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山东省聊城市阳谷县四校联考2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列调查方式的选择合理的是（ ）
A．了解某市市民知晓“一盔一带”交通规定情况，采用普查
B．了解一批百香果的甜度，采用抽样调查
C．了解某种灯泡的使用寿命，采用普查
D．了解歼战斗机的零部件质量，采用抽样调查
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．要清晰反映豆包大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（ ）
A．折线统计图 B．扇形统计图 C．频数分布直方图 D．条形统计图
4．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ）
A．10 B． C． D．10或
7．若方程组与方程3ax－2ay＝12具有相同的解，则a的值为（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
8．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，这个正八边形的一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．计算 _______
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为___．
13．为强化青少年健康管理，践行“健康第一”的发展理念，某市对辖区内20000名初一学生开展体重抽样监测，随机抽查了其中1000名学生的体重进行统计分析，此次调查的样本容量为______．
14．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为___．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______．
三、解答题
16．因式分解：
(1)；
(2)．
17．解方程组：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，已知，，．
(1)试说明的理由；
(2)若，，求的度数．
20．为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：A项﹣我为父母过生日，B项﹣我为父母洗洗脚，C项﹣我当一天小管家，D项﹣我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　 　，补全图1中的条形统计图．
（2）在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为m%，则m的值为　 　，C项所在扇形的圆心角α的度数为　 　度．
（3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？

21．脆饼、麻虾酱、狼山烧鸡是南通的特色美食．在某超市了解到以下信息：麻虾酱价格为38元/瓶，1袋狼山烧鸡比2包脆饼贵48元；购买1袋狼山烧鸡和5包脆饼，支付160元．“五一”来临之际，该超市推出两种礼盒装，其中礼盒包含两包脆饼，一瓶麻虾酱，一袋狼山烧鸡；礼盒包含两袋狼山烧鸡．
(1)求脆饼、狼山烧鸡的单价．
(2)超市举行“五一”促销活动，礼盒打八折，礼盒打九折，某公司现购入两种礼盒（两种礼盒均有购买），最终支付2400元，写出所有购买方案．
22．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形．
(1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出图①中阴影部分的面积：方法 ；方法 ；用两种方法计算得到的乘法公式为 ；
(2)【问题解决】
①已知，，则的值为 ；
②已知，求的值；
(3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分的面积．
23．探索下面不同的情境，回答问题：
(1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M．
请你选择一位同学的方法，并进行证明；
(2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：；
(3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数．
参考答案
1．B
解：选项A：市民人数众多，普查效率极低，适合抽样调查，因此A错误；
选项B：检测百香果甜度会对百香果造成破坏，且总体数量较大，抽样调查更为合理，因此B正确；
选项C：测试灯泡使用寿命具有破坏性，无法进行普查，应选择抽样调查，因此C错误；
选项D：歼战斗机零部件质量要求极高，必须确保每个零部件都合格，需采用普查，因此D错误．
故选：B．
2．D
解：选项A，，A错误．
选项B，，B错误．
选项C，∵与不是同类项，不能合并，C错误．
选项D，，D正确．
3．A
解：∵不同统计图有不同特点，折线统计图的特点是能清晰展示数据的变化趋势，
∵扇形统计图用于反映各部分占总体的比例，频数分布直方图用于反映数据的分布情况，条形统计图用于反映各组的具体数量，
∵题目要求反映连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势，
∴最合适的统计图是折线统计图．
4．C
解：如图，
、∵，
∴，原选项不符合题意；
、∵，，
∴，
∴，原选项不符合题意；
、由，不能判定，原选项符合题意；
、∵，
∴，原选项不符合题意；
故选：．
5．D
解： A． 是整式乘法，从乘积变形为多项式，不符合因式分解定义，故此选项错误，不符合题意；
B． ，结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意；
C． ，等号右侧的式子中含有分式，不是整式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意；
D． ，把多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，故此选项正确，符合题意．
6．D
解：是一个完全平方式，
，
或，
即的值为10或．
故选：D．
7．A
【详解】解方程组，得
因为方程组与方程3ax－2ay＝12具有相同的解，
所以6a－2a＝12，解得a＝3
8．B
解：∵轮廓是一个正八边形，
∴，
即这个正八边形的一个内角的度数为，
故选：B．
9．B
解：∵
∴，
∵，
∴，
故选：B．
10．B
解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，
根据题意得：，
故选：B．
11．
解：
．
12．17
解：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．
∴等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
13．1000
解：随机抽查了名学生的体重进行统计分析，因此样本中包含的个体数目为，即此次调查的样本容量为.
14．4或2cm
解：(1)当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm.
(2)当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm.
故答案为4或2.
15．
解：将和分别代入方程，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
（1）解：由②得，③ ，
将③代入①得，，解得，
将代入③得，，
∴原方程组的解为 ．
（2）解：①②得，，
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为．
18．；
解：
当，时，原式．
19．(1)见解析
(2)
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
20．(1)200；图见解析；（2）20；162；（3）360.
解：（1）这次抽样调查的样本容量是=200（人），B的人数200﹣90﹣60﹣10＝40，
如图所示：

（2）B项所占的百分比为m%，则m%的值为=20%，C项所在扇形的圆心角α的度数为360°×45%＝162°；
（3）1200人参加D项的学生的人数为1200××100%=360（人）；
故答案为200；20；162；360.
21．(1)脆饼单价为元/包，狼山烧鸡单价为元/袋
(2)所有购买方案为：①购入礼盒份，礼盒份；②购入礼盒份，礼盒份；③购入礼盒份，礼盒份
（1）解：设脆饼的单价是元/包，狼山烧鸡的单价是元/袋，
根据题意得：，
解得：，
答：脆饼的单价是16元/包，狼山烧鸡的单价是80元/袋．
（2）解：礼盒原价为：（元），
打八折后的价格为：（元）
礼盒原价为：（元），
打九折后的价格为：（元）．
设购买礼盒个，购买礼盒个，
根据最终支付2400元，可得，
即，
得．
均为正整数，
必须是5的倍数，
当时，
；
当时，
；
当时，
．
答：购买方案有三种，方案一为购买礼盒14个，礼盒5个；方案二为购买礼盒8个，礼盒10个；方案三为购买礼盒2个，礼盒15个．
22．(1)；；
(2)①3；②
(3)
（1）解：方法1：阴影部分的面积等于两个正方形面积之和，
∴；
方法2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积，
∴；
∴．
（2）解：①∵，
∴，
∴．
②设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵正方形和正方形的边长分别为，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23．(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴
∴
即；
(2)证明：∵∴
又∵
∴
∴；
(3)
【详解】（1）小红的证明如下：
如图3，延长交于点M，
∵，
，
，
∴，
；
（2）略；
（3）解：∵平分，，
，
设，则，，
，
∴，
解得，
；
设，
∵平分，
，
∵，
，
∵在(2)的条件下，
同理可得，，即，
解得，
∴．

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