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《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
6．现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
7．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，为实数，则“”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
10．已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数使得，是方程的两根
B．若，则的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
11．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若在上有两个不等实根，则实数m的取值范围为________.
13．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________.
14．已知为实数，且，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设命题：，，命题：，.
(1)若为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围.
16．设函数，关于的不等式（为常数）的解集为.
(1)若，求实数的值；
(2)当时， 恒成立，试求的取值范围.
17．已知.
(1)若不等式的解集为，求的解析式；
(2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示）
(3)若，，，求的最小值.
18．若函数，满足：对于任意、，均有（为正整数）成立，则称函数具有“级”性质．
(1)分别判断，是否具有“1级”性质，并说明理由；
(2)已知定义域为的函数具有“2级”性质，求证：对于任意的，都有；
(3)已知定义域为的函数具有“3级”性质，求证：函数为常值函数．
19．已知函数和，定义集合 .
(1)设 ，求；
(2)设，当 时，求的取值范围；
(3)设 ，若 ，求的取值范围.
试卷第1页，共3页《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（解析版）
1．B
【解析】由，得．又，
所以．
由，得，
所以．
因此．所以的元素个数为2．
2．B
【解析】解不等式，得；
解不等式，得，
而集合真包含于集合，
所以“”是“”的必要不充分条件．
3．D
【解析】因为，故，化简得，解得，
即不等式的解集为.
4．C
【解析】命题：“，”为假命题，
即命题：“，”为真命题．
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则，结合.
综上，．
5．D
【解析】由题意得恒成立，，
当时，由二次函数的性质可得且，解得，
当时，一次函数不恒成立，综上， .
6．C
【解析】已知传令兵的行进速度为，
则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为，
则往返共用时间，即①，
由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②，
由①②得，解得，（舍去），
所以，当且仅当时等号成立．
7．C
【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立；
当时，不等式对一切恒成立，则有
且，即，解得，
综上可得，.
8．C
【解析】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立.
验证充分性：若，此时；根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ，不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立.
综上，“”是“成立”的充要条件.
9．ACD
【解析】选项A：，所以，所以，故，故A正确；
选项B：当时，，故B错误；
对于C：因为，所以同号，故时，，故C正确；
对于D：由糖水不等式，所以，故D正确．
10．ABD
【解析】选项A：若、是方程的两根，
由韦达定理得，，代入题干，
左边，右边，等式成立；又，
则，即或时存在这样的，A正确；
选项B：若，由基本不等式，
代入得，
令，
则，解得即，当且仅当时等号成立，
但，故，即范围为，B正确；
选项C：令，则，则、是方程的两根，
判别式，解得或，
即的范围是，并非仅，C错误；
选项D：，
由：
当时，，故；
当时，，故，
综上范围为，D正确.
11．ACD
【解析】已知，由基本不等式，
当时，，解得，当且仅当时取等号，
当时，，解得，当且仅当时等号成立，
，故A正确；
因为关于的方程有解，所以
因此，故B错误；
由，可得，
所以，，
所以，故C正确；
因为，
由选项A知，
由，得，故D正确．
12．
【解析】方程在上有两个不相等的实数根，
，
解得．
13．
【解析】由，得，得或，
所以的解集为，
由，得，
当，即时，得，
所以的解集为，
此解集中不含，不符合题意；
当，即时，化为，
所以的解集为空集，不符合题意；
当，即时，得，
所以的解集为，
因为不等式组的解集中所含整数解只有，
结合数轴分析可知，得．
14．
【解析】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
15．（1）由，，
得关于的方程无实根，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
（2）由为假命题，则的否定：，为真命题，
即，，
而当时，，
当且仅当时取等号，因此，
因为为假命题且为真命题，则，
则，
所以实数m的取值范围是.
16．（1）时，的解集为，
则的两根分别为，
故，，得.
（2）因为的两根分别为，
所以，，得，，则，
因为当时，恒成立，
所以对恒成立，
则且，得，
故的取值范围为.
17．（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且.
，解得；
.
（2），，.
令，得，则，.
，.
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为.
综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
（3），，，得.
.
，，.
.
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
18．（1）当时，取，则，
故不具有“1级”性质.
当时， ，
故具有“1级”性质.
（2）对任意的，取，
因为具有“2级”性质，故，
同理，
故
.
（3）若不是常值函数，则存在，，
不妨设，对任意的正整数，将区间等分，得如下分点：
，
因为具有“3级”性质，
故，
而
，
当时，不成立，
这与正整数的任意性矛盾，故是常值函数.
19．（1）已知 ，
由即 ，
解得 ，
则；
（2）已知，
由题意得，对任意恒成立，
，即 恒成立，
当时，恒成立；
当时，由，
解得；
综上，当时，的取值范围为；
（3）已知 ，
由 得，不等式组有解，
由 ，
又 ，
当 ，即时，对任意 恒成立，
则满足 ；
当 ，即时， 或，
要使 ，则 或 ，
解得，则有；
当 ，即时， 或 ，
要使 ，则 或 ，
解得，则有 ；
综上所述，的取值范围是.

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