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暑期预习讲义（第12讲）——分式方程及其应用（知识梳理+题型精析+同步自测）
目录
一.教材知识梳理 2
【知识点一】分式方程的定义 2
【知识点二】分式方程的解法（必考五步法） 2
【知识点三】增根 2
【知识点四】分式方程无解的两种情况（重难点） 2
【知识点五】分式方程应用题解题模板 2
【知识点六】高频易错清单 2
二.经典题型精析（基础夯实） 3
【题型 1】分式方程的识别 3
【题型 2】解分式方程（必考基础） 4
【题型 3】已知方程的增根求参数（易错题型） 6
【题型 4】列分式方程 9
三.经典题型精析（综合提升） 11
【题型 5】含参问题：已知分式方程解的情况求参数（提升） 11
【题型 6】工程应用题（期末高频） 14
【题型 7】分式方程的无解问题（提升） 16
【题型 8】行程应用题（拔高题型） 19
【题型 9】经济问题应用题（拔高题型） 21
四.同步自测 24
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25
（二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29
（三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32
预习方法：读概念→理解定义→熟悉运算步骤→学例题→练变式→同步自测
一.教材知识梳理
【知识点一】分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
辨析关键：看分母是否含未知数，含未知数为分式方程，不含为整式方程。
【知识点二】分式方程的解法（必考五步法）
步骤1：去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；
步骤2：解整式方程：按一元一次方程求解；
步骤3：检验（最关键）：将解代入最简公分母；
步骤4：判断：公分母≠0，是原方程的解；公分母=0，是增根，原方程无解；
步骤5：写结论。
【知识点三】增根
增根定义：去分母后整式方程的解，使原分式方程分母为0，导致原方程无意义。
产生原因：去分母时乘了含未知数的式子，默认式子不为0，扩大取值范围。
重要结论：分式方程必须检验！！！（不检验直接扣分）
【知识点四】分式方程无解的两种情况（重难点）
1. 整式方程无解 → 原分式方程无解；
2. 整式方程有解，但解全部是增根 → 原分式方程无解。
【知识点五】分式方程应用题解题模板
审→设→列→解→验（双重检验：方程有意义+符合实际题意）→答
常见模型：行程问题、工程问题、销售单价问题、工作量效率问题
【知识点六】高频易错清单
1. 去分母时，常数项漏乘最简公分母（全班第一易错点）；
2. 忘记检验、不会判断增根；
3. 含参问题混淆“有增根”和“无解”；
4. 应用题不检验实际意义，出现负数解、不合理解。
二.经典题型精析（基础夯实）
【题型 1】分式方程的识别
【例题1】（【北师大版课时练习】八年级下册第五章分式与分式方程4分式方程）根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了．设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
【答案】见分析．
【分析】根据（1-增长的百分比）×2008年吸收的投资额=2009年吸收的投资额列出方程，再根据分式方程的定义求解即可．
解：根据题意得，
x满足的方程有：，，，，等，其中，是分式方程．
【点拨】本题考查分式方程的定义，掌握相关知识是解题关键．
【变式1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可．
解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求；
B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求；
C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求；
D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求．
【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号）
【答案】 ②③④⑥ ①⑤
【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断．
解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程；
对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程；
对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程；
对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程；
对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程；
对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程．
故答案为：②③④⑥；①⑤
【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）．
（1）；
（2）；
（3）（是常数．）；
（4）．
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是
【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
解：（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程；
（2）是关于的分式方程；
（3）是整式方程，不是关于的分式方程；
（4）是关于的分式方程
【题型 2】解分式方程（必考基础）
【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期末）解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．
（2）方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．
解：（1）解：去分母，得，
解得，
检验：时，，是原方程的解．
（2）解：去分母，得
，
检验：时， 是原方程的解．
【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）解分式方程时，去分母后方程变形为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先观察两个分母的关系，得到，取最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到变形结果．
解：∵，
原方程为，
∴给方程两边同时乘以最简公分母，得：
，
∴变形后的方程对应选项D．
【变式2】（2026·北京昌平·二模）方程的解为________．
【答案】
【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解．
解：方程两边同时乘以最简公分母，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期末）解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）可知最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求解；
