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第2讲：机械波
学习目标
1.知道机械波的形成及特点。
2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。
3.知道波的干涉、衍射和多普勒效应，掌握波的干涉、衍射的条件。
1.
2.
3.
4.
基础自测
1.(人教版选择性必修第一册P70T4改编)一列横波某时刻的图像如图甲所示，图乙表示介质中某质点从该时刻开始一段时间内的位移—时间图像。下面说法正确的是(　　)
A.若波沿x轴的正方向传播，则图乙可能为K点的振动图像
B.若波沿x轴的正方向传播，则图乙可能为M点的振动图像
C.若图乙为L点的振动图像，则波沿x轴的正方向传播
D.若图乙为N点的振动图像，则波沿x轴的正方向传播
答案　C
2.(人教版选择性必修第一册P78T3改编)消除噪声污染是当前环境保护的重要课题，内燃机、通风机等在排放各种高速气流的过程中都会发出噪声，如图所示的消声器可以用来削弱高速气流产生的噪声。假设频率为f、传播速度为v的声波沿水平管道自左向右传播，抵达A点时，分成上下两束波沿着虚线a路径和b路径传播，最终在B点相遇时可削弱噪音，下列说法正确的是(　　)
A.该消声器降噪是利用了波的叠加原理
B.当两条路径的长度差为时，消音效果最好
C.当两条路径的长度差为时，消音效果最好
D.这两束波的频率相同，沿a、b路径的速率大小va>vb，从A点分开后最终同时到达B点
答案　C
考点一　机械波的形成与传播
1.传播特点
(1)波传到任意一质点，该质点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都与波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，该波的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v==λf。
2.波的传播方向与各质点振动方向的互判方法
方法 内容 图像
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断质点的振动方向
例1 (2026·江苏徐州模拟)取一条较长的软绳，拉直后沿x轴水平放置，图中小圆点表示绳中的质点，相邻质点的间距相等。一名健身爱好者手握长绳的左端连续上下抖动，形成凹凸相间的波沿x轴正方向传播。已知t=0时刻，绳子左端的质点P0开始振动;t=时刻，各质点的位置和波的形状如图所示，其中质点P2恰好到达最高点，振幅为A。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时刻，质点P0沿y轴负方向振动
B.t=时刻，质点P3沿y轴负方向振动
C.t=时刻，质点P7沿y轴正方向振动
D.从t=0时刻到t=时刻，质点P9运动的路程为2A
答案　D
解析　波沿x轴正方向传播，根据“同侧法”可知，t=时刻，质点P3和P4均沿y轴正方向振动，质点P4此时的振动方向即为波源的起振方向，故t=0时刻，质点P0沿y轴正方向振动，故A、B错误;波传到质点P7所需时间为T，质点P7的振动时间为T-T=T，则质点P7位于y轴正向且在沿y轴负方向振动，故C错误;波传到质点P9所需时间为T，质点P9振动时间为T-T=T，则质点P9运动的路程为2A，故D正确。
1.(2025·北京卷，5)质点S沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成的波传到质点P时的波形如图所示，则(　　)
A.该波为纵波
B.质点S开始振动时向上运动
C.S、P两质点振动步调完全一致
D.经过一个周期，质点S向右运动一个波长距离
答案　B
解析　由题知质点的振动方向与波传播方向垂直，是横波，故A错误;根据“同侧法”可知，质点P开始振动的方向向上，则质点S开始振动时向上运动，故B正确;由题图可知，S、P两质点平衡位置的距离为λ，则两质点振动步调相反，故C错误;质点不随波传播，只能在平衡位置附近上下振动，故D错误。
考点二　振动图像和波的图像的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向 的判断 看下一时刻的位移 同侧法或其他方法
Δt后的图形 随时间推移，图像延伸，但已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系 (1)纵坐标均表示质点的位移 (2)纵坐标的最大值均表示振幅 (3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
