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课改版八上数学期末真题卷（1）
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1 ．（2 分）将 0.00008 用科学记数法表示应为 ( )
A ．0.8×10﹣4 B ．8×10﹣4 C ．80×10﹣4 D ．8×10﹣5
2 ．（2 分）下列运算中正确的是 ( )
A ．a a2 ＝a3
B ．（a2）3 ＝a5
C ．a8 ÷a2 ＝a4
D ．a5+a5 ＝2a10
3 ．（2 分）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
A ．x2+1 B ．x2﹣4 C ．x3 ﹣8 D ．x2+4x+1
x2 -1
4 ．（2 分）若分式 的值为 0 ，则 x 的值为 ( ) x-1
A ．1 B ．﹣ 1 C ．0 D ． ± 1
5 ．（2 分） 已知 x2 ﹣8x+a 是完全平方式，则 a 的值为 ( )
A ．4 B ．8 C ．16 D ．﹣ 16
6 ．（2 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（2 ，1）关于y 轴对称的点的坐标是 ( ) A ． ( ﹣2 ，1）
B ．（2 ，1）
C ． ( ﹣2 ，﹣ 1）
D ．（2 ，﹣ 1）
7 ．（2 分） 已知等腰三角形的一边长为 4 ，另一边长为 8 ，则它的周长是 ( )
A ．12 B ．16 C ．20 D ．16 或 20
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8 ．（2 分）如图，某小区规划在边长为 x m 的正方形场地上，修建两条宽为 2m 的甬道，其余部分种草，则
甬道所占的面积（单位 m2）是 ( )
(
C
．（
x
﹣
2
）
2
D
．
x
2
﹣（
x
﹣
2
）
2
) (
A
．
4
x
B
．
x
2
﹣
4
x
)
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
2
9 ．（2 分）若分式 有意义，则 x 的取值范围是 ． x—1
10 ．（2 分）计算： = ．
11．（2 分）计算： = ．
12 ．（2 分）分解因式：3x2﹣6x+3 = .
13．（2 分）如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝2，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，则线段 BD 的长为 ．
14 ．（2 分）如图，AC ＝AD ， ∠1 = ∠2 ，要使△ADE≌△ACB ，则需再添加一个条件是 （写出一个即可）．
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15 ．（2 分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1 的度数为 ．
16 ．（2 分）如图， △ABC 的角平分线 CD ，BE 相交于点 F， ∠A ＝90 ° , EG∥BC，且 CG⊥EG 于点 G ，下列结论：①∠CEG = ∠DCB；②CA 平分∠BCG；③∠ADC = ∠GCD；④∠DFBCGE ，其中正确的结论是 （只填序号）．
三、解答题（共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第 27-28 题，每小题 5 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17 ．（5 分）计算：
18 ．（5 分）计算：（x﹣2y）2．
19 ．（5 分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x﹣2y），其中 x y ＝3．
20 ．（5 分）计算：
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21 ．（5 分） 已知：如图，点 B ，E ，C ，F 顺次在同一条直线上，点 A ，D 在直线 BC 的同侧，BE ＝CF， AB∥DE ，AB ＝DE ．求证： ∠A = ∠D．
22 ．（5 分）解方程：
23 ．（6 分）求证：当 n 是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣ 1）2 是这两个奇数的和的 2倍．
24 ．（6 分）小月是学校图书馆 A 书库的志愿者，小杰是学校图书馆 B 书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作．6 月 5 日，图书馆 A 书库有 120 册图书需整理，而 B 书库有 80 册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的 1.2 倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前 15 分钟完成工作．求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．
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25 ．（6 分）已知：如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，点 C 关于直线 AB 的对称点为 C ′ ，连接 C ′B ，点 P 是线段 C ′B 上的一点，连接 AP ，PD ，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝BD ，连接 PE ．求证： PD ＝PE．
