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拓展专题 轻松突破分组分配问题的四大题型
题型一：相同元素的分组问题——枚举法 2
题型二：相同元素的分配问题——隔板法 2
题型三：不相同元素的分组、分配问题 4
题型四：有限制条件的分组、分配问题 8
【知识点综述】
1.区分分组问题与分配问题
将元素分给相同的对象（如分成n组，分成n堆，分到n个相同的盒子里）的计数问题叫分组问题.
将元素分给不同的对象（如分给n个人，分到n个不同的盒子里）的计数问题叫分配问题.
2.不同元素的分组问题
不同元素的分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！．
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
3.不同元素的分配问题
不同元素的分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．区分是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的分配对象，则为定向分配问题．
4.解决分组问题与分配问题的基本思路
(1)准确分类与分步：面对分组与分配问题，首先要明确是分类还是分步处理.分类时需确保各类情况相互独立且涵盖所有可能，分步则要保证每一步的操作合理有序，且各步之间相互关联，共同构成完成任务的完整过程.
(2)组与分配：清晰区分分组和分配的概念.分组是将元素按照一定规则分成不同的组，只关注组内元素的构成；而分配是在分组的基础上，将这些组对应到不同的对象，需要考虑组与对象之间的对应关系.
(3)元素特性：仔细分析元素的特点，包括元素是否相同、是否有特殊限制条件等.对于相同元素，分组方法与不同元素有所不同；对于有特殊限制的元素，如某些元素必须在同一组或不能在同一组，需优先考虑这些特殊情况，再进行后续的分组与分配操作.
(4)运用计数原理：合理运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理.分类时，将各类情况的方法数相加；分步时，把每一步的方法数相乘，从而得到总的方法数.
题型一：相同元素的分组问题——枚举法
对于相同元素的分组问题，一般采用枚举法，将各种分法逐一列出，再计算总的方法数，注意此时元素是相同的，对象也是相同的，故各种分法中，若各对象所分得元素个数确定，此时交换元素算同种方法.
【典例】把4个相同的小球放入3个相同的盒子,共有 不同的放法.
【答案】4
【分析】由于小球相同,盒子也相同,故小球数目的不同分组就对应不同的放法.
【解析】共有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型,故只有4种放法.
【题组训练】
1.把4本完全相同的书分成2堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.把6本完全相同的书分成3堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.把6个相同的小球放入3个相同的盒子,共有 不同的放法.
题型二：相同元素的分配问题——隔板法
对于相同元素的分组分配问题我们采用隔板法处理． 将m个相同元素分配给n个人，，每人至少1个． 按以下思路求出不同分配方法的种数：先将m个元素排成一列，中间有个空，然后把个隔板放入个空中即可把所有元素分为n组，再依次把n组元素给到n个人即可，于是总的分法有种，这种处理问题的方法我们称为隔板法． 将m个相同元素分配给n个人，，可以有人分不到． 此时我们可以采用化归的思路处理．先借过来n个元素，给每个人分一个，于是问题就转化为将个相同元素分配给n个人，每人至少1个，分完之后每个人再扣除一个即可，于是总的分法有种． 3.不定方程的正整数解的个数问题往往转化为相同元素的分配问题，再利用隔板法求解.
【典例】（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
【分析】（1）利用隔板法求解即可.
（2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可.
（3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可.
【解析】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子，
每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种，
空2个盒子共有种，综上，共有种方法.
法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球，
则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，
即在10个相同的小球中间的9个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
【题组训练】
1.（2025·高二·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
2.（2025·高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84种 B．504种 C．729种 D．39种
3.（2025·高二·新疆和田·阶段练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
4.(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有( )
A．120 B．240 C．300 D．360
5.(2025高三·全国·专题练习)从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种.
6．（2025高三·全国·专题练习）不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组.
7．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 .
8.将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
题型三：不相同元素的分组、分配问题
不同元素分组、分配问题的求解策略
1.整体平均分组：分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数；
2.部分平均分组：若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数；
3.不平均分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等；
4.平均分配：将元素分步分给各对象，分完即可；
5.定向分配：按各对象应分配到的确定元素个数分步分，分完即可；
6.不定向分配：先分组，后分配，分配给m个对象，在分组后再乘以.
