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专题01 椭圆的六大常考题型
题型一：椭圆的定义及应用
题型二：求椭圆的方程
题型三：椭圆的焦点三角形问题
题型四：椭圆的简单几何性质
题型五：椭圆的实际应用
题型六：与椭圆有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
题型一：椭圆的定义及应用
1．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
7．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
8．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 .
题型二：椭圆的标准方程
9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．[4，5] B． C． D．
10．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ）
A． B．
C． D．
13．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为，则椭圆的方程为 ．
14．已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ．
15．写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出图形：
(1)经过点，焦点坐标分别为，；
(2)经过点，焦距为．
16．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积.
题型三：椭圆的焦点三角形问题
17．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 .
21．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ．
题型四：椭圆的简单几何性质
22．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
23．（多选）已知两椭圆和，则（ ）
A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等
C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心
24．如图，有公共左顶点和公共左焦点的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为和，半焦距分别为和，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是（ ）
A
A． B．
C． D．
25．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 .
26．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 .
27．已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 .
28．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
29．已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则 .
30．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 .
题型五：椭圆的实际应用
31．（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（ ）
A． B．
C． D．
32．年春晚小品《借伞》，融合了多种戏曲元素，展现了中华文化的博大精深与多元魅力，贯穿其中的重要道具油纸伞至今已有多年的历史．如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
33．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小关系无法确定
34．椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 .
35．一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率，则该时刻这束平行光线相对于水平平面的入射角为 .
题型六：与椭圆有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
36．(多选)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左 右顶点连线的斜率之积为，记在椭圆的两个焦点分别为，则的值可能为（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
37．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
38．阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为
C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14
40．（多选）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”．已知“斜椭圆”C的方程为，其左、右焦点分别为，，设在C上，则（ ）
A．C的长轴长为 B．C的焦距为4
C．若，则的面积为2 D．
41．(多选)用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当不为直角时，圆柱面的截口曲线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱面和平面均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．为椭圆长轴，为球的半径，有
42．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 椭圆的六大常考题型
题型一：椭圆的定义及应用
题型二：求椭圆的方程
题型三：椭圆的焦点三角形问题
题型四：椭圆的简单几何性质
题型五：椭圆的实际应用
题型六：与椭圆有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
题型一：椭圆的定义及应用
1．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】C
【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为．
故选：C．
2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】，，
又椭圆，则，
.
故选：D.
3．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为，
且，则动点的轨迹为椭圆，
易知，，，即方程为.
故选：C.
4．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，设动圆的圆心，半径，而，点在圆内，
由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且，
因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点，
长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长，
所以动圆圆心C的轨迹方程为．
故选：D
5．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
由题知，又，则，
所以点在以，为焦点，的椭圆上，由，得，所以点的轨迹方程为，
故选：B.
6．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，

由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且，
又且，则点与点重合，因此，
而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长，
椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合，所以.
故选：C
7．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】,
【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得．
将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示．
，
将代换为，转移到中，连接，因为，所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号，所以的最小值为．
因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时，取得最大值，故的最大值为．
8．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 .
【答案】
【详解】椭圆的两个焦点为，，长半轴，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以，
因为点在椭圆上，所以，所以，
又，，所以.
题型二：椭圆的标准方程
9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．[4，5] B． C． D．
【答案】D
【详解】方程变形可得，
因为表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：D
10．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，
所以，，设，则，可得，
则，解得，
所以椭圆C的方程，
故选：A.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，
所以，，设，则，可得，
则，解得，
所以椭圆C的方程，
故选：A.
13．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】
由椭圆的性质和题给条件可知，四边形为菱形，
则，，且,
所以四边形的面积为：，即．
由，，得直线的方程为，
整理可得，
原点到直线的距离为：，解得，
联立解得或（，舍去），
所以椭圆的方程为．
14．已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【详解】
如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则，
在中，因，且由，可知点B是的中点，
则得，且，
因为，平分，故，
故为等腰直角三角形，，
由题意知，则，即，
根据椭圆的定义可得，
联立，解得，
在直角中，即，
化简得，又因，两者联立解得，
故椭圆标准方程为.
15．写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出图形：
(1)经过点，焦点坐标分别为，；
(2)经过点，焦距为．
【详解】（1）依题意，椭圆焦点在轴，且半焦距，
设椭圆标准方程为，
则，而，解得，所以椭圆标准方程为.
如图所示：
（2）依题意，椭圆半焦距，
当焦点在轴上时，设标准方程为：，
所以，而，解得，则标准方程为；
如图所示：
当焦点在轴上时，设标准方程为：，
所以，而，解得，则标准方程为.
如图所示：
16．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积.
【详解】（1）由，得，解得，
设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得.
又，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意，得，
设，由在椭圆上，得，即，
所以，
即直线的斜率之积为.
题型三：椭圆的焦点三角形问题
17．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆：可得，， ，
因为上一点且在第一象限，则，
由为等腰三角形，则可得或，
当时，，此时的面积为：；当时，，不合题意，舍去.综上，可得的面积为.
故选：C．