26 ．（6 分） 已知：如图，在△ABC 中， ∠A ＝60 ° , 设 AB ＝c ，AC ＝b ，如果 b2+c2﹣4（b+c）+8 ＝0． （1）求证： △ABC 是等边三角形；
（2） △ABC 的中线 BD ，CE 交于点 O ，用等式表示线段 OD 与 OB 之间的数量关系，并证明．
27 ．（7 分） 已知：如图，OB ＝BA ＝AC， ∠OBA ＝150 ° , ∠BAC ＝90 ° , 连接 BC，OA ，OC，过点 O 作OD⊥AC 于点 D ，过点A 作△AOB 的高线AE ，交 OB 的延长线于点 E．
（1）求证： △AOE≌△AOD；
（2）求∠DOC 的度数．
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28 ．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，对于 P ，Q 两点给出如下定义：若点 P 的横纵坐标的绝对值之和等于点 Q 的横纵坐标的绝对值之和，则称 P ，Q 两点为“等和点 ”．如图 1 ，P ，Q 两点即为“等和点 ”．
（1） 已知点 A 的坐标为 ( ﹣2 ，4），
①在点 S（0 ，2），T（1 ，5），W（2 ，﹣4）中，与点A 为“等和点 ”的是 （只填字母）；
②若点 B 在第一象限的角平分线上，且 A ，B 两点为“等和点 ”，则点 B 的坐标为 ；
（2） 已知点 C 的坐标为（3 ，0），点 D 的坐标为（0 ， ﹣3），连接 CD ，点 M 为线段 CD 上一点，过点 N（n ，0）作 x 轴的垂线 l ，若垂线 l 上存在点 M 的“等和点 ”，求 n 的取值范围．
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课改版八上数学期末真题卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B C A C D
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1 ．（2 分）将 0.00008 用科学记数法表示应为 ( )
A ．0.8×10 _ 4 B ．8×10 _ 4 C ．80×10 _ 4 D ．8×10 _ 5
【分析】根据科学记数法表示较小的数，一般形式为 a × 10 _ n ，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数，由此可得答案．
【解答】解：将 0.00008 用科学记数法表示应为 8×10 _ 5．
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，科学记数法的表示形式为 a × 10n ，其中 1≤|a|＜10 ，n为整数，表示时关键要正确确定 a 和 n 的值．
2 ．（2 分）下列运算中正确的是 ( )
A ．a a2 ＝a3 B ．（a2）3 ＝a5
C ．a8 ÷a2 ＝a4 D ．a5+a5 ＝2a10
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A 、a a2 ＝a3 ，故此选项符合题意；
B 、（a2）3 ＝a6 ，故此选项不符合题意； C、a8 ÷a2 ＝a6 ，故此选项不符合题意；
D 、a5+a5 ＝2a5 ，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3 ．（2 分）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
A ．x2+1 B ．x2﹣4 C ．x3 ﹣8 D ．x2+4x+1
【分析】根据平方差公式 a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b）分析判断即可．
【解答】解：A 、x2+1 不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B 、x2﹣4 ＝（x+2）（x﹣2），能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、x3 ﹣8 不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D 、x2+4x+1 不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
x2 -1
4 ．（2 分）若分式 x- 1 的值为 0 ，则 x 的值为 ( )
A ．1 B ．﹣ 1 C ．0 D ． ± 1
【分析】直接利用分式的值为 0 ，则分子为 0 ，进而得出答案．
x2 -1
【解答】解： ∵分式 的值为 0， x-1
∴x2﹣ 1 ＝0 ，且 x﹣ 1≠0，
解得：x = ﹣ 1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
5 ．（2 分） 已知 x2 ﹣8x+a 是完全平方式，则 a 的值为 ( )
A ．4 B ．8 C ．16 D ．﹣ 16
【分析】根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2 和 a2﹣2ab+b2 两种，据此即可求解． 【解答】解： ∵x2 ﹣8x+a 可以写成一个完全平方式，
∴则 a 可为：16．
故选：C．
【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
6 ．（2 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（2 ，1）关于y 轴对称的点的坐标是 ( )
A ． ( ﹣2 ，1） B ．（2 ，1） C ． ( ﹣2 ，﹣ 1） D ．（2 ，﹣ 1）
