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专题03 抛物线的六大常考题型
题型一：抛物线的定义及应用
题型二：求抛物线的方程
题型四：抛物线的简单几何性质
题型三：抛物线的焦点弦问题
题型五：抛物线的实际应用
题型六：与抛物线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
题型一：抛物线的定义及应用
1．抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．已知实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（ ）
A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成
B．当时，关于原点中心对称
C．当时，为轴对称图形
D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形
7．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ．
8．已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则 ，的最小值为 .
题型二：抛物线的标准方程
9．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）．
A． B． C． D．
10．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为（不同于原点）是直线与的一个公共点.若，则的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为 ．
14．过点的抛物线的标准方程是 ．
15．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(3)对称轴是轴，经过点．
16．已知抛物线的焦点为16．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
(1)求的离心率；
(2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程．
题型三：抛物线的简单几何性质
17．下列抛物线中，开口最小的是
A． B． C． D．
18．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
19．已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
21．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．任意，都存在点，使得
B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称
C．存在，当点运动时，使得
D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称
题型四：抛物线的焦点弦问题
23．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
24．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
25．已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
26．（多选）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ）
A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则
B．若，则直线AF的斜率
C．若，则的面积为
D．记，，的面积分别为，，，则
27．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A、B两点，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，则下列选项中正确的是（　　）
A．以DE为直径的圆经过点F
B．
C．的长度可以为6
D．
28．(多选)已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F
29．已知抛物线Γ：的焦点为F，过点F的直线l与Γ交于A，B两点．若且，则Γ的准线方程为 ．
30．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ．
①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2．
31．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证：
(1)平分；
(2)．
32．已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点．
(1)若的纵坐标为2，求；
(2)已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点．
题型五：抛物线的实际应用
33．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
34．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　）
A． B． C． D．
35．如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为 ．

36．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
题型六：与抛物线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
37．已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
38．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
39．（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于抛物线的焦点．若抛物线的焦点为，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．若点，则 B．可以为
C． D．设直线与的准线的交点为，则点在直线上
40．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗体和碗盖的厚度忽略不计） ．
41-．倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍（即给出长度为的线段）.古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系上，画出抛物线（）和抛物线（），使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为，则的值应取 ．
42．已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.
（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；
（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；
（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 抛物线的六大常考题型
题型一：抛物线的定义及应用
题型二：求抛物线的方程
题型四：抛物线的简单几何性质
题型三：抛物线的焦点弦问题
题型五：抛物线的实际应用
题型六：与抛物线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
题型一：抛物线的定义及应用
1．抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2.
故选：B
2．抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以的最小值也即是到准线的距离的最小值，
当与原点重合时，到准线的距离最小为，
也即是的最小值为.
故选：A
3．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
方法一：轨迹方程法
设点，则点．连接PF，由题意知，
即，整理得，则曲线的方程为．
方法二：几何定义法
由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离，
则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线的方程为．
故选：B．
4．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】过点作抛物线的准线于点，
由抛物线定义可得，
则，
当且仅当、、三点共线，抛物线的准线，
即时，有最小值.
故选：B.
5．已知实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图：
根据题意，的几何意义为点与点之间的距离，
分析可得点在抛物线上，点在直线上，
抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点.
所以的几何意义为.
由.
过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点.
则（当与点重合，与点重合时取等号）
故选：B
6．（多选）已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（ ）
A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成
B．当时，关于原点中心对称
C．当时，为轴对称图形
D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形
【答案】AC
【详解】对于A，设，由题意得点到点的距离
与点到y轴的距离的差为定值，得到，
当时，，则，
两边同时平方得，得到，
即，当时，方程化为，
当时，方程化为，即，
此时由抛物线和x轴的负半轴构成，故A正确，
对于B，因为，所以，
当时，两边同时平方得，
则，化简得，
令，此时曲线方程为，我们发现点在曲线上，
找关于原点中心对称的点为，
将其代入方程，则不在曲线上，
即不可能关于原点中心对称，故B错误，
对于C，由已知得曲线方程为，由已知得，
设，将其代入曲线方程，得到，
则在曲线上，故曲线关于轴对称，即为轴对称图形，故C正确，
对于D，由已知得，令，
故，解得或，
结合已知条件此时方程为，
当时，方程化为，此时，不存在这样的曲线，
当时，方程化为，此时，不存在这样的曲线，
则当时，不可能是由两部分抛物线构成的封闭图形，故D错误.
