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八上勾股定理 - 基础突破
一．选择题（共 15 小题）
1 ．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 ( )
A ．b2﹣c2 ＝a2 B ．a：b：c ＝3 ：4 ：5
C ． ∠C = ∠A﹣ ∠B D ． ∠A： ∠B： ∠C ＝9 ：12：15
2 ．下列说法中正确的是 ( )
A ．已知 a ，b ，c 是三角形的三边，则 a2+b2 ＝c2
B ．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C ．在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90 ° , 所以 a2+b2 ＝c2
D ．在 Rt△ABC 中， ∠B ＝90 ° , 所以 a2+b2 ＝c2
3 ．在△ABC 中，AB ＝10 ，AC ＝2 ，BC 边上的高 AD ＝6 ，则另一边 BC 等于 ( )
A ．10 B ．8 C ．6 或 10 D ．8 或 10
4 ．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ( )
A ． B ． C ． D．
5 ．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m处，发现此时绳子末端距离地面 2m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 ( )
A ．12m B ．13m C ．16m D ．17m
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6 ．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为
0.7 米，顶端距离地面 2.4 米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为 ( )
A ．0.7 米 B ．1.5 米 C ．2.2 米 D ．2.4 米
7 ．“赵爽弦图 ”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图 ”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 a ，较短直角边长为b ．若 ab ＝8 ，大正方形的面积为 25 ，则小正方形的边长为 ( )
A ．9 B ．6 C ．4 D ．3
8．如图是用4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49 ，小正方形面积为 4 ，若用 x、y 表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法： ①x2+y2 ＝49 ， ②x﹣y = 2 ， ③2xy+4 ＝49 ， ④x+y ＝9 ．其中说法正确的是 ( )
A ． ①② B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④
9 ．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S1 ＝4 ，S2 ＝9 ，S3 ＝8 ，S4 ＝10 ，则 S = ( )
A ．25 B ．31 C ．32 D ．40
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10 ．如图， 以直角三角形 a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 S1+S2 ＝S3 图形的个数有 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
11．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，其面积标记为 S1 ，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2 ，… , 按照此规律继续下去，则 S9 的值为 ( )
A ．（ ）6 B ．（ ）7 C ．（ ）6 D ．（ ）7
12 ．如图，若圆柱的底面周长是 14cm ，高是 48cm ，从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B 处，则这条丝线的最小长度是 ( )
A ．49cm B ．50cm C ．54cm D ．64cm
13 ．如图，长方体的长为 20cm ，宽为 15cm ，高为 10cm ，点 B 离点 C 为 6cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ( )
A ．5cm B ．25cm C ．2cm D ．4cm
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14 ．如图，在△ABC 中， ∠C ＝90 ° , 点 M 是 AB 的中点，点 N 在 AC 上，MN⊥AB ．若AC ＝8 ，BC ＝4 ，则 NC 的长为 ( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．2
15 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , CD⊥AB 于 D ．已知 AB ＝15 ，Rt△ABC 的周长为 15+9 ，则CD 的长为 ( )
A ．5 B ． C ．9 D ．6
二．填空题（共 5 小题）
16 ．如图，已知点 C 在点A 的北偏东 19 ° , 在点 B 的北偏西 71 ° , 若 CB ＝9，AC ＝12 ，则 AB = .
17 ．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？ ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是尺．
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18 ．如图，长方形纸片ABCD 中，BC ＝，DC ＝1 ，将它沿对角线 AC 折叠，使点 D 落在点 E 处，则 BF 的长为 ．
19 ．在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1 ，2 ，3 ，正放置的四个正方形的面积依次是 S1 ，S2 ，S3 ，S4 ，则 S1+S2+S3+S4 = .
