系数相等，得，所以，
所以展开式共7项，所以二项式系数最大的项是第4项，故A正确；
二项式展开式的通项公式为，
令，所以，所以，故B正确；
令，得，所以，
令，得，所以，
所以，故C错误；
令，得，
所以，故D正确.
10．AC
【详解】对于A，由表格中的统计数据，可得，，
将样本中心代入回归方程，可得，所以A正确；
对于B，由A知：回归直线方程为，
令，可得，即10月份的利润为万元，所以B错误；
对于C，由，所以数据的第70百分位数为，所以C正确；
对于D，由表格中的数据知，当时，实际利润为万元，
预测利润为万元，所以5月份利润的残差为万元，所以D错误.
11．BD
【详解】对于A，由题可得，则，
因为为极值点，因此，解得或，
当时，，
令，则或，
当时，，当时，，当时，，
因此时，为极小值点，不合题意；
当时，，
令，则或，
当时，，当时，，当时，，
故为极大值点，因此，故A错误；
对于B，，所以切点为,斜率，
切线方程为，即，故B正确.
对于C，根据上述分析可得在与上单调递增，在上单调递减，故函数图像为
通过图像我们发现或时，就有且仅有一个解，
因此或，故C错误；
对于D，当时，，
又因为在上单调递增，所以，故D正确.
12．
【详解】将个站位从左到右依次编号为，先排甲，甲站位有种，
再排特殊元素乙：乙不能选择已被甲占据的站位，也不能选择站位，因此乙可选的站位为，共种选择；
安排剩余名无约束的同学安排到剩余的个站位，全排列的排法种数为.
根据分步乘法计数原理，总排法种数为.
13．
【详解】，，
，
解得，，
.
14．
【详解】对函数求导得，
有两个不同的极值点，有两个不同的正根，
根据韦达定理：，，
设.
将变形为，
，
，代入得 ：.
令，，，
此时不等式变换为：
，对恒成立.
设，则，
时，，即在上单调递减，
故，要使恒成立，只需.
15．(1)
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为
【详解】（1）由，得，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即；
（2）因为函数，在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
16．(1)
(2)的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为
【详解】（1）设事件为“点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食”，
则.
（2）在7种特色美食中，粉面类3种，非粉面类4种，随机变量的所有可能取值为，
由题意得，，
，，
因此的分布列为，
0 1 2 3
故数学期望为.
17．(1)能
(2)的分布列为：
0 1 2 3 4
数学期望为
【详解】（1）设零假设：喜欢观看“桂超”联赛与性别无关.
由列联表可知总样本量，代入卡方公式得：.
已知对应的临界值为，由于，因此拒绝零假设，
即依据小概率值的独立性检验，能认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关.
（2）用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取1人，抽到女性的概率.
随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且，
则，，
，，.
故的分布列为：
0 1 2 3 4
数学期望为.
18．(1)极小值为，无极大值
(2)要证明，即证，
化简得，当时，，故即证，
令，则，
因为在上单调递增，故单调递增，
又因，所以当时，，
当时，，故在区间上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值和最小值，，
因此，因此，所以.
(3)由题可得，即，
两式相减得，解得，
因为要证，即证，将代入
即证，令，则，
因为，所以，因此，
即证，
令，则，
由均值不等式可得，故，
当且仅当时取等号，所以时，，即在上单调递增，
故，故.
【详解】（1）由题可得，则，
令，解得，当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
故在处取极小值，无极大值，
极小值为.
（2）略
（3）略
19．(1)的分布列为：
1 2 3
数学期望（或1.8）；
(2)
①，，；②通项公式为，
【详解】（1）X的可能取值分别为，
，，，
故分布列为
1 2 3
数学期望为；
（2）①显然，
第二次由张曼曼或张茹进行传球，传到杨舒予手中的概率为，故，
若第二次传到杨舒予手中，则第三次不会传到杨舒予手中，若第二次不传到杨舒予手中，
则第三次传到杨舒予手中的概率为，故；
②由题意得，故，
其中，故，，
通项公式为，
，，
，
故.

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