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专题02 空间向量基本定理及其坐标表示八大题型
题型一：基底的判断
题型二：用空间基底表示向量
题型三：空间向量基本定理的应用
题型四：空间向量线性运算的坐标表示
题型五： 空间向量数量积的坐标表示
题型六：空间向量垂直或平行的坐标表示
题型七：模长或夹角公式的应用
题型八：创新题型
题型一：基底的判断
1．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量
C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】根据相等向量，共面向量，基底概念，逐个判断即可.
【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误.
方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误．
平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确.
空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误.
故选：C.
2．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】由向量不能构成基底，可得向量共面，根据平面向量基本定理，待定系数求解即可.
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以存在实数、使得，
即，
即，
因为是空间的一个基底，
则，解得．
故选：．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）.
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可．
【详解】对于A，因为，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，因为，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误；
对于C，假设，，共面，则存在实数，使得，
由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为，
但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D，因为，
所以共面，不能构成空间的一个基底．
故选：C．
4．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断.
【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面，
对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是；
对于C，，与、共面，C不是；
对于D，，与、共面，D不是；
对于B，由，得，不共面，
假设与、共面，则存在，使得，
而，则，
整理得，从而，此方程组无解，
假设不成立，因此与、不共面，可以是.
故选：B
5．若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意.
【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A；
对于选项B，，故共面，排除B；
对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D．
对于C，，向量，而不与共面，故C正确.
故选：C.
6．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则 .
【答案】1
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若不能构成空间的一个基底，
则共面，存在，使得，
即，解得.
故答案为：1.
题型二：用空间基底表示向量
7．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果.
【详解】因为，
所以
.
故选：B
8．已知向量以为基底时的坐标为，则向量以为基底时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据向量在新基底下的坐标表示形式，结合原基底下的坐标，列出方程组，求解方程组即可得到新坐标.
【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以，
设，
由空间向量基本定理可得，解得．
因此，向量以为基底时的坐标为．
故选：D
9．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解.
【详解】
在四棱锥P-ABCD中，有，
再由点E为棱PC的中点，，所以，
，
由底面ABCD是平行四边形，得，
所以，
又因为，所以，即，
故选：A.
10．在正四棱锥中，为的中点，设，，，（1）若，则 ；（2）若，则 ．
【答案】 / /
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）因为
所以，，，所以．
（2）因为，
所以，，，所以．
另解：
由四点共面知，，且，由及等和面定理知，．
故答案为：；
11．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明∥即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，
，
所以，
所以与共线，
因为这两个向量有公共点，
题型三：空间向量基本定理的应用
12．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论.
【详解】由题意可知，
因为，，，四点共面，
所以存在实数，使，
所以，
所以
，
所以
，所以．
故选：B.
13．在三棱柱中，，，，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．四边形是矩形 B．若是的中点，则平面
C．点到平面的距离为1 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】由题可得， 以，，为基底，根据，，可得，即可判断选项A；由可得，再由将平面沿着展开，使平面与共面，则在四边形中，的最小值为，根据余弦定理求，即可判断选项D；若是的中点，根据线面平行判定定理即可判断选项B，由平面，所以点到平面的距离为，即可判断选项C.
【详解】如图，
在三棱柱中，为平行四边形，因为为线段的中点，
所以为线段的中点，若是的中点，则在中，
因为平面，平面，所以平面，所以B正确；
因为，，，所以，，
所以，，因为平面，平面，，
所以平面，所以点到平面的距离为，所以C正确；
由上可知，，又，，，
，
所以与不垂直，所以A错误；
，
所以
，
所以，设，，
则在中，由余弦定理知，所以，
在中，由余弦定理知，所以，
将平面沿着展开，使平面与共面，如图：
在四边形中，则，，
的最小值为，在中，余弦定理得，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：BCD
14．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，.
(1)求证：A，，，四点共面；
(2)若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明：
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
，，，四点共面.
（2）
，
，，，
.
15．如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且.
(1)若，求的值；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若，求此三棱锥的高.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）设得，同理得，联立求参数，即得，有，即可得；
（2）连接，，，证明M为中点，根据已知及等体积法，应用棱锥的体积公式求体积；
（3）由，设，，，边上的高为，得到，应用基本不等式得，设三棱锥的高为H，则，故，并确定取最大值对应的三棱锥的高.
【详解】（1）设，
∵F，D，C三点共线，故①，
同理，
∵A，F，E三点共线，故②，
由①②可得，，故，
故F为中点，故，即.
