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山东省泰安市泰山区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.下列图形一定相似的是（）
A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形
C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形
3.已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（ ）
A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8
4.下列各式从左到右一定正确的是（）
A. B.
C. D.
5.《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列说法错误的是（）
A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 四个角都相等的四边形是矩形
D. 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形
8.若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
9.如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（ ）
A. 0.6 B. 0.8 C. 1 D. 1.2
10.如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，则的值为 ．
12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
13.如图，正方形的边长为8，点E是的中点，连接，分别以点A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于G，H两点，作直线，分别交于点M，F，则的长为 ．
14.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为 ．
15.若，则代数式的值为 ．
16.含角的菱形，，，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，…，和点，，，，…，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
17.计算
(1) ；
(2) ．
18.解方程
(1) ；（公式法）
(2) ．（配方法）
四、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1) 求实数的取值范围；
(2) 若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
20.(本小题9分)
如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为．
(1) 求证：；
(2) 若，，求与的相似比．
21.(本小题9分)
如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列两个条件：①；②．
(1) 请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形；
(2) 在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
22.(本小题9分)
汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度．
23.(本小题9分)
根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
24.(本小题9分)
解答下列问题：
(1) 【探究解题】
如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由；
(2) 【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明；
(3) 【归纳应用】在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】且
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

18.【答案】【小题1】
解：
整理得，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【小题2】
解：
，
，
，
，
∴，．

19.【答案】【小题1】
解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
【小题2】
解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∴，
解得，，
由（1）可知：，
∴．

20.【答案】【小题1】
证明：∵是等边三角形，
∴，
由折叠得，
∴，
，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵，，
∴，
由折叠得，，
∴，，
∴，
，
∴的周长为16，的周长为11．
∵，
∴．

21.【答案】【小题1】
若选择①，
证明：∵，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
若选择②，
证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【小题2】
解：∵四边形是菱形，对角线与相交于点，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴．

22.【答案】解：如图，过作于点，交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴汽车盲区的长度为．

23.【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即
解得：
纵向道路宽度的取值范围为
故答案为：；
（2）根据题意可得：
整理得：
解得：，
符合题意
路面设置的宽度符合要求；
故答案为：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意得：
整理得：
解得：，
符合题意
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．

24.【答案】【小题1】
，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
成立，证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴；
【小题3】
解：如图1，当点D在线段上，
根据（2）可得，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
如图2，当点D在线段的延长线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
综上所述，为或．

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