20 ．如图，在长方形 ABCD 中（BC＞AB），点 E 在边 CD 上，且 CE ＝AB ，将△BCE 沿 BE 折叠，若点 C的对应点 C'落在矩形 ABCD 的边 AD 上，C'D ＝ ，则 BC 的长度为 ．
三．解答题（共 6 小题）
21 ．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路 1 旁选取一点 P ，在公路 l 上确定点 O 、B ，使得 PO ⊥l，PO ＝100 米， ∠PBO ＝45 ° . 这时，一辆轿车在公路 l 上由 B 向 A 匀速驶来，测得此车从 B 处行驶到 A 处所用的时间为 3 秒，并测得∠APO ＝60 ° . 此路段限速每小时 80 千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据： ＝1.41 ， ＝1.73）．
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22 ．如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处， 以每小时 40km 的速度向北偏东 60 ° 的 BF 方向移动，距离台风中心 200km 的范围内是受台
风影响的区域．
（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？
23 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠B ＝90 ° , AB ＝3 ，BC ＝6 ，AC 的中垂线 DE 交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．延长 DE 交 AB 的延长线于点 F，连接 CF．
（1）求出 CD 的长；
（2）求出 CF 的长．
24 ．如图，在△ABD 中，AC⊥BD 于 C，点 E 为 AC 上一点，连接 BE 、DE ，DE 的延长线交 AB 于 F，已知 DE ＝AB ， ∠CAD ＝45 ° .
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明， 已知：如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求证：a2+b2 ＝c2．
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25 ．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五 ”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图 ”（如图 1），后人称之为“赵爽弦图 ”，流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图 4 、5 、6 ，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 S1+S2 ＝S3 的有 个；
②如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 S1 ，S2 ，直角三角形面积为 S3 ，请判断 S1 ，S2 ，S3 的关系并证明；
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（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向
外作正方形，重复这一过程就可以得到如图 8 所示的“勾股树 ”．在如图9 所示的“勾股树 ”的某部分图形中，设大正方形 M 的边长为定值 m ，四个小正方形 A ，B ，C，D 的边长分别为 a ，b ，c ，d，已知∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠α , 则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含 m 的式子表示）
①a2+b2+c2+d2 = ;
②b 与 c 的关系为 ，a 与 d 的关系为 ．
26 ． △ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若∠C ＝90 ° , 如图 1 ，根据勾股定理，则 a2+b2 ＝c2 ．若△ABC不是直角三角形，如图2 和图 3 ，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2 与 c2 的关系，并证明你的结论．
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八上勾股定理基础突破
参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．
【解答】解：b2﹣c2 ＝a2
则 b2 ＝a2+c2
△ABC 是直角三角形；
a：b：c ＝3 ：4 ：5，
设 a ＝3x ，b ＝4x ，c ＝5x， a2+b2 ＝c2，
△ABC 是直角三角形； ∠C = ∠A﹣ ∠B，
则∠A = ∠B+∠C，
∠A ＝90 ° ,
△ABC 是直角三角形；
∠A： ∠B： ∠C ＝9 ：12：15，
设∠A 、 ∠B 、 ∠C 分别为 9x 、12x 、15x，
则 9x+12x+15x ＝180 ° ,
解得，x ＝5 ° ,
则∠A 、 ∠B 、 ∠C 分别为 45 ° , 60 ° , 75 ° , △ABC 不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 ＝c2 ，那么这个三角形就是直角三角形．
2．
【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以
直接判断 A 、B 、C、D 选项．
【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．
A 、不确定 c 是斜边，故本命题错误，即 A 选项错误；
B 、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即 B 选项错误；
