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山东省潍坊市高密市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.围棋起源于中国．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.等于（ ）
A. B. C. D.
3.如图，将周长为的沿射线向左平移，得到．则四边形的周长是（ ）
A. B. C. D.
4.对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 图象经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小
C. 图象与轴的交点为 D. 当时，
5.为了解某校八年级学生每周的阅读时间，数学兴趣小组随机调查了部分同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（）
A. 中位数是，众数是 B. 中位数是，众数是
C. 中位数和众数都是 D. 中位数是，众数是
6.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
7.漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 …
（） 0 2 4 6 …
（） 2 2.8 3.6 4.4 …
下列说法错误的是（ ）
A. 在实验开始时，水位是
B. 与成一次函数关系
C. 第7次数据记录时，水位应为
D. 当水位为时，对应实验的时间是
8.小亮参加校园象棋挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小亮这场比赛的得分绘制了如下箱线图，下列说法正确的是（ ）
A. 比赛最低分是分 B. 比赛得分的中位数是
C. 分之间的数据相对集中 D. 比赛得分的第三四分位数是
9.已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 点，是直线上不重合的两点，则
10.如图表示某文创产品30天的销售情况，图①是该产品日销售量（件）与日期（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润（元）与日期（日）的函数图象，已知“日销售利润日销售量单件销售利润”．下列结论错误的是（ ）
A. 第30天的销售量为150件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元
C. 第10天和第20天的日销售利润相等 D. 从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）
12.如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有 种．
13.若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ．
14.如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解答题
(1) 计算：；
(2) 当时，求代数式的值．
17.(本小题8分)
已知直线与直线相交于点．
(1) 求和的值；
(2) 求方程组的解．
18.(本小题8分)
为优化乡村旅游体验，文旅局随机抽取游客对两条乡村旅游线路开展百分制满意度调查，线路A为“山林田园采摘线”，线路B为“湖畔民俗休闲线”．
【收集与整理】
每条线路收集了份有效评分，并对数据整理如下：
线路B的评分情况
分数（分）
人数（人）
其中线路A的分段评分的具体数值为：，，，，，，，．
【描述与分析】
两条旅游线路评分的统计量（平均数、众数、中位数、方差）及箱线图如下：
线路 平均数 众数 中位数 方差
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 统计表中 ， ；
(2) 求出统计表中的值；
(3) 请结合统计量及箱线图对线路，的评分情况进行分析．
19.(本小题9分)
如图，是的一条对角线，点，分别在和的延长线上，且，请判断四边形的形状，并说明理由．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1) 描出点，，，并画出；
(2) 将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的；
(3) 若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为 ．
21.(本小题11分)
如图，直线：与坐标轴交于，两点，与过点的直线交于点，且．
(1) 求点的坐标和直线的解析式；
(2) 求的面积；
(3) 在轴上是否存在点，使最小？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题10分)
为筹备2026年校园科技节，学校计划采购智能音箱和编程积木套装．已知智能音箱的单价比编程积木套装的单价多80元，用7200元购买智能音箱的数量和用6000元购买编程积木套装的数量相同．
(1) 智能音箱和编程积木套装的单价分别是多少元？
(2) 学校计划购买两种物品共15件，且购买编程积木套装的数量不超过智能音箱数量的2倍，则购买智能音箱和编程积木套装各多少件时，费用最少？最少费用是多少元？
23.(本小题11分)
【问题背景】
在中，，．点是平面内任意一点（不与，重合），连接并将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
(1) 【初步探究】如图①，点在边上，则线段和线段的数量关系是 ；
(2) 【类比探究】如图②，点在内，延长交于点，交线段于点，求的大小（用含的代数式表示）；
(3) 【拓展延伸】如图③，在中，，，，是边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段的最小值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：∵，
∴
．

17.【答案】【小题1】
解：∵点是直线上一点，
∴当时，，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵，
∴方程组为，
即求直线与直线的交点，
∴．

18.【答案】【小题1】
82
87
【小题2】
解：
【小题3】
解：从平均数来看，说明线路平均满意程度与线路相同；
从众数来看，线路中分分，说明线路大众满意度优于线路；
从中位数来看，分分，在箱线图中也能说明线路的中等水平好于线路；（只要写出一条合理信息即可）
从箱线图可以看出：线路中位数高，箱体短，数据集中，说明线路整体口碑好，游客评价高；线路中位数低，箱体长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大

19.【答案】四边形为平行四边形，理由如下：
连接，交于点O，
∵四边形为平行四边形，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．

20.【答案】【小题1】
点，，，即为所求，
【小题2】
，即为所求，
【小题3】


21.【答案】【小题1】
解：∵直线：与坐标轴交于A，B两点，
令，，
∴，
令，，
∴，
如图，过点D作y轴的垂线，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为1，
将代入中得，
∴，
设直线的解析式为，经过和，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
【小题2】
解：∵，，，
∴，
∴的面积；
【小题3】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时，
∴，即的最小值为的长，
∴的最小值是．

22.【答案】【小题1】
设编程积木套装的单价是x元，智能音箱的单价为元．
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则智能音箱的单价为（元），
答：智能音箱的单价为480元，编程积木套装的单价是400元．
【小题2】
设购买编程积木套装的数量为a件，则购买智能音箱的数量为件．
由题意得，
所以，
设总费用是元，
则，
即，
因为，
所以w随a的增大而减小，
所以当时，w取最小值，最小值为，
此时购买智能音箱的数量为（件），
答：购买智能音箱的数量为5件，编程积木套装的数量为10件时花费最少，最少花费是6400元．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
解：由（1），
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
【小题3】
解：延长至点F，使，连接，作，
∵，
，．
由旋转，得，
∴，
∴，
∴，
∴点E在射线上运动．
根据垂线段最短，
∴当点E与点H重合时，的长最短，为的长，
∵，
∴，
则的最小值为3．

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