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专题03 空间向量的应用八大常考题型
题型一：利用向量研究平行问题
题型二：利用向量研究垂直问题
题型三：线线角
题型四：线面角
题型五：面面角
题型六：点到直线的距离
题型七：点到平面的距离
题型八：其他距离问题
题型一：利用向量研究平行问题
1．如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点.
(1)求证：；
(2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解.
【详解】（1）在直角梯形中，，即，
由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得，
则是平面与平面所成二面角的平面角，
而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角，
因此，所以.
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
假设在线段上存在点P，使得直线平面，设，
则，，设平面的法向量，
于是，取，得，而，
由直线平面，得，则，解得，
所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点.
2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且.
(1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积；
(2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论.
【答案】(1)
(2)存在，证明见解析.
【分析】(1)利用曲率可求出相应的角，从而可计算各表面面积；
(2)利用中位线来证明线线平行，再证明线面平行和面面平行，最后问题得证.
【详解】（1）
由，利用余弦定理可得：，
由可得：，利用内角和定理可得，
此时，
又因为，所以，
即，
根据四棱锥在点的曲率为，
可得，利用内角和定理可得，
此时，
再由点的曲率为，
可得，
因为，所以，又因为所以三角形是等边三角形，
此时，由于，
所以，利用，
可知，
所以四棱锥的表面积为；
（2）
取分别为的中点，，连接，
利用中位线可知，
又由，可得，即，
又可证得，即，又因为为中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，同理由，可证明平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
此时为的中点.
3．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，.
(1)求证：平面平面PQR ；
(2)若=1，求直线间的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量即可证明；
（2）由空间向量可得//，再利用向量法求点到线的距离即可.
【详解】（1）以为空间直角坐标系基底建系，设， ，
所以
设平面的法向量为 ，
得，即，
则取，
同理可得平面的法向量为，
则， 即//，
所以平面平面
（2）当时， ，,
则// ，
故直线，间的距离即为到直线的距离，
=.
题型二：利用向量研究垂直问题
4．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面.
(1)若，证明：；
(2)若，，求长度的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；
(2).
【分析】（1）通过证明垂直平面与平面的交线，利用平面与平面垂直的性质定理来证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证得两直线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，将垂直关系、线段长度都转化成坐标运算，设，通过解得或，分别代入计算可得结果.
【详解】（1）设平面平面，
平面平面，平面，
又平面，平面平面，，
，，
又平面平面，平面平面平面，
平面.
又平面，
即.
（2）在中由余弦定理可得，则有,
即.
又
以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则，
设，则,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
同理可求平面的一个法向量为，
由于平面平面，则，故则.
又，，
，解得或.
若，则;
若，则.
综上所述，长度的取值范围.
5．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可.
【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面，
，
，为的中点，
，
， 平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，
设，则，，，
若，则，解得，
所以存在，使得直线，此时.
6．如图，在平行六面体中，，.
(1)求的长；
(2)求证：直线平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案；
（2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明.
【详解】（1），
可得
所以；
（2），，，
所以
，
所以，所以，
，
所以，所以，又，平面，
所以平面.
题型三：线线角
7．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求.
【详解】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，设，
则，，，，
∴，，
∴直线和直线所成角的余弦值为.
故选：C
8．如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令且，，应用向量数量积的运算律及已知求及其模长，再求出它们的夹角余弦值，即可得.
【详解】由题意，令，且，，
所以
，
由四边形，均为矩形，则，且，
所以，则二面角的平面角，
所以，，
所以，即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
9．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可.
【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面，
因为平面，所以，
因为在正四面体中，是等边三角形，
则，是的中心，
则，
由题意得，则，
所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：
设与轴正半轴所成的角为，则，，
所以，
设直线与直线所成的角为，
所以，
因为，所以.
故选：A.
10．在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，，平面平面，且，.

(1)证明：平面；
(2)当时，求异面直线，所成角的余弦值；
(3)是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算求解即可；
（3）根据面面垂直向量法计算求解即可.
【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知分别为的中点，，
所以，
因为，所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设长度为1个单位长度，
则，，，，
当时，为的中点，则，
因为，，
设异面直线，所成角的，
则；
（3），，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的法向量可以为，
因为，，，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以平面的法向量可以为，
若平面平面，
则，解得，
所以当时，平面平面.
题型四：线面角
11．如图，在三棱锥中，平面平面，，，E，M分别为棱，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用中位线的性质及线面平行的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式及正余弦函数的平方关系得解.
【详解】（1）因为E，M分别为棱，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）取中点为，连接，
由可知，，
因为平面平面，是交线，平面，
所以平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则,
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，
因为平面平面，是交线，，平面,
所以平面，故平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.