【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 ”解答．
【解答】解：点 P（2 ，1）关于y 轴对称的点的坐标是 ( ﹣2 ，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
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（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7 ．（2 分） 已知等腰三角形的一边长为 4 ，另一边长为 8 ，则它的周长是 ( )
A ．12 B ．16 C ．20 D ．16 或 20
【分析】因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：等腰三角形的一边长为 4 ，另一边长为 8 ，则第三边可能是 4 ，也可能是 8， （1）当 4 是腰时，4+4 ＝8 ，不能构成三角形；
（2）当 8 是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8+8+4 ＝20．故选：C．
【点评】本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键．
8 ．（2 分）如图，某小区规划在边长为 x m 的正方形场地上，修建两条宽为 2m 的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位 m2）是 ( )
A ．4x B ．x2﹣4x C ．（x﹣2）2 D ．x2﹣（x﹣2）2 【分析】用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可．
【解答】解： 由图可知边长为 x m 的正方形场地的面积为：x2，除去甬道剩余部分的面积为：（x﹣2）2，
∴甬道所占面积为：x2﹣（x﹣2）2．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握平移甬道化零为整的解题思想．
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
2
9 ．（2 分）若分式 有意义，则 x 的取值范围是 x ≠1 ． x﹣1
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【分析】根据分式有意义的条件可知 x﹣ 1≠0 ，再解不等式即可．
【解答】解： 由题意得：x﹣ 1≠0，
解得：x ≠1，
故答案为：x ≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
10 ．（2 分）计算：
【分析】运用分式乘方的运算方法进行求解． 【解答】解：
故答案为：
【点评】此题考查了分式乘方的计算能力，关键是能准确确定计算方法，并能进行正确地计算．
11．（2 分）计算：
【分析】先变分式除法为乘法，再进行约分、求解． 【解答】解
2y2
故答案为： ．
x
【点评】此题考查了分式除法的计算能力，关键是能准确确定运算方法，并进行正确地计算．
12 ．（2 分）分解因式：3x2﹣6x+3 ＝ 3（x﹣ 1）2 ．
【分析】先提取公因式 3 ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：3x2﹣6x+3，
=3（x2﹣2x+1），
=3（x﹣ 1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13 ． （2 分） 如图， △ABC 是等边三角形 ，AB ＝2 ，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D ，则线段 BD 的长为 1 ．
【分析】利用三线合一的性质解决问题即可．
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【解答】解： ∵△ABC 是等边三角形，AD 平分∠BAC，
∴BD ＝CD，
∵AB ＝BC ＝2，
∴BD ＝DC ＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是掌握三线合一的性质．
14 ．（2 分）如图，AC ＝AD ， ∠1 = ∠2 ，要使△ADE≌△ACB ，则需再添加一个条件是 AE ＝AB（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据等式的性质可得∠CAB = ∠DAE ，然后利用SAS 证明△CAB≌△DAE ，即可解答． 【解答】解：需再添加一个条件是 AE ＝AB，
理由： ∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1+∠BAD = ∠2+∠BAD， ∴ ∠CAB = ∠DAE，
在△CAB 和△DAE 中，
∴△CAB≌△DAE（SAS），
故答案为：AE ＝AB（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．
15 ．（2 分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1 的度数为 70 ° .
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠2 的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1 = ∠2 =70 ° .
【解答】解：如图，
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根据三角形内角和可得∠2 ＝180 °﹣50 °﹣60 ° =70 ° ,因为两个全等三角形，
所以∠1 = ∠2 ＝70 ° ,故答案为：70 ° .