（2）连接，，平面，∴平面
又平面，且平面平面，∴
连接，
在和中，，且，
故，故，故，
又F为中点，故M为中点，
；
（3），当时，取到等号，
在中，设，，，边上的高为，
则，
则，则，
故，
又，故，当且仅当时取到最大值.
设三棱锥的高为H，则，则，
当，且时取等号，故三棱锥的高为.
题型四：空间向量线性运算的坐标表示
16．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量四则运算的坐标表示计算求解即可.
【详解】因为，
所以，，
故选：D
17．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案.
【详解】设向量在基底下的坐标为，
则，
整理得：，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为，
故选：B
18．在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，再根据即可求解.
【详解】由题得，
故.
又，
则，
故点坐标为．
故选:A.
19．在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，可得、的坐标，根据条件，列出等式，即可得答案.
【详解】设，则，，
因为，
所以，解得，则.
故选：A
20．若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出，根据得到方程组，求出答案.
【详解】由四边形是平行四边形知，
设，则，又，
所以，解得，即D点坐标为.
故选：C
21．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到，设在基底下的坐标为，化简，列出方程组，即可求解.
【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为．
故选：B.
题型五：空间向量数量积的坐标表示
22．若，则（　　）
A．7 B．11 C．22 D．29
【答案】A
【分析】计算的坐标，再利用数量积的坐标运算求出.
【详解】由，得，
所以.
故选：A．
23．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，即可求解.
【详解】设，为坐标原点，则点的坐标为，
根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点在坐标平面上的投影坐标的竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.
所以向量在坐标平面上的投影向量是，
所以空间向量在坐标平面上的投影向量是.
故选：C.
24．已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过点在直线OP上运动可得点，然后利用空间向量数量积的坐标运算得，利用二次函数性质求得最小值及点的坐标即可.
【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有，
因此，，
于是得，
则当时，有最小值，此时，点．
故选：C
25.（多选）已知正方体，则（ ）
A．
B．
C．
D．当为平面的法向量时
【答案】BD
【分析】根据即可判断A错误；根据即可判断B正确；根据即可判断C错误；设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法即可判断D正确.
【详解】对选项A，因为，方向相反，所以，故A错误；
对选项B，因为平面，平面，所以，
所以，故B正确；
对选项C，易知为等边三角形，所以，
则，故C错误；
对选项D，设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系，
如图所示：

则，
，
设，则，
令，则，即.
则，故D正确.
故选：BD
26．(多选)已知向量，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．在上的投影向量为
D．向量共面
【答案】ABD
【分析】根据模长公式分析判断A；根据投影向量的坐标运算判断BC；对于D：分析可得，即可得向量共面.
【详解】对于选项ABC：因为，
则，，故A正确；
在上的投影向量为，故B正确，C错误；
对于选项D：设，
则，解得，
即，所以向量共面，故D正确；
故选：ABD.
27．设是空间中平面内一个边长为2的等边三角形，P是空间中一点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】如图建立空间直角坐标系，然后由数量积坐标表示结合代数知识可得答案.
【详解】如图，以中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，设，
则，
从而，
当时取等号.
故答案为：.
题型六：空间向量平行或垂直的坐标表示
28．若，在直线上，则直线的方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线与向量共线，求出判断即可
【详解】在直线上，，
，
向量是直线的方向向量．
故选：A
29．设空间向量，则（ ）
A．6 B．9 C．-6 D．-9
【答案】B
【分析】根据向量平行，列等式求解即可.
【详解】因为，所以，解得
故选：B.
30．已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】A
【分析】根据向量垂直的坐标表示求的值.
【详解】由题，，又，
，解得.
故选：A.
31．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个向量垂直的坐标表示，数量积公式即可求值．
【详解】解：因为向量，，又，
则，
整理得到，
解得．
故选：D．
32．已知空间向量，则（ ）
A． B．
C． D．不能构成空间的一组基底
【答案】C
【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A错误；根据空间向量平行垂直的判定方法判断B、C；设存在实数使得，可得不共面，判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以不平行，B错误；
对于C，，所以，故C项正确；
对于D，设存在实数使得，即，无解
所以不共面，能作为空间的一组基底，故D错误.
故选：C
33．已知空间中三点，，，设，.
(1)求的值；
(2)已知向量与互相垂直，求k的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由向量夹角公式即可求解；
（2）由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以
（2），
因为向量与互相垂直，
所以，
解得．
所以的值是5．
题型七：模长或夹角公式的应用
34．已知空间向量，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
35．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解.