（2）可知最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求解．
解：（1）解：
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
∴原分式方程无解．
【题型 3】已知方程的增根求参数（易错题型）
【例题3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的分式方程．
（1）当时，求该方程的解；
（2）若该方程有增根，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查分式方程的解以及分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是分母为零的根，注意检查即可．
（1）将代入方程，可得方程为，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验是否是增根；
（2）因为方程有增根，所以，去分母、去括号、移项、合并同类项得，即，即，得．
解：（1）解：（1）当时，原方程化为，
去分母得：，
化简得：
解这个整式方程，得，
检验：把代入得：，
所以，是原方程的解；
（2）原方程去分母，得，
移项合并同类项，得，
因为该方程有增根，
所以增根为，
所以，
所以．
【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值．
解：方程两边同乘去分母，得 ，
展开并整理得 ，
∵原分式方程有增根，
∴分式的分母为0，即，
解得，
把代入，
得 ，
解得 ．
【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的分式方程有增根，则________．
【答案】
【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，根据分式方程有增根的条件是分母为0建立关于m的方程，解方程即可得到答案．
解：
去分母得，
去括号得，
解得，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的方程有增根，试求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程增根的知识，解题的关键是理解增根的概念，即分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，通过增根求出相关字母的值．
先确定增根，再将分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求出的值．
解：分式方程，其分母分别为和．
因为分式方程的增根是使分母为0的根，，解得，
所以该分式方程的增根为．
将分式方程化为整式方程：
得到：，
把增根代入整式方程中，即．
化简可得，解得．
综上，的值为．
【题型 4】列分式方程
【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果汁加工厂接到一笔订单，需在规定时间内将一批猕猴桃加工成猕猴桃果汁．现有如下三种方案可供选择：
①甲小组单独完成这笔订单正好可以如期交货；
②乙小组单独完成这笔订单会比规定时间晚天；
③甲、乙两小组同时工作天，剩下的工作量由乙单独完成也能如期交货．
设甲小组单独完成这笔订单需要天．
（1）将下表补充完整：
小组 工作总量 所用时间（天） 工作效率
甲 1
乙 1
（2）根据表中信息可列出方程为 ．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据公式：，结合题意进行填空即可；
（2）甲一共工作了天，工作量为，乙工作了天，工作量为，据此列出方程．
解：（1）解：填写表格如下：
小组 工作总量 所用时间（天） 工作效率
甲 1
乙 1
（2）解：根据题意，可列方程．
【变式1】（2026·四川内江·中考真题）内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，小明走完全程的时间为小时，小林走完全程的时间为小时，而小林比小明早15分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多小时，即可建立方程．
解：设小明的速度为千米/时，则小林的速度为千米/时，
由题意得，．
【变式2】（25-26八年级下·山西长治·期末）我国古代数学著作《九章算术》“均输”一章中记载了“工匠织布”问题：今有二匠织素，甲织一百尺之时，乙织八十尺．甲每日比乙多织五尺，问乙日织几何？其大意：两名工匠织布，甲织100尺布的时间与乙织80尺布的时间相等，甲每天比乙多织5尺．问乙每天织布多少尺？设乙每天织布x尺，则可列方程为________．
【答案】
【分析】设乙每天织布尺，先表示出甲每天织布的尺数，再根据甲织100尺布与乙织80尺布的时间相等的等量关系，结合时间等于工作量除以工作效率，即可列出方程．
解：设乙每天织布尺，
由题意得甲每天织布尺，
则甲织尺布的时间为，乙织尺布的时间为，
∴．
【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）（教材呈现）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
思路1：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，
则：甲队半个月完成总工程的__________；
乙队半个月完成总工程的__________；
方程为____________________；
思路2：设乙队单独施工需个月完成总工程，则甲队单独施工需_____个月完成总工程．甲队半个月完成总工程的_____，乙队半个月完成总工程的_____；
方程为____________________；
思路3：设乙队工作效率为，则甲队的工作效率为_____；
甲队半个月完成的工程量__________；
乙队半个月完成的工程量__________；
方程为____________________．
【答案】；；；3；；；；；；；
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．根据条件计算甲队、乙半个月完成总工程的多少；根据条件计算甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少；再根据条件，列出分式方程，即可．
解：思路1：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，
则：甲队半个月完成总工程的；
乙队半个月完成总工程的；
方程为；
思路2：设乙队单独施工需个月完成总工程，则甲队单独施工需3个月完成总工程．
甲队半个月完成总工程的，
乙队半个月完成总工程的；
方程为；
思路3：设乙队工作效率为，则甲队的工作效率为；
甲队半个月完成的工程量；
乙队半个月完成的工程量；
方程为．
三.经典题型精析（综合提升）
【题型 5】含参问题：已知分式方程解的情况求参数（提升）
【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】先解方程得到，再根据分母不为零的取值条件得到，再代入运算即可．
解：
，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【变式1】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式，求解即可得到的取值范围；