(1)求证：；
(2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或.
【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OB，结合等边三角形的性质利用线面垂直的判定定理得平面PBO，进而利用线面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，，则，求出平面DEQ的法向量，利用线面角的向量公式列方程求出，即可得解.
【详解】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB.
∵，∴，
在菱形ABCD中，，可得为等边三角形，
∴，又∵PO，平面PBO，且，
∴平面PBO，∵平面PBO，∴.

（2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面，
且平面PAD，∴平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
假设存在点Q满足题意，设，，
则，
∴，，，，
设平面DEQ的法向量为，
则
令，则，，∴.
设DC与平面DEQ所成角为，则，解得或.
∴存在点Q，使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为，此时或.
13．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取取中点，连接，只需证明平面平面，再结合面面平行的性质定理即可得证；
（3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的法向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为在矩形中，，是的中点，
所以，即，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）如图所示，取中点，连接，
因为在矩形中，，是的中点，
所以，即四边形为平行四边形，
从而，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（3）取中点，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，所以，
所以两两互相垂直，
以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，
设，
因为四边形为平行四边形，所以，
即，所以，
故，
又因为，
解得，
又因为是中点，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
所以平面的法向量为，
故所求为.
题型五：面面角
14．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为棱CD，PD的中点.
(1)求证：平面AEF；
(2)求平面PBD与平面CPB的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明；
（2）以点为坐标原点，所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD与平面CPB的法向量，再结合向量夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）
如图，连接，设，连接，
因，，可得四边形是平行四边形，
则，又，则得，
因平面，平面，故平面.
（2）因为平面，平面，
所以，
因为，所以两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，
所以，
设平面与平面的法向量分别为，
所以有，，
令，解得，
故可取，
设所求为，则，所以.
15．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面
（2）方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：根据已知条件，利用空间中线线、线面的平行垂直关系，求得四棱锥的高，从而求得四棱锥体积.
【详解】（1）
连结，在中，，，，
由余弦定理，即，
此时，，
又平面平面，平面平面，
平面，平面．
（2）解法1：如图建系，
以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴，
设，则，
，由得，即，
由，得，，
设是平面的法向量，
，
取，得，
平面的法向量为，二面角的大小为，
则，解得，
，
．
解法2：过点作，交的延长线于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
，，，
平面，平面，又，
平面，平面，，
如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系，
设，
则，，
，，得，，
由，得，
设是平面的法向量，
，
取，得，
平面的法向量为，二面角的大小为，
则，解得，
，
．
解法3：过点作，交的延长线于，连接，
，，，
平面，平面，又，
平面，平面，，
由平面平面，平面平面，平面，
平面，
因为，所以为线段上靠近点的三等分点，
设线段上靠近点的三等分点为，连，，
则，平面，平面，所以，
在中，，，，
四边形是矩形，，
在中，，，，
因为，即，
解得：，所以，所以，
平面，平面，，
平面，平面，，
是二面角的平面角的补角，即，
为等腰直角三角形 ，，从而，
，
．
16．如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.

(1)求证：平面；
(2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点位于线段靠近的三等分点处
【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明；
（2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可.
【详解】（1）因为，的中点为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质可得平面；
（2）取的中点为，连接，则，
由图1直角梯形可知，为正方形，
，，，，.
由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
设，
，
设平面的法向量为，
取，则.即平面的法向量为，
由平面，取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
，
解得或（舍）.
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处.
题型六：点到直线的距离
17．在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点．
(1)求平面和平面夹角的余弦值；
(2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值.
（2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可.
【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
设平面和平面的法向量分别为.
则有，，
所以有，两式相减，令，则.
，令，则.
所以.
所以平面和平面的夹角的余弦值为
.
（2）设，，因为，，，
所以，所以.
因为，,所以.
所以，所以，
所以点到直线的距离为，
其中，所以当时，点到直线的距离最短，
此时，又，所以.
18．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，，.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求中点到直线的距离．
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【分析】（1）取的中点，连接，根据几何体特征，则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得，，结合向量的垂直关系即可证明；
（2）根据（1）所建立的空间直角坐标系，先求的和平面的法向量，结合线面角的向量求法，即可求解；
（3）根据（1）所建立的空间直角坐标系，结合点到直线距离的向量求法，即可求解.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为底面是边长为的正方形，为的中点，
所以，
又平面，平面，平面，
所以，，
又，，，所以，
则以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.

