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专题05 拓展：利用隐圆术破解圆的五大题型
题型一：定义圆 2
题型二：斜率圆 3
题型三：数量积圆 3
题型四：平方圆 5
题型五：阿波罗尼斯圆 5
【知识点综述】
1.“隐圆”的概念
在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.
比如，当一些点满足到定点的距离等于定长、圆周角相关定理（如同弧所对圆周角相等）、四点共圆等条件时，就可能存在隐圆.通过发现这些隐藏的圆，就能利用圆的性质（如半径相等、圆心角与圆周角的关系等）来解决几何问题，简化思考过程.
2．阿波罗尼斯圆定义及性质
定义：在平面上给定两点A,B,P点在同一平面上且满足,当且时，P点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆(时P点的轨迹是线段AB的中垂线).
证明：设.因为
由两点间距离公式得
化简得 (1)
(1)当时得，P点的轨迹是线段AB的中垂线（定义这样的直线为阿波罗直线）
(2)当时方程(1)变形为所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称“阿波罗圆”或“阿氏圆”）.
性质：
(1)当时，点在圆内，点在圆外.
当时,点在圆内,点在圆外.
(2)因，过是圆的一条切线.若已知圆及圆外一点，可以作出对应点,反之亦然.
(3)所作出的阿波罗尼斯圆的半径为，面积为.
(4)过点作圆的切线(C为切点)，则,分别为的内、外角平分线.
(5)过点作圆不与重合的弦,则平分.
题型一：定义圆
即符合圆的定义，题干中给出条件：在平面内，某动点到定点的距离等于定长，则该动点的轨迹是圆.
1．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．圆上总存在两个点到原点的距离为，则的取值范围是______________．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x y 4 上两点，点 A(1, 1)，且 AB⊥AC，则线段 BC 的长的取值范围为 ．
5.圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是________．
6.已知 A、B是圆 上的动点，, P 是圆上的动点，则的取值范围是
题型二：斜率圆
定义：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合是圆（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为动点.点M的横坐标不等于A，B的横坐标.（该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用．）
7.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（24-25高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11.设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是______.
题型三：数量积圆
定义：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的轨迹是圆.. 数学语言描述：在平面内，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，， 此时. 特别地，若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆.
12．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
14.（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15.已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
题型四：平方圆
定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时.
16．（24-25江西抚州高二上·期中联考）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
17.（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ．
题型五：阿波罗尼斯圆
定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时.
20．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知两定点，如果动点满足,则点P的轨迹所包围的面积等于 .
23．已知点P到两定点的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.
24．在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 拓展：利用隐圆术破解圆的五大题型
题型一：定义圆 2
题型二：斜率圆 5
题型三：数量积圆 8
题型四：平方圆 11
题型五：阿波罗尼斯圆 13
【知识点综述】
1.“隐圆”的概念
在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.
比如，当一些点满足到定点的距离等于定长、圆周角相关定理（如同弧所对圆周角相等）、四点共圆等条件时，就可能存在隐圆.通过发现这些隐藏的圆，就能利用圆的性质（如半径相等、圆心角与圆周角的关系等）来解决几何问题，简化思考过程.
2．阿波罗尼斯圆定义及性质
定义：在平面上给定两点A,B,P点在同一平面上且满足,当且时，P点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆(时P点的轨迹是线段AB的中垂线).
证明：设.因为
由两点间距离公式得
化简得 (1)
(1)当时得，P点的轨迹是线段AB的中垂线（定义这样的直线为阿波罗直线）
(2)当时方程(1)变形为所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称“阿波罗圆”或“阿氏圆”）.
性质：
(1)当时，点在圆内，点在圆外.
当时,点在圆内,点在圆外.
(2)因，过是圆的一条切线.若已知圆及圆外一点，可以作出对应点,反之亦然.
(3)所作出的阿波罗尼斯圆的半径为，面积为.
(4)过点作圆的切线(C为切点)，则,分别为的内、外角平分线.
(5)过点作圆不与重合的弦,则平分.
题型一：定义圆
即符合圆的定义，题干中给出条件：在平面内，某动点到定点的距离等于定长，则该动点的轨迹是圆.
1．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【解析】直线过定点，直线过定点，又直线，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径，
圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1，
则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，
于是，即，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定MN中点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的最值求解.
【解析】由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1，
因为，所以．
设P为MN的中点，所以．
所以点P的轨迹方程为．
其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
设点M，N，p到直线的距离分别为，d，
所以，，，
所以．
因为点C到直线的距离为，
所以，即，
所以．所以的取值范围为．