解：原方程
方程两边同时乘以，得：
，
整理得：，
∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时分母不为，
∴，且，
∴，且
解得且；
【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______．
【答案】
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为负数且分式有意义，确定m的取值范围，即可求出m的最大整数值．
解：分式方程，两边同乘得：，
移项合并同类项得：．
∵方程的解为负数，
∴，
解得．
又∵分式有意义，分母不能为，即，
∴，
解得．
∴的取值范围是且，
则的最大整数值是．
【变式3】（2026·上海静安·二模）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围．
【答案】且
【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果．
解：方程两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
解得，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴，
解得，
∵分式方程分母不能为零，即，
∴，
∴，
∴，
综上所述，常数a的取值范围且．
【题型 6】工程应用题（期末高频）
【例题6】（贵州省铜仁市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷）松桃卤鸭作为铜仁非遗美食，被誉为“南方烤鸭”．已知甲店加工200只卤鸭和乙店加工180只卤鸭所用时间相同，甲店每小时比乙店多加工2只．
（1）求甲店、乙店每小时各加工多少只卤鸭；
（2）若某批订单需要300只卤鸭，要求甲店和乙店分别加工，所用时间之和不超过16小时，则甲店至少要加工多少只？
【答案】（1）甲店每小时加工20只卤鸭，乙店每小时加工18只卤鸭；（2）甲店至少要加工120只卤鸭
【分析】（1）设乙店每小时加工只卤鸭，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”，根据两店工作时间相等的关系列分式方程，求解检验后得到结果；
（2）设甲店加工只卤鸭，根据总时间不超过16小时列一元一次不等式，求解得到甲店加工数量的最小值．
解：（1）解：设乙店每小时加工只卤鸭，则甲店每小时加工只卤鸭．
由题意得，
去分母得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲店每小时加工20只卤鸭，乙店每小时加工18只卤鸭；
（2）解：设甲店加工只卤鸭，则乙店加工只卤鸭．
由题意得，
不等式两边同乘180得，
整理得，
解得，
答：甲店至少要加工120只卤鸭．
【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）某科技企业接到生产600万个芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货．求每月原计划生产芯片多少万个？若设每月原计划生产芯片万个，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据未知数分别表示原计划完成时间和实际完成时间，再根据“实际比原计划提前2个月完成”得到等量关系：原计划用时实际用时，即可列出方程．
解：∵每月原计划生产芯片万个，实际每月生产能力比原计划提高，
∴实际每月生产芯片万个，
∵总订单为万个，
∴原计划完成时间为个月，实际完成时间为个月，
∵实际比原计划提前个月完成，
∴．
【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______．
【答案】
【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可
解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为，
实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为，
实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成，
即原来用时比实际用时多天，
因此可列方程：
【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程：
①；② ．
（1）方程①中表示： ；方程②中表示： ；
（2）任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数．
【答案】（1）甲组每小时加工的件数；甲组加工200件所用的时间 或 乙组加工240件所用的时间；（2）甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件
【分析】（1）由可得方程①中表示：甲组每小时加工的件数；由可得方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间.
（2）分别解两个方程，进一步可得答案.
解：（1）解：方程①中表示：甲组每小时加工的件数；方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间.
（2）解：方程①：，
解得：，
经检验：是原方程的解 ，且符合题意，
，
答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件；
方程②：，
解得： ，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件．
【题型 7】分式方程的无解问题（提升）
【例题7】（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）已知关于x的方程．
（1）若方程的增根为，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值．
【答案】（1）；（2）4或或
【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可；
（2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可．
解：（1）解：，
，
，
把代入中可得：
，
∴，
∴m的值为；
（2）解：当方程有增根时，，
∴或，
把代入中可得：
，
∴，
把代入中可得：
，
∴，
当时，该方程无解，即；
∴综上所述：m的值为4或或．
【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【答案】B
【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程分母为0（即产生增根），分两种情况计算即可得到的值．
解：，
原方程两边同乘，去分母得，
整理得：，
①当整式方程无解时，此时，方程变为，不成立，原方程无解；
②当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程分母，得增根，
把代入，得，即；
综上，的值为或．
【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的方程无解，则k的值为________ ．
【答案】1或2
【分析】将分式方程转化为整式方程，分为整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可．