【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．
【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同.
【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）．
(2)由(1)知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）．
(3)由(1)知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法．
（5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）.
【解后反思】(1)要特别注意平均分配与平均分组的区别，如6本书分给甲、乙、丙三人各两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地，n个元素中有个元素（≤n)均分成m堆一定要除以 ．
(2)非平均不定向分配问题一般“先分堆，再分配”，如第(3)小题.
【题组训练】
1．（25-26高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·北京·阶段练习）将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．180种
3.（24-25高二下·安徽·期末）某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
4．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30 B．60 C．120 D．360
5．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法.(用数字作答)
6．（25-26高三上·河南·期中）若将本不同的文学杂志与本完全相同的《红楼梦》分给位同学，每位同学本，且每位同学至多得本《红楼梦》，则不同的分法共有 种.
7．（24-25高三·上海·课堂例题）某地8名防疫工作人员到、、、四个社区做疫苗接种宣传，每名工作人员只去1个社区，社区安排1名、社区安排2名、社区安排3名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有 种．
8．（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？
(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；
(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；
(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；
(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；
(5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2；
(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.
9．（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
（4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？
10．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
11．（24-25高二下·江苏徐州·期中）结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
12．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求：
(1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？
(2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？
(3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？
题型四：有限制条件的分组、分配问题
优先处理限制条件.如果有元素必须在同一组或不能在同一组，先将这些元素按照要求进行组合或排除.然后，对剩余元素进行常规的分组操作，注意分组过程中仍要遵循分组的基本原则，如避免重复.完成分组后，再进行分配，根据分步乘法计数原理得出满足条件的分配方案数.
【典例】（2025高三·全国·专题练习）2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
【题组训练】
1.（2025·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ）
A．540 B．504 C．408 D．390
2.（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（24-25高二下·湖北·期中）为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ）
A．48 B．36 C．18 D．12
4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（ ）
A．260种 B．220种 C．160种 D．130种
5．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ）
A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种
6．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
9．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 .
10．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答）
11．（23-24高二下·山东·期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）.
12．（24-25高二下·广东江门·期中）已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长.
(1)若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；
(2)若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
(3)从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数.
13．（24-25高二下·福建三明·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)拓展专题 轻松突破分组分配问题的四大题型
题型一：相同元素的分组问题——枚举法 2
题型二：相同元素的分配问题——隔板法 2
题型三：不相同元素的分组、分配问题 6
题型四：有限制条件的分组、分配问题 12
【知识点综述】
1.区分分组问题与分配问题
将元素分给相同的对象（如分成n组，分成n堆，分到n个相同的盒子里）的计数问题叫分组问题.
将元素分给不同的对象（如分给n个人，分到n个不同的盒子里）的计数问题叫分配问题.
2.不同元素的分组问题
不同元素的分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！．
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
3.不同元素的分配问题
不同元素的分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．区分是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的分配对象，则为定向分配问题．
4.解决分组问题与分配问题的基本思路
(1)准确分类与分步：面对分组与分配问题，首先要明确是分类还是分步处理.分类时需确保各类情况相互独立且涵盖所有可能，分步则要保证每一步的操作合理有序，且各步之间相互关联，共同构成完成任务的完整过程.
(2)组与分配：清晰区分分组和分配的概念.分组是将元素按照一定规则分成不同的组，只关注组内元素的构成；而分配是在分组的基础上，将这些组对应到不同的对象，需要考虑组与对象之间的对应关系.
(3)元素特性：仔细分析元素的特点，包括元素是否相同、是否有特殊限制条件等.对于相同元素，分组方法与不同元素有所不同；对于有特殊限制的元素，如某些元素必须在同一组或不能在同一组，需优先考虑这些特殊情况，再进行后续的分组与分配操作.
(4)运用计数原理：合理运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理.分类时，将各类情况的方法数相加；分步时，把每一步的方法数相乘，从而得到总的方法数.
题型一：相同元素的分组问题——枚举法
对于相同元素的分组问题，一般采用枚举法，将各种分法逐一列出，再计算总的方法数，注意此时元素是相同的，对象也是相同的，故各种分法中，若各对象所分得元素个数确定，此时交换元素算同种方法.