则，，，所以，，
，可得，即得.
（2）由（1）建系，得，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
故可取，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）建系，得，，，，
点为中点，则，
所以，，
设点到直线的距离为，则，
即点到直线的距离为.
19．如图，在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值：
(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果；
（3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值.
【详解】（1）由直四棱柱知，底面，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面，因为平面，所以．
因为，，．
所以，，
所以，所以，
因为，所以，所以，
又，平面，所以平面．
（2）因为底面，平面，
所以，因为，所以两两垂直，
所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由（1）知，为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
因为，
则，令，则，
平面的一个法向量为．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）设，
则，
设到直线的距离为，
则
，
所以当时，，即到直线距离的最小值为．
题型七：点到平面的距离
20．如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）,（ii）存在，
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解；
（ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值．
【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
（i）故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，，
平面的一个法向量为,
则，令，则，，故，
,，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；
（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则,0,，0,，
由（2）知平面的一个法向量为,,，
，
点到平面的距离是，
，．
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理证明结论；
（2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距，结合已知可得．
【详解】（1）取中点，如图，连接，
∵是中点,∴且，
又，，∴且，
∴是平行四边形,∴，
∵平面，平面，∴平面；

（2）∵，，，
∴，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，
因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，则，取得，
假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，
∴点到平面的距离为，（舍去），
所以．

22．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到面的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用空间向量法，由证明即可；
（2）求得平面的一个法向量为，易得，设直线与平面所成角，由求解；
（3）易知，由求解．
【详解】（1）在三棱柱中，平面，，
建立如图所示空间直角坐标系：
因为，，且，为棱的中点，
所以，
所以，
则，
所以，即；
（2）由（1）知：，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
又，
设直线与平面所成角，
则；
（3）易知，
所以点到平面的距离为：．
题型八：其他距离问题
23．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．
【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.
24．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，M为的中点，N为的中点，解答以下问题：

(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合，即可证得直线平面；
（2）由（1）知：平面，得到直线与平面的距离即为点N到平面的距离，结合向量的距离公式，即可求解；
（3）设直线与平面所成角为，利用向量的夹角公式，求得的值，进而得到直线与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
则，，，，，，，
可得，，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
因为，且平面，所以直线平面.
（2）解：由（1）知：平面，且平面的法向量为，
所以直线与平面的距离即为点N到平面的距离，
设点到平面的距离为，
又由，可得，
所以直线与平面的距离为.
（3）解：设直线与平面所成角为，且，
因为，则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
25．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点．
(1)求证：平面ABD；
(2)求证：平面EGF平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证；
（3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果.
【详解】（1）由题设，两两互相垂直，
以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，设，则.
所以，易得，，
所以，，所以，，
又，且都在平面内，故平面ABD.
（2）由题意知，则，
所以，，则，，
所以，，
又且都在平面内，所以平面EFG，
结合（1）知，平面EGF平面ABD.
（3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量，
所以点F到平面ABD的距离为，
由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，
所以两平面间的距离为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 空间向量的应用八大常考题型
题型一：利用向量研究平行问题
题型二：利用向量研究垂直问题
题型三：线线角
题型四：线面角
题型五：面面角
题型六：点到直线的距离
题型七：点到平面的距离
题型八：其他距离问题
题型一：利用向量研究平行问题
1．如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点.
(1)求证：；
(2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由.
2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且.
(1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积；
(2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论.
3．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，.
(1)求证：平面平面PQR ；
(2)若=1，求直线间的距离.
题型二：利用向量研究垂直问题
4．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面.
(1)若，证明：；
(2)若，，求长度的取值范围.
5．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
6．如图，在平行六面体中，，.
(1)求的长；
(2)求证：直线平面.
题型三：线线角
7．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）．
A． B． C． D．
9．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，，平面平面，且，.

(1)证明：平面；
(2)当时，求异面直线，所成角的余弦值；
(3)是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
题型四：线面角
11．如图，在三棱锥中，平面平面，，，E，M分别为棱，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.

(1)求证：；
(2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
13．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值．
题型五：面面角
14．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为棱CD，PD的中点.
(1)求证：平面AEF；
(2)求平面PBD与平面CPB的夹角的大小.
15．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
16．如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.

(1)求证：平面；
(2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
题型六：点到直线的距离
17．在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点．
(1)求平面和平面夹角的余弦值；
(2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度．
18．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，，.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求中点到直线的距离．
19．如图，在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值：
(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值.
题型七：点到平面的距离
20．如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到面的距离.
题型八：其他距离问题
23．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
24．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，M为的中点，N为的中点，解答以下问题：

(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
25．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点．
(1)求证：平面ABD；
(2)求证：平面EGF平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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