【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线，
由，得，解得，
若共线，得，解得，因此当不共线时，，
所以实数的取值范围为.
故选：C
36．已知空间向量，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过空间向量垂直的坐标运算求得，然后计算出，最后利用求解最小值即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故的最小值为.
故选：A
37．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，，，
故，
，
则
，
因为，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
38．空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，
，，
所以，
因为，所以，
所以，以，为邻边的平行四边形的面积为.
故选：D
39．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】我们先根据已知条件求出的值，再利用向量夹角公式求出.
【详解】已知向量是单位向量，则，即，
因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得：
，即，
联立方程，将代入可得：
，解得，
当时，；当时，，
因为向量是单位向量，则，即，
又因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得：
，即，
联立方程，将代入可得：
，解得，
当时，；当时，，
根据向量夹角公式，，
当时，；当时，，
所以.
故选：B.
40．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故选：B.
41.(多选)已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角满足 D．
【答案】ABC
【分析】对A，由向量数量积坐标运算求解判断；对B，由向量的模长公式求解判断；对C，由向量的夹角公式求解；对D，由空间向量垂直的坐标关系求解判断.
【详解】对于A，由向量的数量积坐标运算得，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，由题意，，所以，故C正确；
对于D，由，所以与不垂直，故D错误.
故选：ABC.
42．在空间直角坐标系中，点，，，设，．
(1)求与方向相同的单位向量的坐标；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由单位向量计算公式即可求解；
（2）由向量夹角公式即可求解；
（3）由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）由题意得，
所以与方向相同的单位向量的坐标为．
（2）由题意得，
．
（3）由题意得，
则，
得．
题型八：创新题型
43．在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求点在坐标平面上的正投影，进而可求，，即可比较大小.
【详解】由题意可知：点在坐标平面上的正投影分别为，
因为，则，可知三点共线，
可得，，，
所以.
故选：B.
44．一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示．一般而言，越大，分子极性越大．现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为和．分子B的三个化学键极性向量可分别表示为，和．分子C的两个化学键极性向量可分别表示为和．则下列说法错误的是（ ）
A．分子A的偶极矩模长最小 B．分子C的极性最大
C．A，C分子的偶极矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶极矩大小之差大于1.6
【答案】C
【分析】应用空间向量的坐标表示及模长的坐标计算求出各分子偶极矩模长，结合题设描述依次判断各项的正误.
【详解】分子A的偶极矩，分子B的偶极矩，分子C的偶极矩，
则，，，所以分子A的偶极矩模长最小，A正确；
因为分子C的偶极矩模长最大，所以分子C的极性最大，B正确；
因为，，，
所以，，C错误，D正确.
故选：C
45．对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，是非零向量，且为零向量，则一定有
C．若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是
D．若，是非零向量，且，则，的夹角为
【答案】ABC
【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可.
【详解】对于A，由定义可得：，正确，
对于B，由为零向量，可得，
因为，是非零向量，所以存在非零常数，使得，
即
，B正确，
对于C，由，
则，
，
由于，是平面内的两个不共线的向量，所以平面的法向量可以是，正确；
对于D，取 ，
则，则， ，
满足，
而此时，夹角为，D错误，
故选：ABC
46．《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则 ，异面直线所成角的余弦值是 .
【答案】
【分析】过分别作，的高，垂足分别为，，证明，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】过分别作，的高，垂足分别为，，如图所示：
平面平面，，由得：，
又平面平面，面，故平面，
又面，故可得，
∵，，又，故，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则由题意可知，，，，，
∴，，，
∴，
，
即异面直线所成角的余弦值是．
47．将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数λ使得，则称λ为f的一个特征值．
(1)若，求；
(2)如果，计算f的特征值，并求相应的；
(3)若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由新定义得，结合，根据不等式的性质即可求解；
（2）由特征值定义列出方程组，继而即可求解；
（3）根据特征值的定义列出方程组，可得，根据有唯一的实数根，利用判别式即可求解，
【详解】（1）,
所以，
又因为，
所以，
当时，取到最大值，此时.
（2），
所以，即，
两式相除得，解得，
当时，，
此时，方程有无数多个解，所以，
当时，同理得.
（3）,
所以，故
可得，又因为都不为0，
所以向量与平行，
所以存在实数满足，
所以，
因为要使f有唯一的特征值，
所以，
所以应满足的条件为.