【典例】把4个相同的小球放入3个相同的盒子,共有 不同的放法.
【答案】4
【分析】由于小球相同,盒子也相同,故小球数目的不同分组就对应不同的放法.
【解析】共有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型,故只有4种放法.
【题组训练】
1.把4本完全相同的书分成2堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】共有3+1型、2+2型,故只有2种放法.
2.把6本完全相同的书分成3堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】共有1+1+4型、1+2+3型、2+2+2型，故只有3种放法.
3.把6个相同的小球放入3个相同的盒子,共有 不同的放法.
【答案】7
【解析】共有6+0+0型、5+1+0型、4+1+1型、4+2+0型、3+3+0型、3+2+1型、2+2+2型，故只有7种放法.
题型二：相同元素的分配问题——隔板法
对于相同元素的分组分配问题我们采用隔板法处理． 将m个相同元素分配给n个人，，每人至少1个． 按以下思路求出不同分配方法的种数：先将m个元素排成一列，中间有个空，然后把个隔板放入个空中即可把所有元素分为n组，再依次把n组元素给到n个人即可，于是总的分法有种，这种处理问题的方法我们称为隔板法． 将m个相同元素分配给n个人，，可以有人分不到． 此时我们可以采用化归的思路处理．先借过来n个元素，给每个人分一个，于是问题就转化为将个相同元素分配给n个人，每人至少1个，分完之后每个人再扣除一个即可，于是总的分法有种． 3.不定方程的正整数解的个数问题往往转化为相同元素的分配问题，再利用隔板法求解.
【典例】（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
【分析】（1）利用隔板法求解即可.
（2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可.
（3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可.
【解析】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子，
每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种，
空2个盒子共有种，综上，共有种方法.
法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球，
则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，
即在10个相同的小球中间的9个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
【题组训练】
1.（2025·高二·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B
【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有，
故选：B.
2.（2025·高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84种 B．504种 C．729种 D．39种
【答案】A
【解析】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，
即将个球分成了份：
个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份，
即：种.
故选：A.
3.（2025·高二·新疆和田·阶段练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
【答案】D
【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法.
故选：D.
4.(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有( )
A．120 B．240 C．300 D．360
【答案】A
【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数.
【解析】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球，
将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，
共有(种)方法．故选：A
5.(2025高三·全国·专题练习)从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种.
【答案】6
【分析】应用隔板法，将5个小球排成一排，用2块挡板插入四个空中的2个，即可得.
【解析】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种.
然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种．故答案为：6
6．（2025高三·全国·专题练习）不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组.
【答案】
【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数.
【解析】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解,
相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆，
每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外，
有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组；
第二空: 设，
，，，
不定方程的非负整数解
就是不定方程正整数解，
利用隔板法求解，不定方程的正整数解,
相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆，
每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外，
有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆，
故有组，每一堆的名额数就是的数值，
则不定方程的非负整数解的组数为组.
故答案为：，.
7．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 .
【答案】28
【分析】依据隔板法去求解即可.
【解析】已知方程，且，
则，其中均为自然数.
将其转化为， 其中为正整数.
运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组，
第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则.
2个隔板的放置方法共有种，
故方程的正整数解的个数为28.
即方程的自然数解的个数为28.
8.将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
【解析】(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有＝10(种)放法．
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·＝40(种)放法．
题型三：不相同元素的分组、分配问题
不同元素分组、分配问题的求解策略
1.整体平均分组：分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数；
2.部分平均分组：若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数；
3.不平均分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等；
4.平均分配：将元素分步分给各对象，分完即可；
5.定向分配：按各对象应分配到的确定元素个数分步分，分完即可；
6.不定向分配：先分组，后分配，分配给m个对象，在分组后再乘以.
【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．
【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同.
【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）．
(2)由(1)知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）．
(3)由(1)知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法．
（5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）.
【解后反思】(1)要特别注意平均分配与平均分组的区别，如6本书分给甲、乙、丙三人各两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地，n个元素中有个元素（≤n)均分成m堆一定要除以 ．
(2)非平均不定向分配问题一般“先分堆，再分配”，如第(3)小题.