C、 ∠C ＝90 ° , 所以其对边为斜边，故本命题正确，即 C 选项正确；
D 、 ∠B ＝90 ° , 所以斜边为 b ，所以 a2+c2 ＝b2 ，故本命题错误，即 D 选项错误；故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．
3．
【分析】分两种情况考虑，如图所示，垂足在线段 BD 上或在线段 BD 的延长线上两种情况，利用勾股定理求出 BD 与 CD 的长，即可求出 BC 的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图 1 所示，AB ＝10 ，AC ＝2 ，AD ＝6，
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
根据勾股定理得：BD ＝ ＝8 ，CD ＝ ＝2，
此时 BC ＝BD+CD ＝8+2 ＝10；
如图 2 所示，AB ＝10 ，AC ＝2 ，AD ＝6，
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
根据勾股定理得：BD ＝ ＝8 ，CD ＝ ＝2 ，此时 BC ＝BD ﹣CD ＝8﹣2 ＝6，则 BC 的长为 6 或 10．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
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【解答】解：A 、 ∵+c2+ab =
（a+b）（a+b），
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∴整理得：a2+b2 ＝c2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B 、 ∵4×+c2 ＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2 ＝c2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、 ∵4×+（b﹣a）2 ＝c2，
∴整理得：a2+b2 ＝c2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D 、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
5．
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为 x ，可得 AC ＝AD ＝x ，AB ＝（x﹣2）m ，BC ＝8m ，在 Rt △ABC 中利用勾股定理可求出 x．
【解答】解：设旗杆高度为 x ，则 AC ＝AD ＝x ，AB ＝（x﹣2）m ，BC ＝8m，在 Rt△ABC 中，AB2+BC2 ＝AC2 ，即（x﹣2）2+82 ＝x2，
解得：x ＝17，
即旗杆的高度为 17 米．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
6．
【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出 BD 的长，进而可得出结论．
【解答】解：在 Rt△ACB 中， ∵ ∠ACB ＝90 ° , BC ＝0.7 米，AC ＝2.4 米， ∴AB2 ＝0.72+2.42 ＝6.25．
在 Rt△A ′BD 中， ∵ ∠A ′DB ＝90 ° , A ′D ＝2 米，BD2+A ′D2 ＝A ′B2， ∴BD2+22＝6.25，
∴BD2 ＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD ＝1.5 米，
∴CD ＝BC+BD ＝0.7+1.5 ＝2.2 米．故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
7．
【分析】 由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解： 由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab = ×8 ＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2 ＝25，
∴（a﹣b）2 ＝25﹣ 16 ＝9， ∴a﹣b ＝3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
8．
【分析】 由题意 ， ①﹣②可得 2xy ＝45 记为③ , ①+ ③得到（x+y）2 ＝94 由此即可判断．
【解答】解： 由题意，
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①﹣②得 2xy ＝45 ③ , ∴2xy+4 ＝49，
①+ ③得 x2+2xy+y2 ＝94， ∴（x+y）2 ＝94，
∴①②③正确， ④错误．故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
9．
【分析】如图，分别求出 AB2 、AC2 ，进而得到 BC2 ，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：
AB2 ＝S1+S2 ＝13，
AC2 ＝S3+S4 ＝18，
∴BC2 ＝AB2+AC2 ＝31， ∴S ＝BC2 ＝31，
故选：B．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．
10．
【分析】根据直角三角形 a 、b 、c 为边，应用勾股定理，可得 a2+b2 ＝c2．
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出 3 个三角形的面积；然后根据 a2+b2 = c2 ，可得 S1+S2 ＝S3．
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出 3 个半圆的面积；然后根据 a2+b2 ＝c2，可得 S1+S2 =S3．