故选：AC
7．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解:将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且．
设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:，
所以的周长．
当且仅当三点共线，即时，等号成立.
8．已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则 ，的最小值为 .
【答案】 16 100
【详解】设的焦点为，点到轴的距离为，连接，
由对称性及抛物线的定义可得，
解得，故点重合，
的方程为，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，联立方程并化简得，
设，，则，，
所以，
当且仅当，时取等号，故的最小值为100.
题型二：抛物线的标准方程
9．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以.
所以双曲线的右焦点坐标为：.
对于抛物线，因为焦点为，即.
所以其准线方程为：.
故选：B
10．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，
当焦点为时，可知抛物线方程为：；
当焦点为时，可知抛物线方程为：.
故选：BD
11．已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，设抛物线，
因为抛物线与直线相交所得线段的长为12，
所以点在上，所以，
解得，所以的标准方程为．
故选：B
12．已知抛物线的焦点为（不同于原点）是直线与的一个公共点.若，则的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】联立，解得或（舍去），所以.
因为，所以，解得，
所以的方程为，准线方程为.
故选：B
13．已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为 ．
【答案】
【详解】由抛物线过点，得，抛物线的焦点，
所以直线的方程为，即.
14．过点的抛物线的标准方程是 ．
【答案】或
【详解】由于点在第二象限，所以过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为，
将点代入，可得，所以．所以抛物线的方程为.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为，
将点代入可得，所以，所以抛物线的方程为．
综上所述，抛物线的标准方程为或．
15．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(3)对称轴是轴，经过点．
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，
所以可设抛物线的标准方程为，则，可得，
所以抛物线的标准方程是．
（2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为或．
因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即，
所以抛物线的标准方程是或．
（3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，所以，解得，
所以抛物线的标准方程是．
16．已知抛物线的焦点为16．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
(1)求的离心率；
(2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程．
【详解】（1）如图，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，故可设抛物线的方程为，
不妨设在第一象限，由题意可得直线和直线均过点，且轴，轴，
将代入抛物线方程得，则，
将代入双曲线方程得，则，
因为，所以，即，
又，所以，解得或（舍去），
所以的离心率为3．
（2）由（1）得，
则的方程为的方程为，
联立，消去得，
解得或（舍去），则的横坐标，
因为，故由抛物线定义可得，解得，
所以双曲线的标准方程为，抛物线的标准方程为．
题型三：抛物线的简单几何性质
17．下列抛物线中，开口最小的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于对于抛物线的标准方程中，
开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小，
观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小，
本题选择A选项.
18．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【答案】AC
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
19．已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】方程，得或，
当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合；
当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合，
综上，方程表示的曲线可能是C.
故选：C.
20．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】如图，设，设，则，
所以，
又MP，MQ均与圆C相切，所以，
则，
所以
，
又在单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
21．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设点，其中，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
22．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．任意，都存在点，使得
B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称
C．存在，当点运动时，使得
D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称
【答案】D
【详解】抛物线和的对称轴都为，因此封闭曲线关于轴对称，
对于A，任意，在曲线上取关于轴对称的两点，而点在轴上，有，A正确；
对于B，对每个值，过点垂直于轴的直线与曲线的交点关于点对称，B正确；
对于C，联立与解得或，取，即，
抛物线，即的焦点为，准线方程为，
点在上运动时，，，
抛物线可由抛物线向上平移5个单位而得，
抛物线，即的焦点为，准线为，
则抛物线的焦点为，准线方程为，
点在上运动时，，，
因此当点运动时，，恒有，C正确；
对于D，取，即，直线与抛物线的两个交点关于点对称，
在此抛物线上关于点对称的两点就只有一对，在抛物线上不存在两点关于点对称，
另外关于点对称的两点则分别在和上，不妨令，
此点关于点对称的点必在上，而方程，
即无解，则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，D错误.
