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专题01 空间向量及其运算的八大常考题型
题型一：空间向量的有关概念
题型二：空间向量的线性运算
题型三：共线向量定理的应用
题型四：向量共面问题
题型五：空间向量的数量积
题型六：向量的模长、夹角问题
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
题型八：与空间向量运算有关的创新题
题型一：空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同，
所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误；
对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确；
对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误.
故选：B.
2．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的
C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上
【答案】C
【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断.
【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误；
零向量的方向是任意的，故B错误；
相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确；
由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.
故选：C
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【分析】根据向量的概念逐项判断即可.
【详解】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向，
所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题；
选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，
两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题；
选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C为真命题；
选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题；
故选：D
4．（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．相反向量就是方向相反的向量
C．零向量不能作为任意直线的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】ACD
【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D.
【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误；
对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量，
所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确.
故选：ACD
题型二：空间向量的线性运算
5．已知空间四点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：C
6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　）
A．与是一对相反向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相反向量
D．与是一对相反向量
【答案】C
【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可
【详解】
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C
7．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解.
【详解】
故选：D
8．已知正方体，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程组，即可求解.
【详解】由于，
所以，，.
故选：B
9．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ② ③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法法则判断．
【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．
；；
；．
故选：D．
10．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：
．
故选：D
题型三：共线向量定理的应用
11．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解.
【详解】因为.
因为、、三点共线，所以.
所以.
故选：D
12．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点．
【详解】对于A，，
，不共线，即三点不共线，故A错误；
对于B，，
，不共线，即三点不共线，故B错误；
对于C，，
，则共线，即三点共线，故C正确；
对于D，，
，不共线，即三点不共线，故D错误；
故选：C．
13．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0
【答案】B
【分析】根据三点共线的推理即可求得，.
【详解】，B，C三点共线，，，解得，
又由，得，
由A，B，C三点共线知，，则.
故选：B
14．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.
【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接,
因为平面，平面，设，则，
又平面，所以平面，故K为与平面的交点，
又因为与平面交于点F，所以F与K重合，
又E为的中点，G为平面的重心，
因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则，
,
所以，解得，即，故.
故选：C.
题型四：向量共面问题
15．下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
【答案】A
【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．
【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；
若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；
若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．
故选：A．
16．已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可.
【详解】对A，假设，即，
则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；
对B，因为，所以共面，故B正确；
对C，假设，即，
则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；
对D，假设，即，
则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；
故选：B.
17．已知是空间三个不共线向量，则“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.
【详解】因为实数均不为零，所以，
此时向量共面，故必要性成立；
因为是空间三个不共线向量，若向量共面，
则存在非零实数、使得，则，
取，即有，故充分性成立；
所以“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的充要条件.
故选：A
18．已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 .
【答案】/
【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求
【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面，
所以，所以.
故答案为：.
19．已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数 .
【答案】/0.25
【分析】根据四点共面的推论即可求解.
【详解】为空间中任意一点，三点不共线，且，
若四点共面，则，解得，
故答案为：
20．已知，，三点不共线，点不在平面内，，若，，，四点共面，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先利用已知条件求得，再利用均值不等式即可求得的最大值.
【详解】由及A，B，C，D四点共面得：，
即，又，，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：
题型五：空间向量的数量积
21．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案.
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，，
又因为四面体为正四面体，且棱长为，
可得.
故选：D.
22．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】依题意，有，，设，
则
．
故选:B．
23．记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.
【详解】由题意可得，球O的半径为1．
．当P为正方体顶点时等号成立，
故选：B
24．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A．0 B．-9 C．-18 D．-36
【答案】C
【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案.
【详解】如图，
是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则，
则
，
由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长，
即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为.
故选：C
25．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解；
（2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则，
可得：
.
（2）解：由，
所以
.
题型六：向量的模长、夹角问题
26．在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案，
【详解】由，
所以，由于，所以
在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形，
分别是中点，所以，
所以，所以.
故选：C
27．在平行六面体中，，，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用作为基底表示向量，再根据数量积求模即可.
【详解】在平行六面体中，，
因为，，，，
所以
，
故选：C
28．如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用空间向量基本定理表示，再结合空间向量数量积的运算性质求即可.
【详解】因为，，，所以.
又，所以.
因为，，，，，
由，
所以.
所以.
故选：B
29．直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据已知及直四棱柱的结构特征求出相关向量的数量积及模，结合向量数量积的运算律、夹角公式求异面直线夹角的余弦值.
【详解】如图，设，
直四棱柱中，
所以，
，
，
，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
30．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为 .
【答案】
【分析】由，结合空间向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】在平行六面体中，，，，，，
∵，
∴
，
∴.
故答案为：.
31．在三棱柱中，的外心为,则的长为 .
【答案】
【分析】结合三角形的外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题.
【详解】
设,由题意知,则
,得,得,
因为,
所以
.
32．如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，.
(1)求的值；
(2)求与所成的角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果；
（2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果.
【详解】（1）因为点为的中点
所以
所以
所以，所以
（2）因为
；
所以；
因为；
又。
所以；
所以直线与所成的角的余弦值为.
