资源简介

专题02 双曲线的六大常考题型
题型一：双曲线的定义及应用
题型二：求双曲线的方程
题型三：双曲线的焦点三角形问题
题型四：双曲线的简单几何性质
题型五：双曲线的实际应用
题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
题型一：双曲线的定义及应用
1．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（ ）
A．1 B．1或9 C．9 D．3
2．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线的左支上
C．双曲线的右支上 D．抛物线上
5．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左 右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
9．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 .
题型二：双曲线的标准方程
10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
12．已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是焦点在轴上的椭圆
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线
D．若，，则是两条直线
14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：双曲线的焦点三角形问题
15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（ ）
A． B．6 C． D．3
17．设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ．
19．已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
题型四：双曲线的简单几何性质
20．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
21．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为
A．3 B．1 C． D．2
22．已知等轴双曲线的左 右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
24．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5 B． C．4 D．
26．已知双曲线（,均为正整数）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线的右焦点 左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
28．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ．
29．已知是双曲线上的点，则的最小值为 ．
30．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ．
题型五：双曲线的实际应用
31．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
32．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（ ）
A．6 B． C． D．
33．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
34．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路的曲线方程；
(2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置 （即确定点的坐标）
题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
35．已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（ ）
A． B． C． D．
36．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
37．（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（ ）
A．C的渐近线方程为
B．过点作，垂足为H，则
C．点N的坐标为
D．四边形面积的最小值为
38．（多选）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．若， 则恒成立
39．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm.
40．已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”．
(1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式．
(2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
(3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 双曲线的六大常考题型
题型一：双曲线的定义及应用
题型二：求双曲线的方程
题型三：双曲线的焦点三角形问题
题型四：双曲线的简单几何性质
题型五：双曲线的实际应用
题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
题型一：双曲线的定义及应用
1．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（ ）
A．1 B．1或9 C．9 D．3
【答案】C
【详解】由题意可得，即，又，即，
由双曲线的定义可得，解得或9，
又，所以．
故选：C.
2．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【详解】如图，由题意可得，的周长为，
由双曲线的定义可得，又，
所以，
所以的周长为12．
故选：B.

3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】如图，连接，
由题意可知，
因为为坐标原点，为的中点，
所以，，
则.
故选：C
4．与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线的左支上
C．双曲线的右支上 D．抛物线上
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
如下图所示：
设所求圆的圆心为，半径为，
由圆与圆的位置关系可得，，
所以，，
所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支，
故选：B.
5．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B
6．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，
设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，
由圆O与圆C外切，得，又，，
则，
因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，
所以双曲线方程：．
故选：C
7．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左 右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，，
所以，
设，
则，
即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.
故选：D.
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，.
由题知，实轴长，
由双曲线定义知，，
则，
当P，D，三点共线时，取得最小值，
且最小值为.
9．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】
【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，.
由双曲线定义可得，即.
，
当且仅当三点共线时，取得最大值.
∵点N是圆上的动点，
∴圆心设为，半径，
，.
题型二：双曲线的标准方程
10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故，
又和，
解得，故双曲线方程为，
故选：A
11．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】由题意易知．
当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为；
当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为．
故选：D
12．已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当表示双曲线时，均不为0.
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以
当时，若则表示焦点在轴上的双曲线，
若则表示焦点在轴上的双曲线.
所以“”是“为双曲线方程”的充要条件．
故选：C.
13．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是焦点在轴上的椭圆
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线
D．若，，则是两条直线
【答案】CD
【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误；
当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误；
当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确；
当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确；
故选：CD.
14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】椭圆中，，双曲线的实半轴长，
在三角形中，
，
所以
，
所以，
即，
所以，由题焦点在轴上，
故双曲线方程为，
故选：D．
题型三：双曲线的焦点三角形问题
15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】依题意，，双曲线的半焦距，
由，得，则，而，
于是，即，解得，而点是线段中点，
所以点到直线的距离为.
故选：C

16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【详解】由余弦定理得
，
∴，
∴，∴（负值已舍去）.
故选：A．
17．设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由曲线：的方程可得 ，，
由椭圆的定义可得．
又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上，
双曲线的定义可得．，，
在中，由余弦定理可得，
，
的面积为.

故选：A
18．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ．
【答案】2
【详解】由得，所以.
不妨设点在第一象限，则，故
∵，∴，
∴，即，
∴，
．
19．已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
【详解】（1）