例2 (2026·江苏南京期末)一列沿x轴传播的简谐横波在t=1 s时刻的波形图如图甲所示，P和Q是这列简谐横波上的两个质点，从t=0时刻起质点Q在一段时间内的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.该波的波速大小为3 m/s
B.该波的频率为2 Hz
C.该波沿x轴正方向传播
D.0~1 s时间内，质点P通过的路程为40 m
答案　C
解析　由题图甲、乙可知，该波的波长λ=2 m，周期T=2 s，则该波的波速为v==1 m/s，故A错误;该波的频率为f==0.5 Hz，故B错误;由题图乙可知，t=1 s时质点Q沿y轴负方向振动，由“同侧法”结合题图甲可知，该波沿x轴正方向传播，故C正确;0~1 s内，质点P振动了半个周期，则质点P通过的路程为s=×4A=40 cm，故D错误。
例3 一列简谐横波沿x轴正方向传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t=7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是(　　)
答案　C
解析　由题图可知，周期为T=12 s，振幅A=20 cm，设原点处的质点的振动方程为y=Asin (t+φ)，将(0，10)代入，有10=20sin φ，解得φ=，则有y=20sin (t+) cm，当t=7 s时，y7=20·sin (×7+) cm=-10 cm，由题图可知，t=7 s时质点在y轴负半轴且向下振动，根据“同侧法”可判断波形如C图所示，故C正确。
分析振动图像与波的图像的综合问题，主要有以下两个方面:
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意:分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
2.(2025·江苏泰州模拟)一列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播，t=0.2 s时刻的波形图如图甲所示，质点M的平衡位置在xM=7.5 cm处，质点N的平衡位置在xN=3 cm处，质点N的振动图像如图乙所示。求:
(1)自t=0.2 s时刻起，质点N的振动方程;
(2)自t=0.2 s时刻起，质点M到达波峰的最短时间。
答案　(1)y=10sin(5πt) cm　(2)0.35 s
解析　(1)由题图乙知，t=0.2 s时质点N沿y轴正方向振动，振动周期T=0.4 s，振幅A=10 cm，自t=0.2 s时刻起，质点N的振动方程为y=Asin(t)=10sin(5πt) cm。
(2)t=0.2 s时质点N沿y轴正方向振动，根据“同侧法”可知，该波沿x轴负方向传播，根据题图甲可知波长λ=12 cm，则波速v== m/s=0.3 m/s
在0.2 s时，质点M右边最近的波峰的平衡位置在x=18 cm处，质点M到达波峰的最短时间
t==×10-2 s=0.35 s。
考点三　波传播的周期性和多解性问题
1.波的周期性
(1)质点振动nT(n=0、1、2、3…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置之间的距离为nλ(n=0、1、2、3…)时，它们的振动步调总相同;当两质点平衡位置之间的距离为(2n+1)(n=0、1、2、3…)时，它们的振动步调总相反。
2.造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
① 时间周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
② 空间周期性:波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性:波的传播方向不确定。
②振动方向双向性:质点振动方向不确定。
例4 (2026·江苏苏州星海高级中学月考)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t=0时刻的波形图，虚线为t=0.6 s时刻的波形图，Q为此时波上的一质点。已知波的周期T>0.6 s，则下列说法正确的是(　　)
A.该波的波速一定是10 m/s
B.该波的波速一定是 m/s