【题组训练】
1．（25-26高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分步乘法计数原理及组合的平均分组问题即可求解.
【解析】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种.
再将余下的6人平均分成两组有种.
然后这四个组自由搭配还有种，
故最终分配方法有种
故选：B.
2．（24-25高二下·北京·阶段练习）将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．180种
【答案】A
【分析】利用分步计数原理和组合数计算.
【解析】先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有种，
再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有种，
剩下的1名志愿者参加审计项目，
所以共有种分配方案.
故选：A
3.（24-25高二下·安徽·期末）某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
【解析】先分组，再分配，
分组有2种情况：
①一个医院1人，一个医院3人，此时有种，
②两个医院各2人，此时有种，
将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，
故不同的分配方案有种，
故选：D
4．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30 B．60 C．120 D．360
【答案】B
【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【解析】首先安排C场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：B
5．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法.(用数字作答)
【答案】
【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可.
【解析】按照1：3的比例，共有种分组方案；
按照2：2的比例，共有种分组方案；
则共有种分配方案
6．（25-26高三上·河南·期中）若将本不同的文学杂志与本完全相同的《红楼梦》分给位同学，每位同学本，且每位同学至多得本《红楼梦》，则不同的分法共有 种.
【答案】
【解析】将本不同的文学杂志分为四组，每组数量分别为、、、，
其中分得一本杂志的同学同时也将分配得到一本《红楼梦》，
所以不同的分法种数为种.
7．（24-25高三·上海·课堂例题）某地8名防疫工作人员到、、、四个社区做疫苗接种宣传，每名工作人员只去1个社区，社区安排1名、社区安排2名、社区安排3名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有 种．
【答案】1680
【分析】由题意，根据不同社区选人，利用分步乘法计数原理列式计算即可.
【解析】依题意，只需依次根据不同社区选工作人员即可，
即不同的安排方法共有种.
故答案为：1680.
8．（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？
(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；
(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；
(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；
(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；
(5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2；
(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.
【解析】（1）分成三个组，各组人数分别为1，2，3，即＝60（种）.
（2）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1，2，3；即（种）.
（3）分成三个组，各组人数分别为2，2，2；即（种）.
（4）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2，2，2；即（种）.
（5）分成四个组，各组人数分别为1，1，2，2；有（种）.
（6）分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1，1，2，2．有（种）.
9．（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
（4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？
【解析】（1）法一：问题相当于先把7个相同的小球分成3堆，再分配到不同的盒子里.
把7个相同的小球分成3堆，有4种分法.
第一类，按照来分，有种方法；
第二类，按照来分，有种方法；
第三类，按照来分，有种方法：
第四类，按照来分，有种方法
综上，共有种方法.
法二：在7个相同的小球中间的6个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子，
每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种，
空2个盒子共有种，综上，共有种方法.
法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球，
则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，
即在10个相同的小球中间的9个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.
（4）由题意得盒子相同，按照球的个数可以分为，共4种，
第一类，按照来分，有种方法；
第二类，按照来分，有种方法；
第三类，按照来分，有种方法：
第四类，按照来分，有种方法
综上，共有种方法.
10．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
【解析】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种；
（2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种，
②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种，
③三科均2人，共有：种，
所以一共有：90+360+90=540种.
（3）因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况：
①有1人报化学：种，
②有2人报化学：种,
③有3人报化学：种，
④有4人报化学：种，
所以一共有：120+84+24+2=230种.
11．（24-25高二下·江苏徐州·期中）结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
【解析】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，
则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况．
12．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求：
(1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？
(2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？
(3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？
【解析】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法．
选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法．
所以志愿者中有教师的选调方法为：种．
（2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用，
再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法．
（3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况：
当高一高二各选1名学生时，种分配方法；
当高一高二各选2名学生时，种分配方法；
当高一高二各选3名学生时，种分配方法；
则共有种分配方法.
题型四：有限制条件的分组、分配问题
优先处理限制条件.如果有元素必须在同一组或不能在同一组，先将这些元素按照要求进行组合或排除.然后，对剩余元素进行常规的分组操作，注意分组过程中仍要遵循分组的基本原则，如避免重复.完成分组后，再进行分配，根据分步乘法计数原理得出满足条件的分配方案数.