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（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出 3 个等腰直角三角形的面积；然后根据 a2+b2 ＝c2 ，可得 S1+S2 ＝S3．
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出 3 个正方形的面积；然后根据 a2+b2 ＝c2，可得 S1+S2 ＝S3．
【解答】解：（1）S1 ＝a2 ，S2 ＝b2 ，S3 ＝c2，
∵a2+b2 ＝c2，
∴a2+b2 ＝c2，
∴S1+S2 ＝S3．
（2）S1 ＝a2 ，S2 ＝b2 ，S3 ＝c2，
∵a2+b2 ＝c2，
∴a2+b2 ＝c2， ∴S1+S2 ＝S3．
（3）S1 ＝a2 ，S2 ＝b2 ，S3 ＝c2，
∵a2+b2 ＝c2，
∴a2+b2 ＝c2，
∴S1+S2 ＝S3．
（4）S1 ＝a2 ，S2 ＝b2 ，S3 ＝c2， ∵a2+b2 ＝c2，
∴S1+S2 ＝S3．
综上，可得
面积关系满足 S1+S2 ＝S3 的图形有 4 个．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．
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11．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出 S2+S2 ＝S1 ，写出部分 Sn 的值，根据数的变化找出变化规律
“Sn ＝（ ）n﹣3 ”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：在图中标上字母 E ，如图所示．
∵正方形 ABCD 的边长为 2 ， △CDE 为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2 ＝CD2 ，DE ＝CE，
∴S2+S2 ＝S1．
观察，发现规律：S1 ＝22 ＝4 ，S2 ＝ S1 ＝2 ，S3 ＝S2 ＝1 ，S4 ＝S3 = , … ,
∴Sn ＝（ ）n﹣3．
当 n ＝9 时，S9 ＝（ ）9﹣3 ＝（ ）6，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出
规律“Sn ＝（ ）n﹣3 ”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分 Sn 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
12．
【分析】将圆柱侧面展开可得到长为 48cm ，宽为圆柱的底面周长 14cm 的矩形，根据勾股定理即可求出AB 的长，即为所求．
【解答】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为 48cm ，宽为圆柱的底面周长 14cm，
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根据勾股定理得：
AB ＝ ＝50（cm），
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为 50cm，故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将圆柱体展开为矩形，在矩形中求解是解题的关键．
13．
【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短 ”得出结果． 【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接 AB，
根据题意可知，BD ＝6+10 ＝16（cm），AD ＝20cm，
由勾股定理得：AB ＝ ＝ ＝ ＝4（cm）；如图所示，将长方体展开，连接 AB，
根据题意可知，AC ＝10+20 ＝30（cm），BC ＝6cm，
由勾股定理得：AB ＝ ＝ ＝ ＝2（cm）；如图所示，将长方体展开，连接 AB，
根据题意可知，BE ＝20+6 ＝26（cm），AE ＝10cm，
由勾股定理得：AB ＝ ＝ ＝ ＝2（cm）；
因为< < ,
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所以需要爬行的最短距离是 4cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
14．
【分析】连接 BN，根据线段垂直平分线性质求出 BN＝AN，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：如图，连接 BN，
∵AB 的垂直平分线交 AB 、AC 于点 M、N，
∴AN＝BN，
设 NC ＝x，
则 AN＝BN＝8﹣x，
在 Rt△BCN 中， 由勾股定理得：BN2 ＝BC2+CN2，即（8﹣x）2 ＝42+x2，
解得：x ＝3，即 NC ＝3 ，故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，解此题的关键是得出关于 x 的方程．
15．
【分析】 由已知条件得出 AC+BC ＝9 ， 由勾股定理得出 AC2+BC2 ＝AB2 ＝152 ＝225 ，求出AC×BC = 90 ，由三角形面积即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵Rt△ABC 的周长为 15+9 ， ∠ACB ＝90 ° , AB ＝15，
∴AC+BC ＝9 ，AC2+BC2 ＝AB2 ＝152 ＝225，
∴（AC+BC）2 ＝（9）2 ，即 AC2+2AC×BC+BC2 ＝405，
∴2AC×BC ＝405﹣225 ＝180，
∴AC×BC ＝90，
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故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，完全平方公式，三角形的周长的计算，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共 5 小题）