C.t=2.7 s时，质点Q的位移一定是0
D.t=2.7 s时，质点Q的位移可能是0.2 m
答案　C
解析　根据题图可知波长λ=8 m。如果波沿x轴负方向传播，则有(n+)T=0.6 s(n=0、1、2、…)，只有当n=0时T=0.8 s>0.6 s，此时波速为v== m/s=10 m/s;如果波沿x轴正方向传播，则有(n+)T=0.6 s(n=0、1、2、…)，只有当n=0时，T'=2.4 s>0.6 s，此时波速v'== m/s，故A、B错误;如果波沿x轴负方向传播，t=2.7 s=3T，根据“微平移法”，可知质点Q正好到达平衡位置，位移为零;如果波沿x轴正方向传播，t=2.7 s=1T'，根据“微平移法”可知质点Q正好到达平衡位置，位移为零，故C正确，D错误。
考点四　波的干涉、衍射和多普勒效应
1.波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时
若Δr=nλ(n=0、1、2、…)，则振动加强;
若Δr=(2n+1)(n=0、1、2、…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr=(2n+1)(n=0、1、2、…)，则振动加强;
若Δr=nλ(n=0、1、2、…)，则振动减弱。
(2)图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率:观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
例5 (2026·江苏南通模拟)某些手机有降噪麦克风。如图所示，降噪麦克风产生与环境噪音振幅相同、相位相反的降噪声波，与噪音叠加从而实现降噪效果。下列说法正确的是(　　)
A.降噪声波、环境噪声的波速不同
B.降噪声波、环境噪声的频率不同
C.质点P的位移和速度均为零，是振动减弱点
D.再经过四分之一周期，质点P处是振动加强点
答案　C
解析　由题图可知，降噪声波与环境声波波长相等，在同一种介质中传播速度相等，由v=λf可知频率相同，叠加时产生干涉。由于两列声波振幅相同、相位相反，所以振动减弱，起到降噪作用，质点P振动减弱，其位移和速度均为零，故C正确，A、B错误;由上述分析可知，质点P处为振动减弱点，再经过四分之一周期质点P的振动仍然减弱，故D错误。
例6 (2026·江苏徐州月考)如图所示为一辆救护车在道路上匀速行驶时，用软件拟合其产生的声波的图样，图中的圆表示波峰。下列说法正确的是(　　)
A.该图表示的是干涉现象
B.左侧波的频率小于右侧波的频率
C.前侧波的频率大于后侧波的频率
D.单位时间内前侧接收的完全波的个数与后侧的相同
答案　C
解析　题图表示的是多普勒效应，A错误;根据波的图样可知，前侧形成的波纹比较密，后侧形成的波纹比较稀疏，由多普勒效应可知，前侧波的频率大于后侧波的频率，左侧波的频率等于右侧波的频率，救护车向前运动，单位时间内前侧接收的完全波的个数比后侧的多，C正确，B、D错误。
A级　基础对点练
对点练1　机械波的形成与传播
1.(2025·安徽卷，2)如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确的是(　　)
A.弹簧上形成的波是横波
B.推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C.标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D.标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
答案　D
解析　根据弹簧的振动情况可知，质点的振动方向与机械波的传播方向在同一直线上，所以该波为纵波，A错误;机械波在同一介质中的传播速度相同，由v=可知，推、拉弹簧的周期(波的周期)越小，波长越短，B错误;标记物振动的速度为该波上质点的振动速度，与波的传播速度无关，C错误;标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量，D正确。
2.(2024·江苏卷，7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA=2AB，零时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A点开始振动，则B点开始振动的时刻为(　　)
A.t1 B. C.2t1 D.
