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27.2反比例函数的图象和性质
一、图象的画法（描点法）
反比例函数解析式一般为()，图象是双曲线。
列表：自变量，取值时以原点为中心，取互为相反数的数对（如±1, ±2, ±3…），保证两支曲线都能画出。
描点：根据表中坐标在平面直角坐标系中标出点。
连线：按照自变量从小到大的顺序，用光滑的曲线顺次连接，并向两端无限延伸。注意：两支曲线分开，不能用折线，且永不相交。
二、核心性质（由系数 k 决定）
这是最重要的考点，核心在于的正负决定了图象位置和增减性：
系数条件 图象所在象限 增减性（必考易错点） 示例
k > 0 第一、三象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
k < 0 第二、四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
关键易错提醒：
谈增减性必须强调“在每个象限内”。因为若跨象限（如第一象限的点和第三象限的点比较），不满足上述规律（例如k>0时，第三象限的y值反而小于第一象限的y值）。
|k|的影响：|k|越大，双曲线离原点越远，开口越开阔；|k| 越小，双曲线越靠近坐标轴。
三、对称性
反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形：
中心对称：对称中心是原点O。若点(a,b)在图象上，则( a, b)也在图象上。
轴对称：对称轴是直线y=x 和直线y= x。
四、|k| 的几何意义（高频考点）
过双曲线 上任意一点P(x,y)，作PA x轴于A，作PB y轴于B，则：
矩形PAOB 的面积：。
直角三角形POA（或POB）的面积：。
结论：双曲线上任意一点与坐标轴围成的矩形面积恒为|k|，与点的位置无关。
五、常见应用与题型
1. 待定系数法求解析式：设 ，代入已知点的坐标求出 ，再回代写出解析式。
2. 判断点是否在图象上：验证该点的横纵坐标之积是否等于k（即）。
3. 比较函数值大小：先根据 $k$判断象限和增减性，特别注意同象限用性质，异象限看正负（一、三象限 y>0，二、四象限 y<0）
一、单选题
1．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案．
【详解】解：，分两种情况：
①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
2．类比二次函数图象的平移，把双曲线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：双曲线向右平移2个单位可得到，，
再把的图象向上平移1个单位即可得到，，即．
3．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　）
①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，
∴，
解得，故①正确；
由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误；
设点A的坐标为，点B的坐标为，
则，故③错误；
∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴若在图象上，则也在图象上，故④正确．
综上，结论正确的是①④．
故选：D．
4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
故选：D．
5．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小.
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∵点，的横坐标都小于，
∴，两点都在第三象限，
∵，
∴，
又∵点的横坐标，
∴点在第一象限，可得，
综上可得.
6．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）．
A．点，均在其图象上
B．函数图象在第二、四象限
C．若，则x的取值范围是
D．该函数图象上有两点，，若，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案．
【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意；
B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意；
C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意；
D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意．
7．已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，而 时，，则，然后解不等式即可；
【详解】解：∵反比例函数的图象上有
当时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．关于反比例函数，说法错误的是（ ）
A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称
C．当时，y随x增大而增大 D．当时，
【答案】D
【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确；
∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确；
∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确；
取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误．
9．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案．
【详解】解：连接，
轴，
与的面积相等．
即．
，
∵反比例函数的图象在第二象限，
．
10．双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再利用反比例函数的性质：双曲线上点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案．
【详解】解：∵ 双曲线经过点，
∴ ，
∴ 双曲线上任意点满足横纵坐标乘积为，
逐一验证选项：
选项，，不在双曲线上；
选项，，在此双曲线上；
选项，，不在双曲线上；
选项，，不在双曲线上；
11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O，
∴由反比例函数的对称性可知，
∴，
∵轴且，
∴，
∴，
故选：C．
12．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负．
先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上．
∴只有A选项符合题意．
故选：A
13．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，当时，则，
∴经过第一、二、四象限，
此时得经过第一、三象限，
故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意；
当时，则，
∴经过第一、二、三象限，
故C选项不符合题意；
综上，只有选项A符合题意．
14．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，
则时，的取值范围是或．
15．如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明与都是等腰直角三角形，证明、可证明，由此判断①；由与都是等腰直角三角形，得到，继而得到，，从而得到可判断②；由可得，可判断③；设，则，，由结论③可得，即，可判断④．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
一次函数中，
令，得，
令，得，
，
，
∴，
与都是等腰直角三角形，
，
同理可得，
；
故①正确；
与都是等腰直角三角形，
故②正确；
故③正确；
设，
则，，
由结论③可得：，
∴，
∴，
故④正确；
故正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数综合等知识，理解题意，结合图象，综合运用各个知识点是解题关键．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________．
【答案】/
【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可．
【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，则，
．
17．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________．
【答案】
【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：点，在反比例函数的图象上，
将点坐标代入解析式得，，
，
，即，解得：．
18．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接）
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，
故答案为．
19．如图，在平面直角坐标系中， 已知反比例函数 的图象上有一点 A，过点 A 作 轴于B，且的面积是6，则反比例函数解析式为__________．
【答案】
【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵双曲线在二，四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键．
先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可．
【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点，
当时，，当时，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴点，
∵直线是第一象限的角平分线，且，
∴直线垂直直线，
∵对于，当时，，
∴在直线上，
∴当时，线段最小，此时点P在直线上，
∵点P在反比例函数的图象上，
联立与得：
，解得：或，
∴点，
∴，，
∴的最小值为．
故答案为：
三、解答题
21．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点．
