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华曜初中2025学年第二学期初二年级期中考试
数学试卷
满分：150分，时间：100分钟
一、单选题
1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ▲ ）
A．（其中是常数） B．（其中、、是常数）
C． D．
2．在中，，，，下列结论正确的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ▲ ）
A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折
5．如图，点是的重心，交于点．如果，那么的长为（ ▲ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为、、、，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知，那么 ▲ ．
8．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应高的比为 ▲ ．
9．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是 ▲ ．
10．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约 ▲ 厘米．
11．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ▲ ．
12．若抛物线经过点、，那么 ▲ ．（填“”、“”、或“”）
13．在直角坐标平面内有一点，那么与轴正半轴夹角的余弦值是 ▲ ．
14．顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为 ▲ ．
15．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且、这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ▲ ．
16．如图，在四边形中，是上的点，，，，那么 ▲ ．
17．如图，在中，，，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为，那么的正切值是 ▲ ．
18．已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点落在点处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ▲ ．
三、解答题
19．计算：．
20．已知抛物线经过点、、．
（1）求该抛物线的表达式及其对称轴；
（2）如果点与点关于对称轴对称，联结、，求的面积．
21．如图，在中，，，．是边的中点，过点作直线的垂线，与边相交于点．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
22．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为．
（1）求屋顶点到地面的距离；
（2）已知在墙距离地面1.1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作旋转，即，长度为1.4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．）
23．如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
24．如图，和都是直角三角形，，且与不相似．其中，，，．
（1）是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把或其中一个分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似．如果存在；
①请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性；
②按照你写出的分割方案，求出的值．
（2）分别从和的直角顶点引两条直线，分别将它们分割成两个三角形，交于，交于，当与被分割形成的和中的一个相似时，直接写出的长．
25．如图，在中，，，点为边上的一个动点，以点为顶点作，射线交边于点，过点作射线的垂线，垂足为点．
（1）当点是边中点时，求的值；
（2）求证：；
（3）当时，求．

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