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
16 ．（2 分）如图， △ABC 的角平分线 CD ，BE 相交于点 F， ∠A ＝90 ° , EG∥BC，且 CG⊥EG 于点 G ，下列结论：①∠CEG = ∠DCB；②CA 平分∠BCG；③∠ADC = ∠GCD；④∠DFBCGE ，其中正确的结论是 ③④ （只填序号）．
【分析】由平行线的性质推出∠CEG = ∠ACB＞∠DCB，由平行线的性质，垂直的定义推出∠BCG ＝90 ° ,得到 CA 不一定平分∠BCG，由余角的性质推出∠ADC = ∠DCG，由角平分线定义得到∠FBC+∠FCB (∠ABC+∠ACB）＝45 ° , 由三角形外角的性质得到∠BFD = ∠FBC+∠FCB ＝45 ° , 由垂直的 定义得到∠CGE ＝90 °得到∠BFD= ∠CGE．
【解答】解： ∵GE∥BC，
∴ ∠CEG = ∠ACB＞∠DCB，故①不符合题意；
∵EG∥BC，CG⊥EG，
∴CG⊥BC，
∴ ∠BCG ＝90 ° ,
∵∠ACB 不一定等于 45 ° , ∴CA 不一定平分∠BCG ，故②不符合题意；
∵CD 平分∠ACB ， ∴ ∠ACD = ∠BCD，
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∵ ∠ADC+∠ACD = ∠DCG+∠BCD ＝90 ° ,
∴ ∠ADC = ∠DCG，故③符合题意；
∵BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，
∴ ∠BFD = ∠FBC+∠FCB ＝45 ° ,
∵CG⊥EG，
∴ ∠CGE ＝90 ° ,
故④符合题意，
∴正确的结论是③④ ,故答案为： ③④.
【点评】本题考查角平分线定义，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质推出∠BFD = ∠FBC+∠FCB =45 ° .
三、解答题（共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第 27-28 题，每小题 5 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17 ．（5 分）计算：
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再计算加减． 【解答】解：
=2+2﹣ 1+2
=5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18 ．（5 分）计算：（x﹣2y）2．
【分析】根据完全平方公式（a±b）2 ＝a2 ±2ab+b2 展开计算即可．
【解答】解：（x﹣2y）2 ＝x2﹣4xy+4y2．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
19 ．（5 分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x﹣2y），其中 x y ＝3．
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【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将 x 与y 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣x2+2xy = ﹣y2+2xy，当 x 时，原式= ﹣9+2 = ﹣7．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20 ．（5 分）计算：
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式
=a．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21 ．（5 分） 已知：如图，点 B ，E ，C ，F 顺次在同一条直线上，点 A ，D 在直线 BC 的同侧，BE ＝CF， AB∥DE ，AB ＝DE ．求证： ∠A = ∠D．
【分析】首先根据等式的性质可得 BC ＝EF，再根据平行线的性质可得∠B = ∠DEF，然后可利用SAS 定理证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可得∠A = ∠D．
【解答】证明： ∵BE ＝CF， ∴EB+EC ＝CF+EC，
即 BC ＝EF，
∵AB∥DE，
∴ ∠B = ∠DEF，
在△ABC 和△DEF 中，
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∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴ ∠A = ∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22 ．（5 分）解方程
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可． 【解答】解：原方程去分母得：3﹣2x ＝x﹣2，移项，合并同类项得： ﹣3x = ﹣5，
系数化为 1 得：x
检验：将 x= 代入 2（x﹣2）中可得 2× 故原分式方程的解为 x
