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第一章不等式
不等式是相对于等式而言的.在高中数学中，我们经常能碰到比较不同数大小的问
》题，以及研究函数的最值问题，这其中处理不等式的方法和技巧尤其重要，
本章就从大家熟悉的基本不等式入手，讨论处理代数型不等式的相关方法和技巧，并
进行适当的拓展，同时也为后面的章节做铺垫.而有关解析型不等式的讨论，将会在后续
“函数与导数”一章中出现.
须知，贯穿本章的主线为结构，本章中常用的手法是配凑
1.1
不等式证明的方法
在完全掌握不等式之前，我们得学会它的几种常见证明方法，这是不等式的基础.
1.1.1作差法
要证明α>b,最基本的方法就是证明a一b>0,即把原不等式两边相减，转化为比较其差
a一b与0的大小.这样做的优势是方便通分
例1.11已知a,6c为正数，且满足ac=1.证明：a2+份十≥日十名+
【分析】将本题的已知条件代入待证的结论后，各项均为齐次，故可采用作差法证明.
【证明】因为abc=1,所以证明原不等式即证明
a2+b+c2≥ab+bc+ca.
不等号两边同时乘以2并移项，即证明
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0.
配方得
(a-b)2十(b-c)2+(c-a)2≥0，
当且仅当α=b=c时，等号成立，由于完全平方数非负，故原不等式得证.
例1.1-2如果用αkg白糖制出bkg糖水，则其浓度为号.若在上述溶液中再添加
mkg白糖，此时溶液的浓度增加到十m.请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。
b+m
【分析】生活经验告诉我们，在已有的糖水中加糖，溶液的浓度增大.因此可以把上述事实
抽象成如下不等式问题：
已知a,6m都是正数，且6>a,则分会
下面来证明，
【证明】将不等式两边相减，得
a十ma_m(b-a)
b+m bb(b+m)'
因为b>a,所以b一c:>0.又因为a,b,m都是正数，所以
m(b-a)>0,b(b+m)>0.
所以
8阳-8-->0
故a十m、a
b十mb
注：此题证明的不等式即俗称的“糖水不等式”
1.1.2作商法
与作差法相比，作商法是将需要比较的两个数（同号）的商与1进行大小比较，好处是可以
在指数幂的提取上更具优势，
例1.1-3试比较5821与45321的大小.
【分析】可以将两个数作商，然后提取公共幂，最后比较它与1的大小.
4321
515×1000
【解答
4
41000
41000
41000
41006=1.
注：第一个不等号是放缩的需要，以凑出分子的1000的倍数次幂；第二个不等号自然就
是比较()
与4的大小了，这是较为简单的，继续采用作商法即可.
例1.1-4已知a,b是正数，证明：ab≥ab“.
【分析】由于，b是正数，所以不等式的两边都是正数.由于要证的不等式两边都是指数的
形式，把它们相除并考虑商式与1的大小关系比较方便。

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