16．
【分析】根据点 C 在点A 的北偏东 19 ° , 在点 B 的北偏西 71 °得出∠ACB ＝90 ° , 即得出△ABC 是直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：如图：
∵点 C 在点A 的北偏东 19 ° , 在点 B 的北偏西 71 ° , ∴ ∠ACD ＝19 ° , ∠BCD ＝71 ° ,
∴ ∠ACB ＝19 °+71 ° =90 ° , ∴AC2+CB2 ＝AB2，
∵CB ＝9 ，AC ＝12， ∴122+92 ＝AB2，
∴AB ＝15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了方向角和勾股定理，解题的关键是根据题意得出直角三角形，再勾股定理求 AB 的
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值．
17．
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺，另一条直角边长 5×3 ＝15（尺），
因此葛藤长为 ＝25（尺）．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
18．
【分析】 由折叠得 CE ＝CD ＝1 ，AE ＝AD = , ∠E = ∠D ＝90 ° , 然后结合矩形的性质得到 AB ＝CE， ∠B = ∠E ，进而得证△EFC≌△BFA ，然后得到 BF＝EF，CF＝AF，最后利用勾股定理求得 BF 的长． 【解答】解： ∵四边形 ABCD 是长方形，
∴AB ＝CD ＝1 ， ∠B = ∠D ＝90 ° , BC ＝AD = ,
由折叠得：CE ＝CD ＝1 ，AE ＝AD = , ∠E = ∠D ＝90 ° ,
∴ ∠B = ∠E ，AB ＝CE，
∵ ∠BFA = ∠EFC，
∴△EFC≌△BFA（AAS），
∴BF＝EF，CF＝AF，
设 BF＝EF＝x ，则 AF= ﹣x，在 Rt△ABF 中，BF2+AB2 ＝AF2， ∴x2+12 = ( ﹣x）2，
解得：x = ,
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故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是由折叠证明△ EFC≌△BFA．
19．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB ＝BE ， ∠ACB = ∠BDE ＝90 ° ,
∴ ∠ABC+∠BAC ＝90 ° , ∠ABC+∠EBD ＝90 ° , ∴ ∠BAC = ∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC ＝ED，
∵AB2 ＝AC2+BC2，
∴AB2 ＝AC2+ED2 ＝S1+S2，即 S1+S2 ＝1，
同理 S3+S4 ＝3．
则 S1+S2+S3+S4 ＝1+3 ＝4．
故答案为：4．
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
20．
第 20页（共 26页）
【分析】设 AB ＝CD ＝x，在 Rt△C ′DE 中用勾股定理可得 AB ＝ ，设 AD ＝BC＝y ，在Rt△ABC' 中用勾股定理可得 BC 的长度．
【解答】解：如图：
设 AB ＝CD ＝x，
由翻折变换可知，CE ＝C ′E ＝x ，DE ＝CD ﹣CE ＝x﹣x ＝x，
在 Rt△C ′DE 中，C'E2 ＝C'D2+DE2，
解得 x ＝ ，或 x = ﹣（舍去），
∴AB = ,
设 AD ＝BC＝y ，则 AC' ＝AD ﹣C'D＝y﹣ , BC'＝y，
在 Rt△ABC' 中，AB2+AC'2 ＝BC'2，
∴ ( ) 2+（y﹣) 2＝y2，
解得y ＝2，
∴BC ＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查翻折变换，掌握翻折变换的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
三．解答题（共 6 小题）
21．
【分析】解直角三角形得到 AB ＝OA ﹣OB ＝73 米，求得此车的速度≈86 千米/小时＞80 千米/小时，于是得到结论．
【解答】解：此车超速，
理由： ∵ ∠POB ＝90 ° , ∠PBO ＝45 ° ,
∴△POB 是等腰直角三角形，
第 21页（共 26页）
∴OB ＝OP ＝100 米，
∵ ∠APO ＝60 ° ,
∴AB ＝OA ﹣OB ＝73 米，
∴≈24 米/秒≈86 千米/小时＞80 千米/小时，
∴此车超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
22．
【解答】解：（1） 由 A 点向 BF 作垂线，垂足为 C，
在 Rt△ABC 中， ∠ABC ＝30 ° , AB ＝320km ，则 AC ＝160km，因为 160＜200 ，所以 A 城要受台风影响；
（2）设 BF 上点 D ，G ，使 AD ＝AG ＝200 千米，
∴△ADG 是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC 是 DG 的垂直平分线，
∴CD ＝GC，
在 Rt△ADC 中，DA ＝200 千米，AC ＝160 千米，
由勾股定理得，CD ＝ ＝120 千米，则 DG ＝2DC ＝240 千米，
遭受台风影响的时间是：t ＝240÷40 ＝6（小时）．
【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
第 22页（共 26页）
23．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出 CD；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到 FA ＝FC，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中， ∠B ＝90 ° , AB ＝3 ，BC ＝6，