(1)求点A的坐标及反比例函数的解析式；
(2)结合图象写出在第一象限内时的x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求解是解题的关键．
（1）先根据一次函数的图象经过点求出m的值，得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析求出k值，即可得到反比例函数的表达式；
（2）在第一象限内找到一次函数图象在反比例图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴,
解得，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：由函数图象可得在第一象限内时，．
22．已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小．
(1)求的最小整数值．
(2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由．
【答案】(1)的最小整数值为0
(2)有交点，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质．
（1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可；
（2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可．
【详解】（1）解：∵由题意，得
∴
∴的最小整数值为0
（2）解：有交点，理由如下：
由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限；
∵，
∴直线经过第一、三象限，
∴直线与该反比例函数图象有交点
23．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．
(1)求直线的解析式和反比例函数解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，把分别代入和，得，即可作答．
（2）先求出，根据轴，得出，求出，根据三角形面积等于底乘高乘进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点
∴把分别代入和，得
解得
∴直线的解析式为反比例函数解析式
（2）解：由（1）知直线的解析式为
∴
∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点
∴
则
∴
∴的面积的高
即
∴的面积为．
24．如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和边的中点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)若一次函数经过，，根据图象回答：当为何值时，？（可直接写出答案）．
【答案】(1)，点的坐标为；
(2)当或时，．
【分析】（1）利用待定系数法可求得，利用平行四边形的性质得到点B的纵坐标为4，点的纵坐标为2，据此即可求得点的坐标；
（2）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵四边形是平行四边形，且边在轴上，
∴点B的纵坐标为4，
∵点是边的中点，∴点的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象经过点，∴，则，∴点的坐标为；
（2）解：∵，，
观察图象，
当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当或时，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25．如图，在中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求k的值及直线OB的函数表达式；
(2)试探究此反比例函数的图象是否经过的中心．
【答案】(1)k=2，y=x；
(2)经过的中心
【分析】（1）将点C（1，2）代入，得k=2，根据平行四边形的性质得到OABC，OA=BC=3，得到点B的坐标，即可求出直线OB的解析式；
（2）根据平行四边形的性质求出平行四边形的中心的坐标，代入解析式检验即可．
【详解】（1）解：将点C（1，2）代入，得k=2，
∴，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），C（1，2），
∴OABC，OA=BC=3，
∴点B的坐标为（4，2），
设直线OB的解析式为y=mx，得4m=2，
解得m=，
∴直线OB的解析式为y=x；
（2）解：∵O（0，0），B（4，2），
∴的中心的坐标为（2，1），
当x=2时，，
∴此反比例函数的图象经过的中心．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
网（北京）股份有限公司27.2反比例函数的图象和性质
一、图象的画法（描点法）
反比例函数解析式一般为()，图象是双曲线。
列表：自变量，取值时以原点为中心，取互为相反数的数对（如±1, ±2, ±3…），保证两支曲线都能画出。
描点：根据表中坐标在平面直角坐标系中标出点。
连线：按照自变量从小到大的顺序，用光滑的曲线顺次连接，并向两端无限延伸。注意：两支曲线分开，不能用折线，且永不相交。
二、核心性质（由系数 k 决定）
这是最重要的考点，核心在于的正负决定了图象位置和增减性：
系数条件 图象所在象限 增减性（必考易错点） 示例
k > 0 第一、三象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
k < 0 第二、四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
关键易错提醒：
谈增减性必须强调“在每个象限内”。因为若跨象限（如第一象限的点和第三象限的点比较），不满足上述规律（例如k>0时，第三象限的y值反而小于第一象限的y值）。
|k|的影响：|k|越大，双曲线离原点越远，开口越开阔；|k| 越小，双曲线越靠近坐标轴。
三、对称性
反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形：
中心对称：对称中心是原点O。若点(a,b)在图象上，则( a, b)也在图象上。
轴对称：对称轴是直线y=x 和直线y= x。
四、|k| 的几何意义（高频考点）
过双曲线 上任意一点P(x,y)，作PA x轴于A，作PB y轴于B，则：
矩形PAOB 的面积：。
直角三角形POA（或POB）的面积：。
结论：双曲线上任意一点与坐标轴围成的矩形面积恒为|k|，与点的位置无关。
五、常见应用与题型
1. 待定系数法求解析式：设 ，代入已知点的坐标求出 ，再回代写出解析式。
2. 判断点是否在图象上：验证该点的横纵坐标之积是否等于k（即）。
3. 比较函数值大小：先根据 $k$判断象限和增减性，特别注意同象限用性质，异象限看正负（一、三象限 y>0，二、四象限 y<0）
一、单选题
1．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．类比二次函数图象的平移，把双曲线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　）
①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④
4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）．
A．点，均在其图象上
B．函数图象在第二、四象限
C．若，则x的取值范围是
D．该函数图象上有两点，，若，则
7．已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．关于反比例函数，说法错误的是（ ）
A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称
C．当时，y随x增大而增大 D．当时，
9．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ）
A．8 B． C． D．
10．双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．2
12．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
13．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
14．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
15．如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________．
17．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________．
18．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接）
19．如图，在平面直角坐标系中， 已知反比例函数 的图象上有一点 A，过点 A 作 轴于B，且的面积是6，则反比例函数解析式为__________．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________．
三、解答题
21．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点．
(1)求点A的坐标及反比例函数的解析式；
(2)结合图象写出在第一象限内时的x的取值范围．
22．已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小．
(1)求的最小整数值．
(2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由．
23．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．
(1)求直线的解析式和反比例函数解析式；
(2)求的面积．
24．如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和边的中点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)若一次函数经过，，根据图象回答：当为何值时，？（可直接写出答案）．
25．如图，在中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求k的值及直线OB的函数表达式；
(2)试探究此反比例函数的图象是否经过的中心．
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