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云南省昆明市嵩明县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入30元”记作“元”，那么“支出20元”记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.某县常住人口约为450000人，将数字450000用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.下列图形中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
4.如图，点为数轴原点，数轴上点表示的数为1，过点作，使．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
5.下列各式中，运算正确的是（）
A. B. C. D.
6.勾股数是指三个满足勾股定理的正整数．下列各组数据中，是勾股数的是（）
A. B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 5，12，13
7.如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.小明同学将某县6月份每天的平均气温情况进行统计分析，把数据绘制成如下箱线图，则下列说法不正确的是（）
A. 这组数据的最大值是 B. 这组数据的最小值是
C. 这组数据的下四分位数是 D. 这组数据的上四分位数是
9.如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
11.如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（ ）
A. 64 B. 16 C. 8 D. 4
12.下列各点在正比例函数y=-2x的图象上的是（　　）
A. （1，-2） B. （1，2） C. （-1，-2） D. （-2，-1）
13.菱形的对角线，，则菱形的面积为（ ）
A. 24 B. 32 C. 40 D. 48
14.如图，是小旺从家到学校行进的路程（米）与时间（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（ ）．
A. 小旺前分钟走了总路程的一多半 B. 小旺后分钟比前分钟走得快
C. 学校距小旺家米 D. 小旺用了分钟到学校
15.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x，y的方程组的解是（ ）
A. B. C. 无解 D. 不能确定
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
17.因式分解：5x-5y= .
18.若，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系是 （填“>”，“<”或“=”）．
19.如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于 ．
三、计算题：本大题共1小题，共2分。
20.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．
(1) 直接写出 ， ， ；
(2) 判断的形状，并说明理由．
22.(本小题8分)
海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，．
(1) ；
(2) 求的面积．
23.(本小题9分)
某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理与分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：84，75，82，89，90，79，83，90，86，92．
乙班10名学生竞赛成绩：90，79，80，81，86，84，90，92，78，90．
【整理数据】
班级
甲班 2 5 3
乙班 2 4 4
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 85 85 26.6
乙班 85 90 25.2
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1) 填空： ， ；
(2) 请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由；
(3) 若甲班所有学生全部参赛，甲班共有学生40人．按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计甲班可以获奖的总人数是多少人？
24.(本小题8分)
如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，过点作，，交于点，，交于点，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务．
问题背景
素材1 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．
素材2 端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有甲、乙两家超市可供选择，此款礼盒在甲、乙两家超市售价均为120元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案．
素材3 甲超市：打9折出售；乙超市：50盒以内（含50盒）不打折，超过50盒后，超过的部分打8折．该公司计划购买这款粽子礼盒盒（为正整数），设去甲超市购买应付元，去乙超市购买应付元．
问题解决：
(1) 任务1：分别求出，与之间的函数关系式；
(2) 任务2：若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？
26.(本小题10分)
一次函数（）的图象经过点和．
(1) 求该一次函数的解析式；
(2) 该一次函数的图象与轴交点的横坐标为，若代数式的值为零，且，试求的值．
27.(本小题9分)
如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分．
(1) 求的度数；
(2) 若，且，，求证：四边形是正方形；
(3) 探究，发现与证明：是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】A
14.【答案】B
15.【答案】B
16.【答案】x≥2
17.【答案】5（x-y）
18.【答案】>
19.【答案】3
20.【答案】解：
．

21.【答案】【小题1】

5

【小题2】
解：是直角三角形，理由如下；
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形．

22.【答案】【小题1】
8
【小题2】
解：∵，，，
∴．

23.【答案】【小题1】
90
85
【小题2】
解：乙班成绩比较好．
两个班级的平均数、中位数、众数相同，但乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，
乙班成绩更稳定，
乙班成绩比较好；
【小题3】
解：（人）；
答：估计甲班可以获奖的总人数是12人.

24.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小题2】
解：矩形中，，，
在中，，，
∴，
∴，，
由（1）知四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
延长交于，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．

25.【答案】【小题1】
解：由题意可知，（为正整数）；
当且为正整数时，；
当且为正整数时，；
（为正整数）；
【小题2】
解：分情况讨论比较：
当时，，即，此时甲超市更划算；
当且为正整数时，若，即，解得，此时，甲超市更划算；
若，即，解得，此时两家超市费用相同；
若，即，解得，此时乙超市更划算；
综上可得，当购买粽子礼盒少于盒时，在甲超市购买更划算；当购买盒时，在甲、乙两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在乙超市购买更划算．

26.【答案】【小题1】
解：将点和代入得，
解得：，，
因此该一次函数的解析式为；
【小题2】
解：令，则，解得，即，
由题意得，
代入得，
，等式两边同时除以得，整理得，
将等式两边平方得，展开得，即，
对两边立方得，展开得，整理得，
代入得，
解得．

27.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴.
【小题2】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是正方形；
【小题3】
解：当，时，等式成立．证明如下：
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，平分．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
设，，则，
则，，
，
，
∴，
∵，
∴，
即：，
要使等式成立，取值与、无关，则，，
∴，．

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