解：，
去分母，得：，
∴，
∵关于x的分式方程无解，
整式方程无解或分式方程有增根，
当整式方程无解时，，
解得：，
当分式方程有增根时，，即，
把代入整式方程，可得：，
解得，
故k的值为1或2．
【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若解关于x的方程无解，求代数式的值．
【答案】9
【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程无解时求参数问题，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先解分式方程得到，然后由方程无解得到，代入求出，然后代入化简后的代数式计算即可．
解：
去分母得：，
解得，
∵关于x的方程无解，
∴
∴，
∴，
∴，
，
当时，原式．
【题型 8】行程应用题（拔高题型）
【例题8】（2026·江苏扬州·三模）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．
【答案】8天
【分析】设规定时间为天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
解：设规定时间为天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，
根据题意，得，，
解得，，
经检验，是原方程的解．
答：规定时间是8天．
【变式1】（25-26七年级下·浙江温州·期末）某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小州由已知信息列出方程，则方程中表示的是（ ）
A．骑自行车的速度 B．汽车的速度
C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间
【答案】A
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题目给出的方程和已知条件，推导的实际含义即可．
解：∵路程速度时间，，方程左边和为路程除以速度的形式，
∴代表速度，
设表示骑自行车的速度，则汽车速度为，
自行车先走分钟，汽车晚出发分钟且早到分钟，
∴骑自行车总共比乘汽车多用分钟，分钟小时，
∴骑自行车的总时间乘汽车的总时间，即，
∴表示骑自行车的速度．
【变式2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字字，小明抄写原文比小华多花分钟，小华抄写速度是小明的倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为______．
【答案】
【分析】设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字，根据题意列出方程即可．
解：设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字，
根据题意得，．
【变式3】（25-26九年级下·重庆·期中）每年7月青海湖北岸的油菜花进入盛放期，成为青海湖的一处拍照打卡地．A、B两支队伍计划自驾去青海湖游湖赏花，两支队伍计划同一天出发，沿不同的路线自驾去青海湖，A队自驾路线全程2700千米，B队自驾路线全程1800千米，由于A队总路程较长，为了提前到达，所以A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，这样A队将比B队提前1天到达青海湖．
（1）求A、B两队分别计划多少天到达青海湖？
（2）A队每人每天的平均花费为200元，计划有10个人同行；B队每人每天的平均花费为150元，计划有8个人同行，后来A队又有m个人加入队伍，经过计算，A队每人每天的平均花费将减少30元．若自驾天数与原计划天数一致，两队总花费比原来增加了，求m的值．
【答案】（1）A队计划3天到达青海湖，B队计划4天到达青海湖；（2）
【分析】（1）根据“时间路程速度”列式，再根据A队计划天数与B队计划天数之间的关系列等量关系式求解；
（2）根据题意将A队原计划与实际的花费算出来，再根据题意列等量关系式，求解即可．
解：（1）解：设B队计划的每天行驶千米，则A队计划的每天行驶千米，
由题意得：，解得，
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴（天），（天），
∴A队计划3天到达青海湖，B队计划4天到达青海湖．
（2）解：A队计划花费：（元），
B队计划花费：（元），
A队新的花费：（元），
由题意得：，
解得．
【题型 9】经济问题应用题（拔高题型）
【例题9】（25-26八年级下·河南周口·期末）河南某文具店采购一批笔记本，第一批花费3000元，第二批花费6000元，第二批进货单价是第一批1.2倍，进货数量比第一批多50本．
（1）求第一批笔记本进货单价；
（2）两批笔记本统一按每本20元销售，全部售完总利润多少元．
【答案】（1）第一批单价40元；（2）亏损5000元
【分析】（1）设第一批单价x元，第二批元，根据第二批进货单价是第一批1.2倍，进货数量比第一批多50本列分式方程解答；
（2）根据总价除以单价求出第一批进货数量，及第二批数量，用总销售额减去总成本求出总利润．
解：（1）解：设第一批单价x元，第二批元，由题意得
解得，
经检验：是方程的解，
答：第一批进货单价为40元；
（2）第一批数量：本；第二批：本
总销量：本
总销售额：元
总成本：元
总利润：元，
所以，全部售完亏损5000元．
【变式1】（2026·浙江温州·三模）小红在甲店用30元买到一种练习本，小明在乙店用30元买到了同种练习本，由于乙店的练习本售价比甲店低1元/本，故小明比小红多买到2本．设该种练习本在甲店的售价为x（元/本），则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出的甲店练习本售价，表示出乙店售价，再根据总金额、单价和数量的关系得到两人的购买数量，最后根据数量差列出方程．
解：∵设甲店练习本售价为元/本，乙店售价比甲店低元/本，
∴乙店练习本售价为元/本．
∴小红购买的数量为本，小明购买的数量为本．
∵小明比小红多买到本，
∴．
【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元．
【答案】4
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据去年销售总额和今年销售额增长率，求出今年销售总额；设去年单价为元，表示去年销量、今年单价和销量，利用今年销售总额列方程求解去年单价，再求今年单价．
解：去年批发销售总额为元，今年增加，则今年销售总额为（元）．
设去年每千克平均批发价为元，则去年销量为．
今年每千克批发价比去年降低，故今年单价为元；
今年销量增加，故今年销量为．
今年销售总额为今年单价与销量之积，即．
简化得，
解得．
经检验：是原分式方程的解，
今年单价为（元）．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A、B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划购买A、B型充电桩共个，购买总费用不超过万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；（2）该停车场有3种购买方案．方案一：购买A型充电桩个、B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个、B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，B型充电桩个．方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）
