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2025-2026学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国已经启动第二阶段6G技术试验，人工智能逐渐融入人类生活.下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.有理数m,n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（　　）
A. mn＞0 B. n-m＜0 C. m＞-3 D.
3.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A. （x+2）（x-3）=x2-x+6 B. 3x2-x+1=x（3x-1）+1
C. x2-2x-1=（x-1）2 D. 2x2+xy=x（2x+y）
4.计算：化简的结果为（　　）
A. 8a-16 B. 8 C. -8 D. 16
5.在平面直角坐标系中，将点A（a,a+2）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，若点B恰好落在y轴上，则点B的坐标是（　　）
A. （0，1） B. （2，4） C. （1，0） D. （0，4）
6.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小非家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若AC=8，AD=5，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. 24 B. 25 C. 48 D. 60
7.若分式的值为m,现将分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值变为（　　）
A. m B. C. D. 3m
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，AB=2，则对角线AC的长是（　　）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
9.如图，△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=30°，∠ADC的度数是（　　）
A. 105°
B. 75°
C. 60°
D. 90°
10.如图所示，E为边长是4的正方形ABCD的 AB边的中点边的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为（　　）
A. 10
B. 12
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若，则x= .
12.把多项式a2+3ab分解因式时，应提取的公因式是 .
13.如图1，跷跷板是常见的游戏设施，在其静止时，可以抽象出图2的模型，其中AC为跷跷板，CB垂直地面于点B，支撑杆EF的端点分别是AC，AB的中点，若末端C离地面的高度为96cm,则支撑杆EF的长度为 cm.
14.如图，函数y=kx+b的图象过点（2，3），则不等式kx+b≤3的解集是 .

15.如图，已知菱形ABCD的顶点B（0，0），，且点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；
②作直线MN，交CD于点E，连接BE.
若直线MN恰好经过点A，则点E的坐标为 .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
16.（1）因式分解：7x2-28；
（2）.
17.“颗粒归仓，饭碗更牢”.夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间.某农业合作社租用小型收割机和大型收割机参与冬小麦收割，已知每台大型收割机1小时比每台小型收割机多收割4亩小麦.若用1台收割机收割完15亩小麦，1台小型收割机所用时间是1台大型收割机所用时间的2倍.
（1）求每台小型、大型收割机1小时分别收割多少亩小麦；
（2）该合作社计划租用小型收割机、大型收割机共10台来收割小麦，要求两种型号的收割机都租用，且租用小型收割机大于5台，若它们同时工作1小时收割小麦不少于48亩，那么有多少种租用方案？请列出所有可能的方案.
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
解不等式组：，并写出它的最大整数解.
19.(本小题7分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且CE=CF.
求证：∠AEC=∠AFC.
20.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中a=8.
21.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C均在格点上.
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，3），建立平面直角坐标系，并在坐标系中找出一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为______.
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B=30°，∠CAB=45°，，求△ABC的面积.
23.(本小题10分)
【定义新运算】对正实数a,b,定义运算“ ”，满足.
例如：当a＞0时，.
（1）当a＞0时，计算：（2a） 2=______；（2a） （2a）=______.
（2）当a=2，时，求a b的值是多少？
（3）【应用新运算】如图，在线段AB上取一点E，在同侧分别以AB、BE为边作正方形ABCD和正方形BEFG，连接DE、BD，AB=a,BE=b.若△BDE的面积为3，AE=1，求（2a） b （2a）的值.
24.(本小题12分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12cm,AB=18cm,CD=23cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC-CD向终点D运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）.
（1）AP=______cm,BP=______cm（用含t的代数式表示）；
（2）①写出BC=______cm；
②当t为何值时，四边形PBCQ是平行四边形？
（3）若改变点Q的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形PBCQ为菱形，请你求出点Q的运动速度应为多少？
25.(本小题12分)
在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（1）【推理证明】已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC边的中点.
求证：.
请你补全证明过程：
证明：如图2，延长BO至D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵点O是AC边的中点，
∴______=______，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是______，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为______，
∴AC=BD=2OB，
∴.
（2）【探究问题】如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF.猜想四边形BDFG的形状，并说明理由；
（3）【拓展思考】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E是BD的中点，若∠EAC=α，直接写出∠ADC的度数.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】3．
12.【答案】a
13.【答案】48
14.【答案】x≤2
15.【答案】
16.【答案】7（x+2）（x-2）
x=-7
17.【答案】小型收割机1小时收割4亩，大型收割机1小时收割8亩
方案：①小型6台，大型10-6=4台；②小型7台，大型10-7=3台；③小型8台，大型10-8=2台，
综上一共有3种租用方案
18.【答案】-1＜x≤1，该不等式组的最大整数解为1．
19.【答案】见解析．
20.【答案】，．
21.【答案】
；（6，3）或（6，-1）或（-2，3）
22.【答案】∵AB∥CE，
∴∠CAD=∠ACE，∠ADE=∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF=CF，
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF=EF，
∴四边形ADCE是平行四边形

23.【答案】;a

24.【答案】t;（18-t）
①13；②
5.2cm/s
25.【答案】OA;OC;平行四边形;矩形
四边形BDFG是菱形，理由如下：
∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵∠ABC=90°，BD为斜边AC的中线，
∴BD=，
∵AG∥BD，
∴∠AFC=90°，
∵点D为AC的中点，
∴DF=，
∴BD=DF，
∴四边形BDFG为菱形
90°-α
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