则 AC ＝ ＝ ＝3，
∵DE 是 AC 的中垂线，
（2） ∵DF 是 AC 的中垂线，
∴FA ＝FC，
∵AB ＝3，
∴FB ＝FA﹣3 ＝CF﹣3，
在 Rt△FBC 中，CF2 ＝BC2+FB2 ，即 CF2 ＝62+（CF﹣3）2，解得：CF=
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a2+b2
2
=c ．
24．
【分析】（1）利用“8 字型 ”证明∠AFE = ∠ECD ＝90 ° 即可．
（2）利用 S△BCE+S△ACD ＝S△ABD﹣S△ABE ，即可得出结论． 【解答】解：（1） ∵AC⊥BD ， ∠CAD ＝45 ° ,
∴AC ＝DC， ∠ACB = ∠DCE ＝90 ° ,在 Rt△ABC 与 Rt△DEC 中，
,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴ ∠BAC = ∠EDC，
∵ ∠EDC+∠CED ＝90 ° , ∠CED = ∠AEF， ∴ ∠AEF+∠BAC ＝90 ° ,
∴ ∠AFE ＝90 ° , ∴DF⊥AB．
第 23页（共 26页）
（2） ∵S△BCE+S△ACD ＝S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2 ＝c2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．
25．
【分析】（1） ①勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为 a ，b ，斜边为 c ，那么 a2+b2 =
2
c ．
（2）在图 1 中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2 ＝c2 ．在图 2 中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a2+b2 ＝c2．在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：a2+b2 ＝c2．
（2） ①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足 S1+S2 ＝S3 的有 3 个；
②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2 ＝S3．
（3）根据勾股定理即可得①a2+b2+c2+d2 ＝m2；
②b 与 c 的关系为 b ＝c ，a 与 d 的关系为 a+d ＝m．
【解答】解：（1） ①如果直角三角形的两条直角边分别为 a ，b ，斜边为 c ，那么 a2+b2 ＝c2． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 c2 ＝ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2 ＝c2．
在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2 ＝c2+ab×4，
化简得：a2+b2 ＝c2．
在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
化简得：a2+b2 ＝c2．
（2） ①三个图形中面积关系满足 S1+S2 ＝S3 的有 3 个；故答案为 3；
第 24页（共 26页）
②结论：S1+S2 ＝S3．
∵S1+S2 ＝（ ）2+（ ）2+S3﹣ ( ) 2，
∴S1+S2 = π（a2+b2﹣c2 ）+S3，
∴a2+b2 ＝c2．
∴S1+S2 ＝S3．
（3） ①a2+b2+c2+d2 ＝m2；
②b 与 c 的关系为 b ＝c ，a 与 d 的关系为 a+d ＝m．故答案为：m2 ；b ＝c ，a+d＝m．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．
26．
【分析】当△ABC 是锐角三角形时，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D ，设 CD 为 x ，根据 AD 不变由勾股定理得出等式 b2﹣x2 ＝AD2 ＝c2﹣（a﹣x）2 ，化简得出 a2+b2 ＞c2 ．当△ABC 是钝角三角形时过 B 作BD⊥ AC，交 AC 的延长线于 D ．设 CD 为y ，根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2 ＝c2 ．化简得出 a2+b2 ＜c2 ． 【解答】解：若△ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2 ＞c2（1 分）
若△ABC 是钝角三角形， ∠C 为钝角，则有 a2+b2 ＜c2 ．（2 分）
当△ABC 是锐角三角形时，
证明：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D ，设 CD 为 x ，则有 BD ＝a﹣x（3 分）根据勾股定理，得 b2﹣x2 ＝AD2 ＝c2﹣（a﹣x）2
即 b2﹣x2 ＝c2﹣a2+2ax﹣x2． ∴a2+b2 ＝c2+2ax（5 分）
∵a＞0 ，x＞0， ∴2ax＞0．
∴a2+b2 ＞c2 ．（6 分）
当△ABC 是钝角三角形时，
证明：过 B 作BD⊥AC，交 AC 的延长线于 D．
设 CD 为y ，则有 BD2 ＝a2﹣y2（7 分）
根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2 ＝c2．即 a2+b2+2by ＝c2 ．（9 分）
∵b＞0，y＞0，
第 25页（共 26页）
∴2by＞0，
∴a2+b2 ＜c2 ．（10 分）
【点评】本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
第 26页（共 26页）

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