【分析】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据题意列出分式方程，求解并检验即可；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个，根据题意列出不等式组并求解，根据m为整数得出满足条件的m的值，找出全部购买方案，比较各方案所需费用即可．
解：（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元．
根据题意得，
方程两边同时乘以得，
解得，
检验，当时，，故是所列分式方程的解且符合题意，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个．
根据题意，得，
①合并同类项并移项得，解得，
②合并同类项并移项得，解得，
原不等式组的解为，
为整数，
，或，
该停车场有3种购买方案，
方案一：购买A型充电桩个，B型充电桩个；
方案二：购买A型充电桩个，B型充电桩个；
方案三：购买A型充电桩个，B型充电桩个；
A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）．
四.同步自测
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解．
解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程．
2．（25-26八年级下·河南周口·期末）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程求解，再检验得到原方程的解．
解：，
方程两边同乘，得，
移项，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
3．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值．
解：∵是分式方程的解，
∴将代入原方程，得，
移项得，
两边同乘（），
得，
整理得，
∴．
4．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）若关于的分式方程有增根，则这个增根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程的增根是使分式方程分母为0的未知数的值，据此计算即可得到结果；
解：∵ 分式方程有增根，
∴ 分式的分母，
解得，
故方程的增根是；
5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值.
解：∵ 原分式方程有增根，
∴ 最简公分母，解得增根为，
方程两边同乘，得，
把代入整式方程，得，
解得.
6．（25-26八年级下·四川乐山·期末）解分式方程的过程中，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定最简公分母，给方程两边同乘最简公分母去分母，注意分母互为相反数时的符号变形即可得到结果．
解：，
方程两边同时乘以得，，
即．
7．（2026·山东德州·中考真题）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据设出的未知数表示出两类书籍的单价与购买数量，再根据两类书籍的数量差关系列出方程．
解：∵设文学类书籍的单价为元，科技类单价是文学类单价的倍，
∴科技类书籍的单价为元.
根据数量等于总价除以单价，可得：购买文学类书籍的数量为本，购买科技类书籍的数量为本.
∵文学类比科技类多买本，即文学类数量减去科技类数量等于，
∴列方程得．
8．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
解：，
方程两边同乘，得，
解得，
∵方程的解为负数，
∴，
解得，
∵分式有意义时分母不为0，即，
∴，即，
解得，
综上，的取值范围为且．
9．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）周末，小张骑电动车去某乡村办事，先走坑洼不平的乡村小路，再走平坦通畅的乡村大路，在乡村大路上骑电动车的平均速度比在小路上的平均速度快，两段路程相关信息如下表，已知走乡村小路所用时间比乡村大路少用，则小张在乡村小路骑行的平均速度是（ ）
路段 路程 平均速度 行驶时间（）
乡村小路 6
乡村大路 11
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题为行程问题，利用行程公式时间=路程÷速度，根据题干给出的时间差关系列分式方程求解即可．
解：根据题意可知小张在乡村小路骑行的平均速度是，由题意得乡村大路的平均速度为．
则
化简右边得
解得
经检验是原方程的解，符合题意． 因此小张在乡村小路骑行的平均速度为．
10．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律：
①，②，③，④，……
请尝试回答下面问题：
若，则的值为（ ）
A．1000 B．998 C．1 D．2
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值．
解：已知等式整理得：
，
∴
去分母得：
解得：
经检验：是分式方程的解.
故选: B．
（二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________．
【答案】（或，，）
【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可．
解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，．
12．（2026·四川甘孜·中考真题）方程的解为______．
【答案】
解：
方程两边同时乘以得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
13．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______．
【答案】0
【分析】根据方程的解的定义，把分式方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可解答．
解：∵关于的分式方程的解是2，
∴，
解得．
14．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____．
【答案】3或6
【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，把原方程去分母化为整式方程，化简得到，分式方程无解需考虑整式方程无解和解为增根两种情况，据此讨论求解即可．
解：
方程两边同时乘以，得 ，
整理得，
当时，方程无解，此时；
当时，则，
∵原方程无解，
∴原分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是方程的解；
综上所述，a的值为3或6，
故答案为：3或6．
15．（2026·宁夏吴忠·二模）为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________．
【答案】
【分析】根据实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，列出分式方程即可.
解：设原计划人数为人，则实际人数为人，由题意，
.
