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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知a∈R，b∈R，且，则|a+bi|=（　　）
A. B. 2 C. D. 10
2.在△ABC中，若a=3，，，则B的大小为（　　）
A. B. C. 或 D. 或
3.Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年-2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的75%分位数为（　　）
A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771
4.已知向量，，若，则=（　　）
A. B. 5 C. D. 8
5.已知α，β，γ是三个不同的平面，l,m,n是三条不同的直线.下列四个命题：
①若m∥n,n α，则m∥α；
②若α∩β=m,n∥α，n∥β，则m∥n；
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；
④若α∩β=l,β∩γ=m,α∩γ=n,则三条交线l,m,n的交点个数为0或1，其中，真命题的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知O为坐标原点，若A（1，3），B（m-5，1），C（3，m+1）三点共线，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A. （-1，-1） B. （1，-1） C. （1，1） D. （-1，1）
7.已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P-ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（　　）
A. π B. π C. π D. π
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若c=1，，角C的角平分线交AB于点D，则线段CD的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知样本数据x1，x2，…，x5的平均数是3，方差是2，样本数据y1，y2，…，y5的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（　　）
A. 数据2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均数是7
B. 数据2y1-1，2y2-1，…，2y5-1的方差是16
C. 数据x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y5的平均数为3
D. 数据x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y5的方差为4
10.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠ABC=60°，点M，N，G，H分别为B1C1，A1D1，AD，DD1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. B1C⊥A1C1
B. 若点P在BN上运动，则三棱锥G-PC1D1的体积不变
C. 异面直线AC1与B1N所成的角的余弦值为
D. 平面GHM被直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所截的多边形周长为
11.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事件A=“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B=“第二次取到标号为5的号签”，事件C=“两张号签标号之和为5”，则（　　）
A. A与B独立 B. B与C对立 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常工作且元件A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.8，0.6，0.6，则系统正常工作的概率为 .
13.已知向量=（-1，2），=（2，3），若=λ+与=-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是______．
14.圆锥PO的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过PO的中点O1作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱OO1，则剩下几何体的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在2026年“五一”假期期间，全国多地博物馆出现“一票难求”的盛况.某市文旅部门为了解游客在市博物馆某特展厅的参观体验，随机抽取了100名游客，统计了他们在该展厅的停留时长（单位：分钟），得到以下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计这100名游客停留时长的平均数及中位数（结果精确到0.1）；
（2）根据往年数据统计，停留时间在（50，60]的游客第二年五一假期再来的概率为；停留时间在（60，70]的游客第二年五一假期再来的概率为，现利用分层随机抽样的方法，从停留时长在（50，70]分钟之间的游客中抽取4人，这4人第二年是否再来彼此互不影响.求第二年这4人中至少有1人再来的概率.
16.(本小题15分)
在①（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC，②，③cos2A-3cos（B+C）=1，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
在△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a,b,c,且选条件：_____.
（1）求角A的大小；
（2）若E为BC中点，且，AB=3，求AC的值.
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC-AB1C1中，D为AB的中点，.
（1）证明：CD⊥A1E；
（2）证明：BC1∥平面A1CD.
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知c=1，，且△ABC为锐角三角形.
（1）求A；
（2）求b的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面POB；
（2）点M在棱PC上，满足PM=λPC（0＜λ＞1），且三棱锥P-ABM的体积为，求λ的值及二面角M-AB-D的正切值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】0.672
13.【答案】λ＜9，且λ≠-1
14.【答案】
15.【答案】41.0；41.4

16.【答案】A=
AC=2
17.【答案】因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，
所以CD⊥AB，
因为BB1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以BB1⊥CD，
因为AB 平面ABB1A1，BB1 平面ABB1A1，
AB∩BB1=B，
所以CD⊥平面ABB1A1．
因为A1E 平面ABB1A1，
所以CD⊥A1E
连接AC1，设AC1与A1C交于点F，则F为AC1的中点，连接DF，
因为D为AB的中点，所以DF为△ABC的中位线，
则DF∥BC1，
又DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD
18.【答案】解：（1）根据c=1，可得，
所以，
解得，
因为A是锐角，，所以，解得；
（2）因为△ABC是锐角三角形，所以，解得，
由正弦定理得，
可得b===
==，
因为，可得tanC，所以，可得b=∈．

19.【答案】解：（1）证明：连接OC，
因为底面ABCD中，，∠BAD=∠ABC=90°，
所以四边形四边形AOCB为正方形，得AC⊥OB，
因为侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，
因为平面PAD垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO平面ABCD，
因为AC 平面ABCD，所以PO⊥AC，
因为PO∩OB=O，所以AC⊥平面POB，
因为AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面POB；
（2）因为底面ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点．
所以AO=OD=AB=BC=OC=2，PA=AD=PD=4，PO=2，OB=AC=2，
因为PO平面ABCD，OB，OC 平面ABCD，
所以PO⊥OB，PO⊥OC，
以PB2=PO2+OB2=20，
因为AB2+PA2=20，
所以PB2=AB2+PA2，所以，
设点C、M到平面PAB的距离分别为d1、d2，由VC-PAB=VP-ABC，
即= d1，=，
解得d1=．
因为三棱锥P-ABM的体积为，所以 d2=，即=，可得d2=，
又=，所以PM=，
因为PM=λPC（0＜λ＞1），所以，
取OC靠近点O的四等份点E，连接ME，则ME∥PO，
因为PO⊥平面ABCD，所以ME⊥平面ABCD，
因为AB 平面ABCD，所以ME⊥AB，
过点E作EF⊥AB于F，连接MF，
因为ME∩EF=E，所以AB⊥平MEF，
因为MF平面MEF，所以AB⊥MF，
则∠MFE为二面角M-AB-D的平面角，
因为，所以ME=，
因为∠BAD=∠AFE=∠AOC=90°，
所以四边形AOEF为矩形，所以AO=EF=2，
所以在Rt△MEF中，tan∠MFE==，
所以二面角M-AB-D的正切值为．
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