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山东菏泽市菏泽经济技术开发区2025-2026学年七年级下学期期末阶段学情自测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
2.美术课上，同学们用数学曲线设计校园文创图案，下列四种曲线中，无法通过折叠对称快速绘制的是（）
A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔爱心曲线
C. 科赫曲线 D. 费马螺线曲线
3.如图，在下列条件中，不一定能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
4.班级举办“概率与生活”主题班会，同学们分享了以下关于事件类型的说法，其中正确的是（）
A. 煮熟的鸭子飞了是随机事件
B. 玩飞行棋掷一次骰子，向上一面的点数是3（刚好可以前进3格）是随机事件
C. 校射击队的小明射击一次命中10环是必然事件
D. 计算两个负数相乘，积是正数是不可能事件
5.如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（）
A. B.
C. D.
6.研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系.当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系：
氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
则下列说法错误的是（　　）
A. 氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
B. 氮肥施用量越大，土豆产量越高
C. 当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨～34.03吨
D. 当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加
7.如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8.如图,小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起,记中点为O,即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后,利用全等三角形的性质,可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中AOB与COD全等的依据是()
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
9.我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
10.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，.下列推断错误的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在学校劳动实践基地，同学们收获了个劳动成果：个包装成红色礼盒的手工香皂和个包装成黄色礼盒的多肉植物，随机抽取一个礼盒作为劳动奖励，抽到红色礼盒（手工香皂）的概率是 ．
12.已知是完全平方式，则m为 ．
13.如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，的垂直平分线交于点G，交于点H．则 ．
14.如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么 ．
15.如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算与化简求值：
(1) 计算：；
(2) 先化简再求值：，其中，．
17.(本小题8分)
如图，，如果，那么与的大小有什么关系？并说明理由．
18.(本小题8分)
【实践背景】
校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究．
【试验设计】
社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验：
①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响．
②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据．
③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率．
【数据记录】
一组 二组 三组 四组 五组
开红花的植株数量
开其他颜色花的植株数量
出现红花的频率
【解决问题】
(1) 表中 ， ．
(2) 经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）．
(3) 学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量．
19.(本小题8分)
一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别等于和，李师傅量得，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
20.(本小题10分)
如图，点在线段上，，，．
(1) 求证：；
(2) 若，求的度数．
21.(本小题10分)
【实践背景】
周末，小明计划前往文华公园参加“书香伴成长”读书分享会．为节省时间，他先坐公交车到书城选购分享书籍，再继续乘公交前往公园；爸爸担心小明迟到，在小明出发一段时间后，驾车沿相同路线追赶，准备送小明直达会场．
【问题情境】
周末，小明坐公交车到文华公园参加读书分享会，他从家出发0.8小时后到达书城，停留选购书籍一段时间后，继续坐公交车前往文华公园．在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同路线前往文华公园送小明直达会场．如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图象，请根据图象回答下列问题：
【问题提出】
(1) 图象反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
(2) 小明在书城停留了多长时间？小明从家出发到达文华公园的平均速度为多少？
(3) 爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？
22.(本小题11分)
【实践背景】
为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中．
【知识建构】
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：．
(1) 【类比探究】
学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式： ．
(2) 【实战运用】若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和 ．
(3) 【深度拓展】校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值．
(4) 【迁移运用】
如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和．
23.(本小题12分)
【研读素材】
《玩转三角板，探寻数学之美》探究课
同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系．
在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！
(1) 【察悟规律】
课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H．
①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论．
解：，．
，，
．
则在中，．
．
在和中，
，，，
（）．
②若，，则 ．
(2) 【比照推演】
小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美．
(3) 【纵深探究】
挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力．
【凝思悟理】
同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】9
16.【答案】【小题1】
解：

【小题2】
解：



当，时
原式．

17.【答案】与互补，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即与互补．

18.【答案】【小题1】


【小题2】
第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少；
除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为；
【小题3】
（棵），
答：该学校此植物植株的总数量为棵．

19.【答案】如图，延长交相交于点E．

由三角形的外角性质，得，
．
∵李师傅量得，不是，
∴这个零件不合格．

20.【答案】【小题1】
证明：在和中，
，
∴；
【小题2】
∵，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
小明离家的时间
他们离家的路程
【小题2】
解：由图象可得，小明在书城停留的时间为，
小明从家出发到达文华公园的平均速度为：；
【小题3】
解：由图象可得，小明从书城到公园的平均速度为，
小明爸爸驾车的平均速度为，
爸爸驾车经过追上小明，
；
即爸爸驾车经过追上小明，此时距离文华公园．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
90
【小题3】
解：设，，则，，
∴
；
【小题4】
解：∵，设，，
∴，，，，
∵种花区域的面积和为，即，
∴，
∵，
∴种草区域的面积和为：
．

23.【答案】【小题1】
5
【小题2】
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【小题3】
解：过作交直线于，
由三角板可得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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