故选：D
题型四：抛物线的焦点弦问题
23．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】A
【详解】因为为抛物线的焦点，所以，
设，因为，则，故到轴的距离为3.
故选：A．
24．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线l的倾斜角为，不妨设P在Q的上方，
过两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，
结合抛物线的定义知，，
得，，
则，则
，
当且仅当，即时等号成立，
设，，则，设l：，
联立，得，则，
故，，解得，，
此时l的斜率为，
结合抛物线的对称性可知，当P在Q的下方时，l的斜率为，
所以直线l的斜率为.
故选：D.
25．已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】A
【详解】因为抛物线过点，则，则，
即抛物线的标准方程为，焦点坐标，准线方程为；
圆：，圆心为，半径为1，
故直线PQ过抛物线的焦点，显然直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为，；
联立，整理可得，
所以，，
再由焦半径公式可得，
则
，
所以
；
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为
故选：A
26．（多选）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ）
A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则
B．若，则直线AF的斜率
C．若，则的面积为
D．记，，的面积分别为，，，则
【答案】BCD
【详解】选项A：设直线，与抛物线联立，
整理得，设，，
，故选项A错误；
，
选项B：结合题意及抛物线的定义，有，
故，代入抛物线，得，
则.故选项B正确.
选项C：，
,
解得，直线，则轴，
此时.故选项C正确.
选项D：不妨设点A在第一象限，，
同理，，而，
故，
结合选项A运算的联立，，
故.
而，则.故选项D正确.

故选：BCD.
27．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A、B两点，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，则下列选项中正确的是（　　）
A．以DE为直径的圆经过点F
B．
C．的长度可以为6
D．
【答案】AD
【详解】对于A，当直线的斜率不存在时，，此时F在以DE为直径的圆上，当斜率存在时，设直线的斜率为k，以及、、、，
则直线的直线方程为，
所以，，
也即，联立可得，由韦达定理可得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以，同理得，因为不一定相等，所以不恒成立，故B错误；
对于C，由联立直线方程与抛物线方程得，由韦达定理得，，
根据弦长公式，即的长度不可能为6，故C错误；
对于D，由抛物线定义得，，，结合韦达定理得，故D正确．
故选：AD．
28．(多选)已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F
【答案】ABD
【详解】，求导可得，则直线，直线，
联立直线方程，消可得，，
即，故A正确；
由直线，令，可得，所以，
又，所以，，
，所以，即，故B正确；
由，可得，
化简得，，所以，
设直线斜率为，则，则直线的方程为：，
令，可得，故直线过点，不过点，故C错误；
在直线中，令，可得，即，
又，所以，即，同理代入直线方程，可得直线过点，即过点，故D正确.
故选：ABD.