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
23 ．（6 分）求证：当 n 是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣ 1）2 是这两个奇数的和的 2倍．
【分析】根据平方差公式展开即可得出结论． 【解答】证明：（2n+1）2﹣（2n﹣ 1）2
=（2n+1+2n﹣ 1）（2n+1﹣2n+1）
=2×4n
= 8n，
2（2n+1+2n﹣ 1）＝2×4n ＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣ 1）2 ＝2（2n+1+2n﹣ 1）．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24 ．（6 分）小月是学校图书馆 A 书库的志愿者，小杰是学校图书馆 B 书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作．6 月 5 日，图书馆 A 书库有 120 册图书需整理，而 B 书库有 80 册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的 1.2 倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前 15 分钟完成工作．求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．
【分析】设小杰每小时可以整理 x 册图书，则小月每小时可以整理 1.2x 册图书．根据小杰比小月提前 15分钟完成工作．列出分式方程，解方程即可．
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【解答】解：设小杰每小时可以整理 x 册图书，则小月每小时可以整理 1.2x 册图书．
由题意得：
解得：x ＝80，
经检验：x ＝80 是原方程的解，且符合题意，
∴ 1.2x ＝1.2×80 ＝96，
答：小月每小时可以整理 96 册图书，小杰每小时可以整理 80 册图书．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25 ．（6 分）已知：如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，点 C 关于直线 AB 的对称点为 C ′ ，连接 C ′B ，点 P 是线段 C ′B 上的一点，连接 AP ，PD ，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝BD ，连接 PE ．求证： PD ＝PE．
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC ＝60 ° , AC ′ ＝AC， ∠C ′AB = ∠CAB ，利用 SAS 证明△ABC ′ ≌△ABC ，根据全等三角形的性质得出∠ABC ′ = ∠ABC ＝60 ° , 根据邻补角定义及角的和差求出∠PBD = ∠PBE ＝120 ° , 利用SAS 证明△PBD≌△PBE ，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠ABC ＝60 ° ,
∵点 C 关于直线AB 的对称点为 C ′， ∴AC ′ ＝AC， ∠C ′AB = ∠CAB，
在△ABC ′和△ABC 中，
∴△ABC ′ ≌△ABC（SAS），
∴ ∠ABC ′ = ∠ABC ＝60 ° ,
∴ ∠PBD = ∠ABC ′+ ∠ABC ＝120 ° , ∠PBE ＝180 °﹣ ∠ABC ′ ＝120 ° , ∴ ∠PBD = ∠PBE，
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在△PBD 和△PBE 中，
∴△PBD≌△PBE（SAS），
∴PD ＝PE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质、轴对称的性质是解题的关键．
26 ．（6 分） 已知：如图，在△ABC 中， ∠A ＝60 ° , 设 AB ＝c ，AC ＝b ，如果 b2+c2﹣4（b+c）+8 ＝0．
（1）求证： △ABC 是等边三角形；
（2） △ABC 的中线 BD ，CE 交于点 O ，用等式表示线段 OD 与 OB 之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用非负数的性质证明b ＝c ＝2 ，可得结论；
（2）结论：OB ＝2OD ．证明 OB ＝OC，OC ＝2OD 即可． 【解答】（1）证明： ∵b2+c2﹣4（b+c）+8 ＝0，
∴（b2﹣4b+4）+（c2﹣4c+4）＝0， ∴（b﹣2）2+（c﹣2）2 ＝0，
∵（b﹣2）2 ≥0 ，（c﹣2）2 ≥0， ∴b ＝2 ，c ＝2，
∴AB ＝AC ＝2，
∵ ∠A ＝60 ° ,
∴△ABC 是等边三角形；
（2）结论：OB ＝2OD．
理由： ∵△ABC 是等边三角形，CE ，BD 是中线，
∴BD⊥AC， ∠ABD = ∠DBC = ∠ACE = ∠ECB ＝30 ° , ∴OB ＝OC，
∵ ∠ODC ＝90 ° , ∠DCO ＝30 ° , ∴OC ＝2OD，
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∴OB ＝2OD．