16．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）关于x的方程
（1）若，则该方程的解为______；
（2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是______．
【答案】 9
【分析】（1）将代入原方程，解分式方程即可，注意分式方程一定要检验；
（2）先用含的式子解出方程，再根据方程的整数解计算即可．
解：（1）当时，
原方程为 ，
去分母得： ，
整理得，
解得，
检验：时，，
∴方程的解为；
（2）对原方程去分母得 ， 整理得 ，
∴
∵方程的解为整数，为整数，且分式方程有解要求（否则分母为0，是增根，方程无解），
∴ 是的整数约数，且，
∵的约数为，排除（此时，增根），
∴ 得到对应的为：，，，，，
∴所有整数的和为：．
17．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________．
【答案】
【分析】根据新运算法则得到分式方程，去分母化简求解得，再根据分式方程有增根，得到，即可得解．
解：由得，，
整理得：，
解得：，
分式方程有增根，
，
，
，
解得：．
18．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有______只．
【答案】
【分析】设该地区该种鸟有只，利用占比不变列出方程，求解并检验即可．
解：设该地区该种鸟有只，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴该地区该种鸟有只．
（三）解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏镇江·期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）原方程无解
解：（1）解：
解得
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：
解得，
经检验，是增根，
∴原方程无解．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知关于的方程．
（1）若，解这个分式方程；
（2）若分式方程无解，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
（1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意；
（2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解．
解：（1）解：，
把代入分式方程，得，
方程两边乘，得，
整理得，，
解得，，
检验：把代入，
是原分式方程的解．
（2）解：，
当时，，
方程两边都乘最简公分母，得，
整理，得，
原分式方程无解，
，
解得，，
把代入，
当时，，
解得，；
当时，
解得，；
综上所述，．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·阶段检测）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
（1）她把这个数“？”猜成3，请你按小华的猜想解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数．
【答案】（1）；（2）原分式方程中“？”代表的数是
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“ ”当成3，解分式方程即可；
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答．
解：（1）解：当时，原方程化为，
方程两边同乘以，去分母，得，解得：，
检验：把代入，得，
是原分式方程的解．
（2）设？为，方程两边同乘以，去分母，得，化简得：，
由于是原分式方程的增根，所以把代入，得．
原分式方程中“？”代表的数是．
22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米．
（1）求甲、乙速度；
（2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？
【答案】（1）甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时；（2）乙5分钟追上
【分析】（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据“乙比甲早40分钟到达”列分式方程求解；
（2）设乙出发t小时追上，根据题意列出一元一次方程求解．
解：（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴（千米/时）
答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时；
（2）解：设乙出发t小时追上，
根据题意得，，
解得小时分钟，
答：乙5分钟追上．
23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知代数式．
（1）先化简，再求当时，代数式的值；
（2）原代数式的值能等于1吗？若能求出此时的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1），；（2）不能，理由见分析
【分析】本题主要考查了分式的化简，分式无意义的条件，解分式方程，熟练掌握相应知识是解题的关键．
（1）根据分式的基本性质化简后，将代入计算即可；
（2）令化简后的式子等于1，求出x的值，代入原代数式检验即可．
解：（1）解：原式
，
当时，原式．
（2）解：原代数式的值不能等于1．
理由如下：
当时，
解得，
当时，代数式A没有意义，
∴原代数式A的值不能等于1．
24．（本小题满分12分）（2024·河南漯河·一模）冬季来临，天气越来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市场需求．已知进货员用元购进这批保暖衣，面市后供不应求；该进货员又用元购进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的倍，但每件的进价贵了元．
（1）该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺码的件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件保暖衣的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；（2）每件保暖衣的标价至少是元．
【分析】（）设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，由所购数量是第一批的倍列出分式方程即可；
（）设每件保暖衣的标价是元，根据两批保暖衣全部售完后利润率不低于列出不等式即可求解；
本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
解：（1）解：设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，
由题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
则第二批保暖衣每件的进价是元，
答：该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
（2）（件），
设每件保暖衣的标价是元，
由题意得：，
解得：，
答：每件保暖衣的标价至少是元．
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网（北京）股份有限公司暑期预习讲义（第12讲）——分式方程及其应用（知识梳理+题型精析+同步自测）
目录
一.教材知识梳理 2
【知识点一】分式方程的定义 2
【知识点二】分式方程的解法（必考五步法） 2
【知识点三】增根 2
【知识点四】分式方程无解的两种情况（重难点） 2
【知识点五】分式方程应用题解题模板 2
【知识点六】高频易错清单 2
二.经典题型精析（基础夯实） 3
【题型 1】分式方程的识别 3
【题型 2】解分式方程（必考基础） 3
【题型 3】已知方程的增根求参数（易错题型） 4
【题型 4】列分式方程 4
三.经典题型精析（综合提升） 5
【题型 5】含参问题：已知分式方程解的情况求参数（提升） 5