答案　B
解析　水波的传播速度大小不变，设水波传播的速度为v，由题意可知OA=vt1、AB=vt2，又OA=2AB，则t2=t1，则B点开始振动的时刻为t3=t1+t2=，B正确。
对点练2　振动图像和波的图像的综合应用
3.(2026·江苏泰州期中)图甲是一简谐横波在t=0时刻的波形图，图乙是波中质点Q的振动图像，质点P、Q平衡位置的坐标分别为0和3.5 m。则(　　)
A.波沿x轴正方向传播
B.波的传播速度为1 m/s
C.t=0.75 s时，质点P的位移为零
D.再经0.5 s，质点P通过的路程为20 cm
答案　C
解析　t=0时刻质点Q沿y轴正方向振动，所以波沿x轴负方向传播，A错误;波的传播速度为v==2 m/s，B错误;0.75 s内波传播的距离x=vt=1.5 m，此时质点P位于平衡位置，C正确;由于t=0时质点P介于平衡位置和峰值之间，所以在四分之一个周期(即0.5 s)内，通过的路程不等于一个振幅，D错误。
4.(2025·陕、晋、青、宁卷，8改编)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t=0时的波形图可能为(　　)
答案　C
解析　简谐横波的波长大于1 m，A项中波长小于1 m，A错误;t=0时，b质点的位移应为-10 cm，B、D错误;C选项中满足波长λ>1 m，以及t=0时a质点位于平衡位置且向上运动，b质点位于负向最大位移处，C正确。
对点练3　波传播的周期性和多解性问题
5.(2025·海南卷，5)如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t=0时刻和t=0.5 s的波形图，已知波的周期T>0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是(　　)
A.波长为5 cm
B.波速为10 cm/s
C.周期为1 s
D.t=0时质点M沿y轴负方向振动
答案　D
解析　由题图可知波长为10 cm，故A错误;t=0时刻到t=0.5 s的过程中，Δt=0.5 s=nT+T(n=0、1、2、…)，因T>0.5 s，所以n只能取0，则T= s，波速为v==15 cm/s，故B、C错误;简谐横波沿着x轴正方向传播，根据“同侧法”可知，t=0时质点M沿y轴负方向振动，故D正确。
对点练4　波的干涉、衍射和多普勒效应
6.(2025·江苏苏州模拟)向水面上扔一个石块，形成如图所示的波形，已知相邻实线间的距离等于一个波长，不考虑水波的反射，可大致描述水波通过孔A和B后传播情况的是(　　)
答案　A
解析　由题图可知，孔A跟波长相比相差不多，故从孔A传出的波有明显的衍射现象;孔B跟波长相比相差较大，故从孔B传出的波无明显的衍射现象，沿直线传播。且通过孔A的衍射波都是以孔A为圆心的同心半圆，故A正确。
7.(2026·江苏宿迁期末)两列频率相同的横波某时刻相遇时的情况如图所示，实线和虚线分别表示波峰和波谷，波的振幅均为A，则(　　)
A.P、N两处的质点正处于波谷位置
B.M点为振动加强点，位移始终为2A
C.再过四分之一周期，Q点为振动减弱点
D.从此刻起，经过半个周期，M处质点的路程为4A
答案　D
解析　由题图可知P、N两处的质点正处在两波的波峰与波谷相遇叠加的位置，因为两波的振幅相同，故质点处于平衡位置，A错误;由于M点是波峰与波峰相遇，所以M为振动加强点，振动加强点的位移随时间周期性变化，位移不是始终为2A，B错误;由于Q点是波谷和波谷相遇，所以Q为振动加强点，经过四分之一周期，Q点仍为振动加强点，C错误;由于M点是振动加强点，所以从题图所示时刻经过半个周期M处质点从波峰振动到波谷，其路程为4A，D正确。
B级　综合提升练
8.(2025·湖南卷，7改编)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t=0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面，频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时，C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时，C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时，C处质点速度不为0
答案　A
解析　根据波速、波长与频率间的关系v=λf得λ==4 m，A正确;根据几何关系可知，sBC==5 m，则B处波源形成的波传播至C点所需的时间tBC==0.5 s，A处波源形成的波传播至C点所需的时间tAC==0.3 s，故t=0.4 s时，只有A处波源形成的波传播到了C点，且C处质点振动了0.1 s=0.1×2.5T=，即此时C处质点振动到了波峰或波谷处，加速度最大，速度为零，B、C错误;t=0.6 s时，A 处波源与B处波源形成的波均传播到了C点，由sBC-sAC=知，C点为振动减弱点，又两波源产生的波振幅相等、起振方向相同，故C处质点静止，即速度为0，D错误。