【点评】本题考查三角形的重心，等边三角形的判定和性质，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27 ．（7 分） 已知：如图，OB ＝BA ＝AC， ∠OBA ＝150 ° , ∠BAC ＝90 ° , 连接 BC，OA ，OC，过点 O 作OD⊥AC 于点 D ，过点A 作△AOB 的高线AE ，交 OB 的延长线于点 E．
（1）求证： △AOE≌△AOD；
（2）求∠DOC 的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出∠OAD = ∠OAE ＝75 ° , 利用 AAS 即可证明△AOE≌△AOD；
（2）根据全等三角形的性质求出∠DOA ＝15 ° , 过 O 点作 OH⊥AB 于 H 点，根据含 30 °角的直角三角形的性质求出 OHOB ，接着证明四边形 ADOH 为矩形得到AD ＝OH，则可证明 OD 垂直平分 AC，则OA ＝OC，根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明： ∵OB ＝BA ， ∠OBA ＝150 ° , ∴ ∠BOA = ∠BAO= ×（180 °﹣ 150 ° ) = 15 ° , ∵AE⊥OE，
∴ ∠E ＝90 ° ,
∴ ∠OAE ＝180 °﹣90 °﹣ 15 ° =75 ° ,
∵ ∠BAC ＝90 ° ,
∴ ∠OAD = ∠BAC﹣ ∠BAO ＝75 ° = ∠OAE，在△AOE 和△AOD 中，
∴△AOE≌△AOD（AAS）；
（2）解： ∵△AOE≌△AOD，
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∴ ∠EOA = ∠DOA ＝15 ° ,
∵ ∠ABO ＝150 ° , BO ＝BA，
∴ ∠BOD ＝30 ° , ∠BAO ＝15 ° ,
∴AB ＝2AE，
∵△AOE≌△AOD，
∴AE ＝AD，
∵AB ＝AC，
∴AD ＝CD，
∵OD⊥AC，
∴OD 垂直平分 AC，
∴OA ＝OC，
∴ ∠DOC = ∠DOA ＝15 ° .
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用 AAS 证明△AOE≌△AOD 是解题的关键．
28 ．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，对于 P ，Q 两点给出如下定义：若点 P 的横纵坐标的绝对值之和等于点 Q 的横纵坐标的绝对值之和，则称 P ，Q 两点为“等和点 ”．如图 1 ，P ，Q 两点即为“等和点 ”．
（1） 已知点 A 的坐标为 ( ﹣2 ，4），
①在点 S（0 ，2），T（1 ，5），W（2 ，﹣4）中，与点 A 为“等和点 ”的是 T，W （只填字母）；
②若点 B 在第一象限的角平分线上，且 A ，B 两点为“等和点 ”，则点 B 的坐标为 （3 ，3） ；
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（2） 已知点 C 的坐标为（3 ，0），点 D 的坐标为（0 ， ﹣3），连接 CD ，点 M 为线段 CD 上一点，过点 N（n ，0）作 x 轴的垂线 l ，若垂线 l 上存在点 M 的“等和点 ”，求 n 的取值范围．
【分析】（1） ①由“等和点 ”的定义一一验证即可；
②设 B（b ，b）， 由“等和点 ”的定义列出方程求出b ＝3 ，则可得出答案；
（2）设 M（x ，y），过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E ，则|x| ＝OE ，|y| ＝ME ，证出 ME ＝EC ．，得出|x|+|y| = OE+ME ＝OE+EC ＝OC ＝3 ．则可得出答案．
【解答】解：（1） ①∵点A 的坐标为 ( ﹣2 ，4）， ∴|﹣2|+|4| ＝6，
在点 S（0 ，2），T（1 ，5），W（2 ， ﹣4）中， |0|+|2| ＝2 ，|1|+|5| ＝6 ，|2|+|﹣4| ＝6，
∴T、W 为点 A 的“等和点 ”，故答案为：T，W；
②∵点 B 在第一象限的角平分线上，A ，B 两点为“等和点 ”，设 B（b ，b），
∴b+b ＝6，
∴b ＝3，
∴B（3 ，3），
故答案为：（3 ，3）；
（2）设 M（x，y），过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，
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则|x| ＝OE ，|y| ＝ME，
∵OC ＝|3| ＝3 ，OD ＝|﹣3| ＝3， ∴OC ＝OD．
∵ ∠COD ＝90 ° ,
∴ ∠OCD = ∠ODC ＝45 ° ,
∴ME ＝EC，
∴|x|+|y| ＝OE+ME ＝OE+EC ＝OC ＝3．
∴点 M 的“等和点 ”满足横纵坐标的绝对值之和为 3．
∴﹣3≤n ≤3．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，新定义“等和点 ”等知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题．
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