18．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】设的内切圆半径为，
则，
所以当取到最大值时，，
又，所以，即，
因为，所以，所以，
故选：C.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，即.
设的内切圆半径为，则由的内切圆的面积为，可得其内切圆的半径.
在中，根据椭圆的定义，又，由余弦定理得
，解得，所以,即.
又，得，故，
由正弦定理知的外接圆半径为，所以的外接圆的面积为.
故选：D.
20．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 .
【答案】20
【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点，
则由椭圆的定义可得的周长为
，
当共线时，，
当不共线时，，
所以周长的最大值为20.
21．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以，在中，由余弦定理得，因，，代入解得，所以，
即，解得．
题型四：椭圆的简单几何性质
22．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由椭圆的定义得，又，
故，当且仅当时，等号成立，
则，故，，所以C的离心率为
故选：B
23．（多选）已知两椭圆和，则（ ）
A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等
C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心
【答案】BD
【详解】设椭圆，，，则；
设椭圆，，，则.
A（×）椭圆的焦点分别在轴上.
B（√）的离心率，的离心率.
C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，.
D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心.
故选：BD
24．如图，有公共左顶点和公共左焦点的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为和，半焦距分别为和，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是（ ）
A
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，
对于A：由，故A正确；
对于B：由，故B正确；
对于C：由，，
所以，
所以，故C正确；D错误；
故选：D.
25．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】由题意知，直线与坐标轴的交点坐标为.
因为椭圆，即.
所以，可知.
所以，所以.
所以该椭圆的离心率为.
26．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】由题意得，且
所以
,当时，取得最小值为，
27．已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 .
【答案】
【详解】由化简为，圆心．如图，

因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4.
设，由，得 ①，又在上 ②
联立①②消去，化简得，
即，因在上，则有，得，
故，即在上成立(*).
令，因，则函数在上单调递减.
故，由（*）可得，解得，故.
所以，即，
即椭圆的离心率的最大值为.
28．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
【答案】
【详解】如图，连接，设，则，
由椭圆的定义得，
所以，，．
又为以线段直径的圆上，则，
在中，，即，得，
则，所以直线的斜率为，

29．已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则 .
【答案】4
【详解】在椭圆中，，设，

由，，得，，则，
两式相减得，则，而，因此，四边形的面积，当且仅当时取等号，
由，，解得，所以.
30．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 .
【答案】
【详解】不妨设，，，
由可知，直线、斜率均存在且不为0，
∵，且，
∴，∴直线的倾斜角为,∴，
设为C的左焦点，连接，
根据椭圆的对称性得：,则，∵,∴，，
由椭圆的定义得：，∴C的离心率.
题型五：椭圆的实际应用
31．（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由题设，，
所以，，故AB正确，C错误，
而，故D正确.
故选：ABD.
32．年春晚小品《借伞》，融合了多种戏曲元素，展现了中华文化的博大精深与多元魅力，贯穿其中的重要道具油纸伞至今已有多年的历史．如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，则，
如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点，
由题意可得，则，
阳光照射方向与地面的夹角为，即，
则，
，
在中，，即，
即，解得，而，故.
故选：B.
33．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小关系无法确定
【答案】A
【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线，
为弦的中点，连接，，则水滴角，所以，由题知，，所以，解得，所以．
将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为，则切点为，易知椭圆在点处的切线方程为，则此直线的斜率即水滴角的正切值，即．
因为点在切线上，所以，所以，
所以，因为，所以，因为，
所以.
故选：A．
34．椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设x轴上的点，y轴上的点，点，
则由，又是的中点，
所以，所以即，
所以的轨迹方程为.
35．一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率，则该时刻这束平行光线相对于水平平面的入射角为 .
【答案】
【详解】
设平行光线与水平面得夹角为θ，椭圆短半轴b为圆半径r，长半轴，离心率
，已知，则有，
所以,平行光线相对于水平平面的入射角α为光线与平面法线所成的角，即
.
题型六：与椭圆有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
36．(多选)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左 右顶点连线的斜率之积为，记在椭圆的两个焦点分别为，则的值可能为（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
【答案】ABC
【详解】因为椭圆的面积为，
所以，即，设，则，所以，①
所以点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，②
联立①②可得，，则，
故．
故选：ABC．
37．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即．
延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH，
则OH是的中位线，于是，
而点在圆上，则的周长等于．

故选：D.
38．阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以椭圆的中心为原点，以为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设椭圆方程，，，，，
则，，，，.因为，即，又，故,又，所以.
故选：B.
39．加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为
C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14
【答案】D
【详解】已知椭圆，则，，，
结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为，
对于A，椭圆M的离心率为，正确；
对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确；
对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确；
对于D，G的长为m，宽为n，则，则，
当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误．
故选：D
40．（多选）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”．已知“斜椭圆”C的方程为，其左、右焦点分别为，，设在C上，则（ ）
A．C的长轴长为 B．C的焦距为4
C．若，则的面积为2 D．
【答案】BCD
【详解】设C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由方程可知，曲线C关于直线与对称，且关于原点对称，
故C的中心为O，顶点为C与直线，的交点，
由，可得，即，
所以曲线C的其中2个顶点为，，
又由，可得，
所以曲线C的另外2个顶点为,
则，，所以，，，
故长轴长为，A错误；焦距，B正确；
将该椭圆还原成焦点在x轴上的标准椭圆，可得方程为，
设该椭圆焦点分别为M，N．点Q在该椭圆上，则，
又由椭圆的定义，可得，
即，解得，
因为，所以的面积为，故C正确；
由，由椭圆的性质得，当点P为长轴的端点时，取得最大值，
当点P为短轴的端点时，取得最小值，故D正确．
故选：BCD．
41．(多选)用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当不为直角时，圆柱面的截口曲线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱面和平面均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．为椭圆长轴，为球的半径，有
【答案】ABC
【详解】设为截口曲线的椭圆上的一点，如图，过点作与圆柱底面垂直的线段EF，EF分别与球切于点F，E，

连接，，则有，
由椭圆定义可知，该椭圆以，为焦点，为长轴长，故B正确．
设椭圆长半轴长为，半焦距为，设为的中点，
连接与球切于点，
故，有，
则，即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确．
由题意可得，则，故C正确．
由题意知，
则，连接，则，
故，即，故D错误．
故选：ABC．
42．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
【答案】,
【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故，
连接，因为为内心，故为角平分线，
由角平分线性质，有，故.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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