9.(2025·云南卷，7)如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
答案　D
解析　由题图可知该简谐横波的波长为λ=4 m，波形由实线变为虚线所需的时间为t0=1.0 s，该段时间内波向前传播了半个波形，则该波的周期为T=2t0=2.0 s，该波的波速为v==2 m/s，A错误;从t=0到t=2.5 s的时间内波向前传播的距离为x=vΔt1=2×2.5 m=5 m，则波源的平衡位置距离P点1 m，B错误;由波的图像可知，波源的起振方向向下，又1.0 s为半个周期，则t=1.0 s时波源处于平衡位置且向上运动，C错误;由A项分析可知，1.5 s时间内波向前传播的距离为x'=vΔt2=2×1.5 m=3 m，由B项可知Q点到波源的平衡位置距离为3 m，所以t=1.5 s时波传播至Q点，由波的周期性可知t=5.5 s时PQ间的波形与t=1.5 s时的波形相同，Q处质点在平衡位置向下振动，P处质点在平衡位置向上振动，即t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，均为0，D正确。
10.(2026·江苏南京金陵中学期末)频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m。t=0时S1、S2同时垂直于平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则(　　)
A.两列波的波长均为2 m
B.两列波的振幅分别为3 cm和2 cm
C.两列波的起振方向相反
D.两列波相遇的区域各质点振动都减弱
答案　B
解析　根据题图可知，4 s时M点开始沿x轴正方向振动，故此时其中一列波传播到M点，起振方向向上，7 s时振动图像开始改变，说明另一列波传播到M点，此时两列波都传到M点，且M处质点处于平衡位置，第一列波使M处质点向下振动，之后振幅减小，故此时M处质点振动减弱，可知第二列波使M处质点向上振动，所以两列波的起振方向均沿x轴正方向，故C错误;S1、S2到M的距离之差为6 m，由题图可知两列波传到M点的时间差为3 s，则波速v== m/s=2 m/s，所以波长λ=vT=4 m，故A错误;第一列波的振幅为3 cm，7 s后M点振动减弱，振幅为1 cm，所以第二列波的振幅为2 cm，故B正确;根据波的叠加原理可知，两列波相遇的区域有些质点振动加强，有些质点振动减弱，故D错误。
11.(2026·江苏南京期末)如图甲，一列简谐横波沿x轴传播，实线和虚线分别为0时刻和t时刻的波形图，Q是平衡位置为x=4 m的质点。图乙为质点Q的振动图像，求:
(1)波的传播速度大小v及方向;
(2)t以及平衡位置在x=0处质点的振动方程。
答案　(1)40 m/s　沿x轴正方向传播
(2)t=(0.2n+0.05) s(n=0、1、2、3、…)
y=-10sin (10πt) cm
解析　(1)由题图甲、乙可知，波长λ=8 m，周期T=0.2 s，故波的传播速度大小
v==40 m/s
由题图乙可知质点Q在t=0时刻沿y轴正方向振动，根据“上下坡法”可知该波沿x轴正方向传播。
(2)根据题图甲可知，0~t时间内该波沿x轴正方向传播的距离
s=(n+)λ(n=0、1、2、3、…)
则有t=(n+)T(n=0、1、2、3、…)
解得t=(0.2n+0.05) s(n=0、1、2、3、…)
由于ω==10π rad/s、x=0处质点t=0时刻沿y轴负方向振动，则振动方程为
y=-Asin t=-10sin (10πt) cm。
C级　拔尖进阶练
12.一列简谐横波在某均匀介质中沿直线由质点a向质点b传播，a、b两质点的平衡位置相距0.5 m。如图所示，实线表示质点a的振动图像，虚线表示质点b的振动图像，求:
(1)质点a的振动方程;
(2)此波的传播速度大小。
答案　(1)y=2sin (10πt+) cm (2) m/s(n=0、1、2、3、…)
解析　(1)由题图可知，振幅A=2 cm，周期T=0.2 s，则ω==10π rad/s，质点a的振动方程
y=Asin(ωt+φ)=2sin(10πt+φ) cm
当t=0时，y=1 cm，代入得φ=
则y=2sin (10πt+) cm。
(2)经分析可知，a、b两质点平衡位置间的距离为
(n+)λ=0.5 m(n=0、1、2、3、…)
波的传播速度为v=
联立解得v= m/s(n=0、1、2、3、…)。

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