【题型 6】工程应用题（期末高频） 6
【题型 7】分式方程的无解问题（提升） 7
【题型 8】行程应用题（拔高题型） 7
【题型 9】经济问题应用题（拔高题型） 8
四.同步自测 9
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9
（二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10
（三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11
预习方法：读概念→理解定义→熟悉运算步骤→学例题→练变式→同步自测
一.教材知识梳理
【知识点一】分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
辨析关键：看分母是否含未知数，含未知数为分式方程，不含为整式方程。
【知识点二】分式方程的解法（必考五步法）
步骤1：去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；
步骤2：解整式方程：按一元一次方程求解；
步骤3：检验（最关键）：将解代入最简公分母；
步骤4：判断：公分母≠0，是原方程的解；公分母=0，是增根，原方程无解；
步骤5：写结论。
【知识点三】增根
增根定义：去分母后整式方程的解，使原分式方程分母为0，导致原方程无意义。
产生原因：去分母时乘了含未知数的式子，默认式子不为0，扩大取值范围。
重要结论：分式方程必须检验！！！（不检验直接扣分）
【知识点四】分式方程无解的两种情况（重难点）
1. 整式方程无解 → 原分式方程无解；
2. 整式方程有解，但解全部是增根 → 原分式方程无解。
【知识点五】分式方程应用题解题模板
审→设→列→解→验（双重检验：方程有意义+符合实际题意）→答
常见模型：行程问题、工程问题、销售单价问题、工作量效率问题
【知识点六】高频易错清单
1. 去分母时，常数项漏乘最简公分母（全班第一易错点）；
2. 忘记检验、不会判断增根；
3. 含参问题混淆“有增根”和“无解”；
4. 应用题不检验实际意义，出现负数解、不合理解。
二.经典题型精析（基础夯实）
【题型 1】分式方程的识别
【例题1】（【北师大版课时练习】八年级下册第五章分式与分式方程4分式方程）根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了．设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
【变式1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号）
【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）．
（1）；
（2）；
（3）（是常数．）；
（4）．
【题型 2】解分式方程（必考基础）
【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期末）解分式方程：
（1）
（2）
【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）解分式方程时，去分母后方程变形为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】（2026·北京昌平·二模）方程的解为________．
【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期末）解分式方程：
（1）
（2）
【题型 3】已知方程的增根求参数（易错题型）
【例题3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的分式方程．
（1）当时，求该方程的解；
（2）若该方程有增根，求的值．
【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的分式方程有增根，则________．
【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的方程有增根，试求的值．
【题型 4】列分式方程
【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果汁加工厂接到一笔订单，需在规定时间内将一批猕猴桃加工成猕猴桃果汁．现有如下三种方案可供选择：
①甲小组单独完成这笔订单正好可以如期交货；
②乙小组单独完成这笔订单会比规定时间晚天；
③甲、乙两小组同时工作天，剩下的工作量由乙单独完成也能如期交货．
设甲小组单独完成这笔订单需要天．
（1）将下表补充完整：
小组 工作总量 所用时间（天） 工作效率
甲 1
乙 1
（2）根据表中信息可列出方程为 ．
【变式1】（2026·四川内江·中考真题）内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26八年级下·山西长治·期末）我国古代数学著作《九章算术》“均输”一章中记载了“工匠织布”问题：今有二匠织素，甲织一百尺之时，乙织八十尺．甲每日比乙多织五尺，问乙日织几何？其大意：两名工匠织布，甲织100尺布的时间与乙织80尺布的时间相等，甲每天比乙多织5尺．问乙每天织布多少尺？设乙每天织布x尺，则可列方程为________．
【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）（教材呈现）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
思路1：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，
则：甲队半个月完成总工程的__________；
乙队半个月完成总工程的__________；
方程为____________________；
思路2：设乙队单独施工需个月完成总工程，则甲队单独施工需_____个月完成总工程．甲队半个月完成总工程的_____，乙队半个月完成总工程的_____；
方程为____________________；
思路3：设乙队工作效率为，则甲队的工作效率为_____；
甲队半个月完成的工程量__________；
乙队半个月完成的工程量__________；
方程为____________________．
三.经典题型精析（综合提升）
【题型 5】含参问题：已知分式方程解的情况求参数（提升）
【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的方程有解，求实数的取值范围．
【变式1】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______．
【变式3】（2026·上海静安·二模）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围．
【题型 6】工程应用题（期末高频）
【例题6】（贵州省铜仁市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷）松桃卤鸭作为铜仁非遗美食，被誉为“南方烤鸭”．已知甲店加工200只卤鸭和乙店加工180只卤鸭所用时间相同，甲店每小时比乙店多加工2只．
（1）求甲店、乙店每小时各加工多少只卤鸭；
（2）若某批订单需要300只卤鸭，要求甲店和乙店分别加工，所用时间之和不超过16小时，则甲店至少要加工多少只？
【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）某科技企业接到生产600万个芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货．求每月原计划生产芯片多少万个？若设每月原计划生产芯片万个，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______．
【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程：
①；② ．
（1）方程①中表示： ；方程②中表示： ；
（2）任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数．
【题型 7】分式方程的无解问题（提升）
【例题7】（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）已知关于x的方程．
（1）若方程的增根为，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值．