48．广州塔昵称“小蛮腰”，是中国的地标性景点，其表面所在曲面可以近似看成旋转双曲面，我们可以建立恰当的空间直角坐标系来刻画并研究它的形状．如图在空间直角坐标系中，某旋转双曲面上任意一点都满足方程．记所有满足这一方程的点构成的点集为，已知点．

(1)证明：；
(2)若过A的直线的一个方向向量为，且，求和；
(3)若，，，，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析；
【分析】（1）将点代入计算即可证明；
（2）由题意可得直线上任意一点为，由，代入计算即可求解；
（3）根据向量坐标运算得，，
由向量夹角坐标运算及二倍角公式即可得证.
【详解】（1）由题意可得，
因为，所以；
（2）设直线上任意一点为，（点异于点）
由题意可得，，
所以，即，即，
因为，所以，
则，整理得，
要使不等式恒成立，则，解得；
（3）因为，所以，
，，
因为，所以，
所以，又因为，则，
，
，
所以，,
，
，
，
，
所以，
，
因为，
所以，即.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 空间向量基本定理及其坐标表示八大题型
题型一：基底的判断
题型二：用空间基底表示向量
题型三：空间向量基本定理的应用
题型四：空间向量线性运算的坐标表示
题型五： 空间向量数量积的坐标表示
题型六：空间向量垂直或平行的坐标表示
题型七：模长或夹角公式的应用
题型八：创新题型
题型一：基底的判断
1．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量
C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底
2．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）.
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ）

A． B． C． D．
5．若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则 .
题型二：用空间基底表示向量
7．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（ ）
A．B． C． D．
8．已知向量以为基底时的坐标为，则向量以为基底时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
10．在正四棱锥中，为的中点，设，，，（1）若，则 ；（2）若，则 ．
11．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
题型三：空间向量基本定理的应用
12．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．在三棱柱中，，，，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．四边形是矩形 B．若是的中点，则平面
C．点到平面的距离为1 D．的最小值为
14．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，.
(1)求证：A，，，四点共面；
(2)若，求的值.
15．如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且.
(1)若，求的值；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若，求此三棱锥的高.
题型四：空间向量线性运算的坐标表示
16．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
21．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型五：空间向量数量积的坐标表示
22．若，则（　　）
A．7 B．11 C．22 D．29
23．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
24．已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25.（多选）已知正方体，则（ ）
A．
B．
C．
D．当为平面的法向量时
26．(多选)已知向量，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．在上的投影向量为
D．向量共面
27．设是空间中平面内一个边长为2的等边三角形，P是空间中一点，则的最小值为 .
题型六：空间向量平行或垂直的坐标表示
28．若，在直线上，则直线的方向向量是（ ）
A． B． C． D．
29．设空间向量，则（ ）
A．6 B．9 C．-6 D．-9
30．已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
31．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知空间向量，则（ ）
A． B．
C． D．不能构成空间的一组基底
33．已知空间中三点，，，设，.
(1)求的值；
(2)已知向量与互相垂直，求k的值.
题型七：模长或夹角公式的应用
34．已知空间向量，则（　　）
A． B．
C． D．
35．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
36．已知空间向量，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
37．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．7 D．
39．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ）
A． B．
C． D．
40．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
41.(多选)已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角满足 D．
42．在空间直角坐标系中，点，，，设，．
(1)求与方向相同的单位向量的坐标；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)若，求的值．
题型八：创新题型
43．在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A． B． C． D．
44．一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示．一般而言，越大，分子极性越大．现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为和．分子B的三个化学键极性向量可分别表示为，和．分子C的两个化学键极性向量可分别表示为和．则下列说法错误的是（ ）
A．分子A的偶极矩模长最小 B．分子C的极性最大
C．A，C分子的偶极矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶极矩大小之差大于1.6
45．对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，是非零向量，且为零向量，则一定有
C．若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是
D．若，是非零向量，且，则，的夹角为
46．《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则 ，异面直线所成角的余弦值是 .
47．将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数λ使得，则称λ为f的一个特征值．
(1)若，求；
(2)如果，计算f的特征值，并求相应的；
(3)若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？
48．广州塔昵称“小蛮腰”，是中国的地标性景点，其表面所在曲面可以近似看成旋转双曲面，我们可以建立恰当的空间直角坐标系来刻画并研究它的形状．如图在空间直角坐标系中，某旋转双曲面上任意一点都满足方程．记所有满足这一方程的点构成的点集为，已知点．

(1)证明：；
(2)若过A的直线的一个方向向量为，且，求和；
(3)若，，，，证明：．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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