29．已知抛物线Γ：的焦点为F，过点F的直线l与Γ交于A，B两点．若且，则Γ的准线方程为 ．
【答案】
【详解】如图，设直线的倾斜角为，，
，，．
所以，，
所以，，
即，，故．
因为，所以，
又，所以，
解得，故的准线方程为．

30．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ．
①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2．
【答案】①②③
【详解】由抛物线方程，可知焦点，
设，，由题意知：，
所以，整理得．
对于①：根据抛物线定义可知，
所以圆的半径为，
又因为线段的中点到直线的距离为，
因此圆与直线相离．故①正确；
对于②：以为直径的圆的半径为，
而线段的中点到轴的距离为，因此圆与直线相切．故②正确；
对于③：，
因此的最小值为4．故③正确；
对于④：，因此没有最小值．故④错误；
31．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证：
(1)平分；
(2)．
【详解】（1）由题可知，设直线方程为，
将直线方程代入得，
设，，有，，
设直线的斜率为，
则，
所以平分；
（2）如图所示，延长交抛物线于，作于，于，
因为直线关于轴对称，所以点关于轴对称，
又，所以，
所以，
因为轴，所以．
32．已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点．
(1)若的纵坐标为2，求；
(2)已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点．
【详解】（1）若的纵坐标为2，可知的坐标为，
又，故直线的方程为，
由得，
设，，则，
故由抛物线的定义可知，；
（2）
设的方程为，
由得，
故根据（1）中所设，的坐标有，，
又易知，故直线的斜率为，
直线的方程为，直线的方程为，
与直线的方程联立得，
同理得．
故，，代入，，
得，，
故为线段的中点．
题型五：抛物线的实际应用
33．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点
设抛物线的方程为，则，解得，
抛物线的焦点，准线方程为，，
所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为.
故选：B
34．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为（）
由已知点在抛物线上，
所以，
所以，
所以抛物线方程为，
所以焦点坐标为，
所以绳子最合适的长度是，
故选：B.
35．如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为 ．

【答案】9
【详解】根据题意可知，直线过抛物线的焦点，作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为，如下图所示：

设，易知，可得，即，
可得，
同理可得，
因此，
由因为，所以，
因此,
即的最小值为9.
36．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
【详解】（1）如图所示.
依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，，
所以该抛物线的方程为；
（2），焦点，，设，，则，
由解得，，，
所以，
则；
（3）设车辆高为h，则，故，
代入抛物线方程，得，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.
题型六：与抛物线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）
37．已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线的通径与轴垂直，
所以圆的这条直径与轴垂直，
且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，
因为圆的圆心为，半径为，
所以该圆与轴垂直的直径的上端点为，
即抛物线经过点，则，即.
故选：C
38．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】A
【详解】设；由题意：直线与之间的距离；
因为，设直线，与联立，整理得：；
由韦达定理：，，
则；
故时，.
故选：A.
39．（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于抛物线的焦点．若抛物线的焦点为，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．若点，则 B．可以为
C． D．设直线与的准线的交点为，则点在直线上
【答案】CD
【详解】根据题意设直线的方程为，由消去，得，
，所以，，
对于A，若点，则则，故，进而，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，由抛物线的定义知，，
所以，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，直线的方程为，又，则，
令，可得，即，
而直线的方程为，则点在直线上，故D正确；
故选：CD
39．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗体和碗盖的厚度忽略不计） ．
【答案】7cm
【详解】以碗体的最低点为原点，向上的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为，
将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，
代入到，得，解得．
40-．倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍（即给出长度为的线段）.古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系上，画出抛物线（）和抛物线（），使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为，则的值应取 ．
【答案】
【详解】由，得.
因为是这个方程的一个解，所以，解得，
故选：B.
41．我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C的距离，记作.
（1）求点到抛物线的距离；
（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积.
【详解】（1）设是抛物线上任意一点，则
，
因为，所以当时，.
点到抛物线的距离.
（2）设线段的端点分别为A，B，以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系，
则，，点集D由如下曲线围成：
，，，，
，，，，
∴集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴其面积为.
42．已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.
（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；
（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；
（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.
【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，
由，可知，为重心，
设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为，
由，解得：，显然，
故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和；
（2）设、、，
由，两式相减，得，所以，所以，
由题意可知，，所以，则，
由，所以，所以，线段的中点，
因此，直线的方程为，整理得.
因此，直线的方程；
（3）由（2）可知，则，①
由，，
平方可得，当且仅当时取等号，显然，
所以，即，
将①代入可得，解得，
所以点的横坐标小于.
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