【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的方程无解，则k的值为________ ．
【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若解关于x的方程无解，求代数式的值．
【题型 8】行程应用题（拔高题型）
【例题8】（2026·江苏扬州·三模）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．
【变式1】（25-26七年级下·浙江温州·期末）某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小州由已知信息列出方程，则方程中表示的是（ ）
A．骑自行车的速度 B．汽车的速度
C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间
【变式2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字字，小明抄写原文比小华多花分钟，小华抄写速度是小明的倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为______．
【变式3】（25-26九年级下·重庆·期中）每年7月青海湖北岸的油菜花进入盛放期，成为青海湖的一处拍照打卡地．A、B两支队伍计划自驾去青海湖游湖赏花，两支队伍计划同一天出发，沿不同的路线自驾去青海湖，A队自驾路线全程2700千米，B队自驾路线全程1800千米，由于A队总路程较长，为了提前到达，所以A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，这样A队将比B队提前1天到达青海湖．
（1）求A、B两队分别计划多少天到达青海湖？
（2）A队每人每天的平均花费为200元，计划有10个人同行；B队每人每天的平均花费为150元，计划有8个人同行，后来A队又有m个人加入队伍，经过计算，A队每人每天的平均花费将减少30元．若自驾天数与原计划天数一致，两队总花费比原来增加了，求m的值．
【题型 9】经济问题应用题（拔高题型）
【例题9】（25-26八年级下·河南周口·期末）河南某文具店采购一批笔记本，第一批花费3000元，第二批花费6000元，第二批进货单价是第一批1.2倍，进货数量比第一批多50本．
（1）求第一批笔记本进货单价；
（2）两批笔记本统一按每本20元销售，全部售完总利润多少元．
【变式1】（2026·浙江温州·三模）小红在甲店用30元买到一种练习本，小明在乙店用30元买到了同种练习本，由于乙店的练习本售价比甲店低1元/本，故小明比小红多买到2本．设该种练习本在甲店的售价为x（元/本），则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元．
【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A、B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划购买A、B型充电桩共个，购买总费用不超过万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
四.同步自测
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·河南周口·期末）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．无解
3．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（ ）
A． B．5 C． D．
4．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）若关于的分式方程有增根，则这个增根是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
6．（25-26八年级下·四川乐山·期末）解分式方程的过程中，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·山东德州·中考真题）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）周末，小张骑电动车去某乡村办事，先走坑洼不平的乡村小路，再走平坦通畅的乡村大路，在乡村大路上骑电动车的平均速度比在小路上的平均速度快，两段路程相关信息如下表，已知走乡村小路所用时间比乡村大路少用，则小张在乡村小路骑行的平均速度是（ ）
路段 路程 平均速度 行驶时间（）
乡村小路 6
乡村大路 11
A． B． C． D．
10．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律：
①，②，③，④，……
请尝试回答下面问题：
若，则的值为（ ）
A．1000 B．998 C．1 D．2
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________．
12．（2026·四川甘孜·中考真题）方程的解为______．
13．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______．
14．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____．
15．（2026·宁夏吴忠·二模）为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________．
16．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）关于x的方程
（1）若，则该方程的解为______；
（2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是______．
17．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________．
18．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有______只．
（三）解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏镇江·期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知关于的方程．
（1）若，解这个分式方程；
（2）若分式方程无解，求的值．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·阶段检测）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
（1）她把这个数“？”猜成3，请你按小华的猜想解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数．
22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米．
（1）求甲、乙速度；
（2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？
23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知代数式．
（1）先化简，再求当时，代数式的值；
（2）原代数式的值能等于1吗？若能求出此时的值；若不能，请说明理由．
24．（本小题满分12分）（2024·河南漯河·一模）冬季来临，天气越来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市场需求．已知进货员用元购进这批保暖衣，面市后供不应求；该进货员又用元购进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的倍，但每件的进价贵了元．
（1）该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺码的件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件保暖衣的标价至少是多少元？
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（北京）股份有限公司
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