设点的坐标为，
则，
因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①,
由余弦定理得②,
根据①②可得，所以.
题型四：双曲线的简单几何性质
20．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以，
故渐近线方程为，
故选：B
21．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为
A．3 B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D．
22．已知等轴双曲线的左 右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点），
由，得，则，
所以.
故选：C
23．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设的内切圆分别切，于点，，
则，，，
因为，所以，
得，
所以，即，①
因为，所以，
即，②，
所以①+②，得，得，
因为，所以，所以，
所以双曲线：的渐近线方程为，
即.
故选：D.
24．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】取的中点为，因为的重心为，且在中线上，
所以，由中点弦有，
所以，所以，又因为，
所以，所以，
又由，得的外心为为的中点，
所以由中点弦有,所以，即，
由有，所以，
所以，
故选：A.
25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【详解】
由题意得，而后根据题意可知，，
在中，得，
从而，即.
故答案为：.
26．已知双曲线（,均为正整数）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，因为，所以①，
由双曲线的定义得②，
由①②得，.
因为与的面积相等，所以，又，
则，
所以，整理得，因为，
所以，又因为为正整数，所以，又且为正整数，
经验证得，，，
所以，所以的渐近线的方程为.
故选：B
27．已知双曲线的右焦点 左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】
设过点且倾斜角为的直线为，
与双曲线的渐近线联立可得:, ,
同理与双曲线的渐近线联立可得:, ,
由为等边三角形，则的中点坐标为，
由题意可得：，
即，
，
，
，
,
所以解得,
故选：A.
28．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，则，则或为锐角，如下图，
设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，
设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，
由题意知，，则，解得.
29．已知是双曲线上的点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解法1：由，得，
令，则，，，，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
解法2：设，依题意，方程组有实数解，
即关于的一元二次方程有实根，
因此，解得，
所以的最小值为.
故答案为：
30．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ．
【详解】设，直线:，
因为以为直径的圆过点，所以，即，
联立，整理得，且，
，，则，
所以；整理得，
即由到直线:的距离，又，
即，而，
因为，即，所以，
又，所以.故答案为：
题型五：双曲线的实际应用
31．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为.
则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率，
双曲线的标准方程为：，可知，所以.
所以双曲线的方程为，
观察选项，只有满足.
故选：B.
32．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【详解】由原点在曲线上，则，
设，则，
所以，则，
所以，
由，且，可得，
所以，易知是曲线与以直径的圆的交点，
联立，且在第一象限，可得，
所以.
故选：B
33．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
【答案】A
【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，
因为、比处同时晚收到信号，所以有，
从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，
如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，，
所以，双曲线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即点，
从而，所以，直线的倾斜角为，
则在处测得的方向角为北偏东，
故选：A.
34．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路的曲线方程；
(2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置 （即确定点的坐标）
【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，
则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，
且，所以，
所以方程为，
又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为，
所以道路所在的曲线方程为，
又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为
以为圆心，为半径的圆，其方程为，
故道路曲线方程为段：为，
段：.
（2）当点在线路上，设，
又由，则，
由（1）可得，则，
可得当时，有最小值，且，
当点在线路上，设，
又由，则，
由（1）可得，则，
可得当时，有最小值，且，
因为，所以有最小值为，此时，则，
则点的坐标为，此时到的距离最小.
题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
35．已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】设点、，若轴，则线段的中点在轴上，
对于A选项，若为的一个“”点，则，可得，
此时，轴或过原点，
若轴，则直线的方程为，但直线与双曲线无公共点，
若过原点，则线段的中点为原点，不合乎题意，A不满足条件；
对于B选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点，
则，
因为，这两个等式作差可得，
即，则，
直线的方程为，即，
此时，直线过原点，则、关于原点对称，与假设矛盾，B不满足条件；
对于C选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点，
则，
因为，这两个等式作差可得，
即，则，
直线的方程为，即，
联立可得，，合乎题意；
对于D选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点，
则，
因为，这两个等式作差可得，
即，则，
直线的方程为，即，
联立可得，，D满足条件.
故选：CD.
36．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】双曲线的渐近线为，
设直线交双曲线及其渐近线分别于及，如图，
由，得，
由，得，
线段绕轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，
它是一个圆环，其内径，外径，
此圆环面积为
因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为，
而底面圆半径为2，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为，
由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为2，高为的圆柱的体积为.
故选：B
37．（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（ ）
A．C的渐近线方程为
B．过点作，垂足为H，则
C．点N的坐标为
D．四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，如图，
，且满足，所以直线的方程为，
联立化简得，由于，
即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，
故B项正确；
对于C项，设，则，整理可得.
又，所以有，所以有，
解得，所以点的坐标为，故C项错误；
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为，故D项正确.
故选：ABD
38．（多选）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．若， 则恒成立
【答案】D
【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；
变形得，，
，，
所以，又，
所以，，所以，
所以，所以， B正确；

设，，，将坐标代入双曲线方程可得，
，作差后整理可得，即
所以，故C正确；
设直线，则直线，将代入双曲线方程，
可得，则，，将换成即得 ，
则与，的值有关，故D错误，
故选：D.
39．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm.
【答案】
【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，
即可得，因此离心率为；
设双曲线的方程为，将代入计算可得，
解得；
所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.
40．已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”．
(1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式．
(2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
(3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求．
【详解】（1）由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为．
得
则，将其代入，得，
化简得，
故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为；
或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为．
得
则，将其代入，得，
化简得，
故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为，
综上，反比例函数图象的表达式为或.
（2）必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以，
代入得，
化简得，
“双曲线是‘反比例曲线’”，
所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立；
充分性：由等轴双曲线定义可知，即，
代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得，
故该双曲线是“反比例曲线”．
综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
（3）由（2）可知，双曲线的方程可进一步表示为，
因为旋转变换的角度不影响最终的结果，故本题取，
且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为，即．
设经过旋转变换后，
因为是等腰三角形，所以，
根据反比例函数定义可得．
故且．
从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点，
设矩形的面积为，因为，
当时，．
由于，，故当时，
，
因为，所以，从而．
以此类推，
，
因为，
所以，可得．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