33．如图所示，平行六面体中，，，，．
(1)求；
(2)求的长度．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得；
（2）由两边平方后可得.
【详解】（1）在平行六面体中，．
因为，，，，，
所以，，
，
则
．
（2）因为，
所以
，
则．
34．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
(1)用，，表示，，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解；
（2）应用空间向量数量积公式计算，再应用异面直线所成角的余弦公式计算求解.
【详解】（1），
，
；
（2）因为，，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线与所成角为，
则
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
35．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　)
A．重合 B．垂直
C．平行 D．无法确定
【答案】B
【分析】用向量作空间向量的一组基底分别表示和，由数量积为0可得垂直.
【详解】由题意，用向量作空间向量的一组基底
则
设正方体的棱长为1，于是：
故，即与垂直
故选：B
36．如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【答案】(1)
(2)垂直
【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可；
（2）计算与的数量积，根据结果可得答案.
【详解】（1）正方体中，，
故.
（2）由题意， ，
，
故与垂直.
37．如图，在平行六面体中，，，，.
(1)以，，为基底向量，表示向量、；
(2)求证：；
(3)求的长.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）由空间向量的线性运算求解；
（2）利用空间向量的数量积证明；
（3）利用数量积求长度.
【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得，
；
（2）由（1），
所以，则；
（3）由（1），
所以
，
所以，即的长为
38.如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)垂直
【分析】（1）利用数量积的公式可得；
（2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值.
（3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直．
【详解】（1）正方体中，，
故.
（2）由题意知，，
，
，
故，
故 .
（3）由题意， ，
，
故与垂直.
39．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)，
(2)
(3)垂直
【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得，
.
（2）解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，
则.
（3）解：根据空间向量的运算法则，可得；
则，
所以与垂直．
题型八：与空间向量运算有关的创新题
40..《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，
，
，
堑堵为直三棱柱，且，
．
故选：B.
41．我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算可求，从而可求它们的和.
【详解】因为，故，
而
，
而不共面，故，故，
故选：C
42．沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据几何关系，结合向量数量积的几何意义，即可求解.
【详解】因为甲烷的结构为正四面体，所以，
又，同理可得，
所以．
故选：C
43．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D.
【详解】对于A，同时与垂直，
，
且构成右手系，即成立，A正确；
对于B，，则，B错误；
对于C，，
与共线，且方向相同，
与共线，且方向相同，
与共线，且方向相同，
则与共线，且方向相同，
因此，C正确；
对于D,，，
因此，D正确．
故选：B
44．在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据向量组线性相关，无关的定义列出等式，解方程组即可判断.
【详解】因为为一组不共面的空间向量，则不能用，线性表示，
即只有当时，.
对于A：设，
整理得：，
所以有，取，
所以，，线性相关，故A错误；
对于B：设，
整理得：，
所以有，取，
所以，，线性相关，故B错误；
对于C：设，
整理得：，
所以有，取，
所以，，线性相关，故C错误；
对于D：设，
整理得：，
所以有，解得，
所以，，线性无关，故D正确.
故选：D
45．如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.
【答案】或2
【详解】依题意，，而，，
由AB，CD所在直线所成角为60°，得或，
所以
，
当时，；当时，.
故答案为：或2
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 空间向量及其运算的八大常考题型
题型一：空间向量的有关概念
题型二：空间向量的线性运算
题型三：共线向量定理的应用
题型四：向量共面问题
题型五：空间向量的数量积
题型六：向量的模长、夹角问题
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
题型八：与空间向量运算有关的创新题
题型一：空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
2．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的
C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
4．（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．相反向量就是方向相反的向量
C．零向量不能作为任意直线的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
题型二：空间向量的线性运算
5．已知空间四点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　）
A．与是一对相反向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相反向量
D．与是一对相反向量
7．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正方体，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ② ③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：共线向量定理的应用
11．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
13．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0
14．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：向量共面问题
15．下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
16．已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ）
A． B． C． D．
17．已知是空间三个不共线向量，则“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 .
19．已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数 .
20．已知，，三点不共线，点不在平面内，，若，，，四点共面，则的最大值为 .
题型五：空间向量的数量积
21．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（ ）
A． B． C． D．
23．记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ）
24．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A．0 B．-9 C．-18 D．-36
25．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
题型六：向量的模长、夹角问题
26．在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
27．在平行六面体中，，，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
28．如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
29．直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为 .
31．在三棱柱中，的外心为,则的长为 .
32．如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，.
(1)求的值；
(2)求与所成的角的余弦值.
33．如图所示，平行六面体中，，，，．
(1)求；
(2)求的长度．
34．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
(1)用，，表示，，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
35．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　)
A．重合 B．垂直
C．平行 D．无法确定
36．如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
37．如图，在平行六面体中，，，，.
(1)以，，为基底向量，表示向量、；
(2)求证：；
(3)求的长.
38.如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
(3)判断与是否垂直．
39．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
题型八：与空间向量运算有关的创新题
40..《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
41．我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
42．沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（ ）
A． B． C． D．
43．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
44．在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
45．如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.
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