故选：A．
3．圆上总存在两个点到原点的距离为，则的取值范围是______________．
【答案】．
【解析】原题可转化为圆和圆相交．
因为两圆的圆心距为，所以，解得．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x y 4 上两点，点 A(1, 1)，且 AB⊥AC，则线段 BC 的长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程，知点轨迹是圆，从而易得的取值范围．
【解析】设的中点为，由AB⊥AC 可得 ,
故，
所以，化简得，
即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，如图：
所以，
所以的取值范围是，
从而的取值范围是．
5.圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是________．
【答案】或．
【解析】由可得，由可得
，所以点在以为圆心，为半径的圆上，
其方程为．又点在直线上，
故直线与圆有公共点，所以，
解得，所以或．
6.已知 A、B是圆 上的动点，, P 是圆上的动点，则的取值范围是
【答案】[7，13]
【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围．
【解析】取AB的中点C，则＝2||，C的轨迹方程是x2+y2＝，|C1C2|＝5
由题意，||最大值为5+1+＝，最小值为5﹣1﹣＝．
∴的取值范围为[7，13]，
题型二：斜率圆
定义：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合是圆（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为动点.点M的横坐标不等于A，B的横坐标.（该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用．）
7.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
8．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得.
【解析】
如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆，
因，故圆.
依题意知圆与圆必至少有一个公共点.
因，则，
由，解得：.
故选：B.
9．（2025·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得.
【解析】由以及可得直线的方程为，
联立，消去整理可得；
所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆；
因此.
故选：C.
10．（24-25高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易知以为邻边作平行四边形为矩形，由平面向量可证明，再由可得其取值范围.
【解析】以为邻边作平行四边形，
由可得四边形为矩形，如下图所示：
，
可得，
解得，即，
即点轨迹是以为圆心，半径为的圆，
易知，，
所以线段的长的取值范围是.
故选：D.
11.设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是______.
【答案】5
【解析】易得 ．设，
则 ，消去得：
所以点P在以AB为直径的圆上，，
所以，∴.
题型三：数量积圆
定义：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的轨迹是圆.. 数学语言描述：在平面内，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，， 此时. 特别地，若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆.
12．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围.
【解析】说明在以为直径的圆上，
而又在圆上，因此两圆有公共点，
则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，
所以，即，又，解得.
故选：B.
13．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.故选B.
14.（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出点，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.
【解析】设，则，，
则，即，
化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
又，所以三点共线，
显然当直线与此圆相切时，的值最大.
又,
则,
则.
故选：C.
15.已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【解析】选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：(且).
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：.
题型四：平方圆
定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时.
16．（24-25江西抚州高二上·期中联考）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得.
【解析】设，由，所以6，
整理得，即动点的轨迹方程为.
故选：C.
17.（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，求出点的轨迹时一个圆，再根据与圆相切时角最大求得结果.
【解析】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，因为，不妨设，
由，得，
化简得，即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
当与圆相切时，取得最大值，此时．
因为，，所以，且为锐角，
故的最大值为．
故选：A．
18．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，如图，
，即．
圆心到直线的距离，
或．故选：B．
19．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得.
【解析】设，则有，
化简得，即点的轨迹方程是.
题型五：阿波罗尼斯圆
定义：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 数学语言描述：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，，此时.
20．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【解析】设动点，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆 ，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.

21．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值.
【解析】由题设，令，则，
所以，则，即，
又，即在圆外，，即在圆外，
由，当且仅当共线上等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
22．已知两定点，如果动点满足,则点P的轨迹所包围的面积等于 .
【答案】
【解析】显然这是一个阿波罗圆，由上述结论可以解决.
设为坐标原点注意到,可知原点为线段的内分点.设的外分点为，即有.于是圆直径为，所求轨迹面积.
23．已知点P到两定点的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.
【解析】设P的坐标为，由题意有，即，
整理得.
因为点N到的距离为1 ，所以，直线的斜率为，
直线的方程为将代入
整理得解得
则点P坐标为或，
直线PN得方程为
24．在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程．
【分析】（1）设，结合题意可得，化简即可得解；
（2）将直线方程代入圆的方程中，借助韦达定理计算即可得.
【解析】（1）设，因为，
所以，
化简得，
故曲线的方程为；
（2）若直线垂直于轴，则，，，四点共线，不能构成三角形；

故可设直线的方程为，
代入曲线的方程可得，
，
则，，
又，,
，故，
因为，故，
则，
故，
则有，
可得，故，
则直线方程为.
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