【典例】（2025高三·全国·专题练习）2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】A
【分析】法一：利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案；法二：利用正难则反的思想，求得对立事件的情况数与总的情况数，可得答案.
【解析】法一：根据题意，分2类讨论．
第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组，
安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法；
第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地，
再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法．
根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法．
法二：去甲活动场地共有（种）情况，
去甲活动场地且去乙活动场地共有（种）情况，
所以去甲活动场地，不去乙活动场地的不同的安排方法共有（种）．
故选：A．
【题组训练】
1.（2025·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ）
A．540 B．504 C．408 D．390
【答案】D
【解析】总的分配方法有种.
若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种；
若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种；
若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为.
故选D.
2.（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】分以下两步：
（1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、，
所以，跳箱的分法种数为种；
（2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、，
所以，药球的分法种数为种.
由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种.
故选：B.
3．（24-25高二下·湖北·期中）为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ）
A．48 B．36 C．18 D．12
【答案】C
【分析】平均分成三组，再全排列即可求解.
【解析】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有，
再分配到3个林场，共种方法，
故选：C.
4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（ ）
A．260种 B．220种 C．160种 D．130种
【答案】D
【分析】根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果.
【解析】若甲只安排一项任务，则有种；
若甲只安排两项任务，则有种；
故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有130种．
故选：D
5．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ）
A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种
【答案】C
【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数.
【解析】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，
若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法，
甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种．
故选：C．
6．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案.
【解析】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.
若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
综上，满足题意的分配方法共有种.
故选：C.
7．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将5人分为三组，再分配到三个社区，再减掉甲乙两个人在同一社区的情况，即可求得.
【解析】根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到三个社区做志愿者，
每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按和分组，
再分配到三个社区，共有种不同的安排方法，
其中甲乙在一个社区的共有种，
则甲乙不去同一个社区的概率为.
故选：.
8．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可.
【解析】按照A场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A场地安排1人，共种安排方法，
第二类，A场地安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选：B
9．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 .
【答案】100
【分析】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算.
【解析】当村安排1人时，不同的安排方法种数为；
当村安排2人时，不同的安排方法种数为；
当村安排3人时，不同的安排方法种数为.
综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法.
故答案为：100
10．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答）
【答案】50
【分析】先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解.
【解析】第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，
第二种情况，A志愿队有甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，
第三种情况，A志愿队有甲医生外，还有2人，剩下的1人为1，1的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，
所以共有种方法.
故答案为：50
11．（23-24高二下·山东·期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）.
【答案】12
【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解.
【解析】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案；
（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.
综上：共有12种分配方案.
12．（24-25高二下·广东江门·期中）已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长.
(1)若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；
(2)若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
(3)从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数.
【分析】（1）设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，篮球与足球都擅长的3人设为组，分三种情况，进行求解，相加即可；
（2）将组的5人先全排列，再利用插空法进行求解；
（3）选出的4人中无组人员，有1人，2人，3人来自组，再细分为将其归为擅长篮球人员或擅长足球人员，求出每种情况下的方法数，相加即可.
【解析】（1）设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，
篮球与足球都擅长的3人设为组，
若选出的2人均来自组，有种方法，
若选出的2人均来自组，有种方法，
若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法，
故这2人都擅长足球的选派方法有种；
（2）将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空，
再将组的3人去插空，有种方法，
故共有种方法；
（3）若选出的4人中无组人员，
则选派方法有种，
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出1人，组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出2人，共种方法，
若选出的4人中有2人来自组，并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员，
则再从组选出1人，则再从组选出1人，
共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员，
再从组选出1人，共种方法，
若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员，
则再从再从组选出1人，共种方法，
综上，满足条件的方法共种.
13．（24-25高二下·福建三明·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.
【分析】（1）利用间接法计算可得；
（2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得；
（3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.
【解析】（1）依题得，共有种；
（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
（3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种；
再从剩下5科中排的任教科目，有种；
接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；
所以当只任教1科时，共有种；
②当任教2科时：先选任教的2科有种，
这样6科分为4组共有种，
所以当任教2科时，共有种，
综上课程安排方案有1140种.
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