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第七章 统计案例（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为，，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（ ）

A． B．
C． D．
3．一个列联表如下：
合计
35 45
7
合计 73
则表中，的值分别是 （ ）
A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38
4．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低
C．相关系数变小 D．变量与呈负相关
6．某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：
结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数．
下列说法正确的是（ ）
A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因
B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D．结论一中接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系
7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（ ）
附：样本相关系数
A． B． C． D．1
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ）
月份 1 2 3 4 5
利润 5 8 10 12 15
A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元
C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元
10．为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（ ）
A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型
B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33
C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好
D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值
11．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附：，．
（1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
第二部分（非选择题 共92分）
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 .
13.为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下2×2列联表:
单位:人
选修理科 选修文科 合计
男生 13 10 23
女生 7 20 27
合计 20 30 50
已知P(χ2≥3.841)≈0.05,P(χ2≥6.635)≈0.01.根据表中数据,得到χ2=≈4.844,则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为　　　　.
14．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价
销售量
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
16．(13分)
随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 50 100
女性 70 100
合计
(1)完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关
(2)现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.（15分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，，
，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）．
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
(1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
(2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
18．(17分)
某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成.
(1)求回归系数；
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）；
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：
文本真实性 检测结果 总计
识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇）
真实人类撰写（篇）
总计 200
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(17分)
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．
附：参考数据如下表（其中），
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占，柚子产量会下降；平均气温在28℃以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万元；
方案2：选择防害措施，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；
方案3：不采取防虫害措施．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第七章 统计案例（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为，，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【答案】A
【分析】根据相关系数的含义，其绝对值越接近1，线性相关性越强.
【详解】根据题意，线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强．
因为，
故线性相关性最强的是甲组．
故选：A.
2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用散点图的变化趋势，判断相关系数的正负，由散点图的集中程度，分析相关系数大小，即可得答案.
【详解】由散点图可得，图1为正相关，则，且相关性较强，则，
图2为负相关，则，且相关性较强，则，
图3为正相关，则，
图4为负相关，但数据相关性较弱，所以，
所以相关系数最小的为.
故选：B
3．一个列联表如下：
合计
35 45
7
合计 73
则表中，的值分别是 （ ）
A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38
【答案】B
【分析】由列联表数据，列出等式即可求解；
【详解】由，得．
由，得．
由，得．
由，得．
故选：B
4．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】已知抽取的老年人、年轻人各有25名，计算各个变量的值，进而得到答案.
【详解】因为，，
，，，，
所以，，，，．
故选：D．
5．已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低
C．相关系数变小 D．变量与呈负相关
【答案】A
【分析】根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解.
【详解】去掉点后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量与的线性相关程度变强，故选项B错误；
由散点图，点的分布从左下角到右上角，故变量与呈正相关，故选项D错误；
因为变量与呈正相关，且相关性变强，所以相关系数变大，故A正确，C错误.
故选：A.
6．某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：
结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数．
下列说法正确的是（ ）
A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因
B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D．结论一中接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系
【答案】D
【分析】根据相关系数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由，可知PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系，但并不能说明机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，故A错误，D正确；
由于，，则表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，但线性相关性没有结论一的强，故C错误，
由，可知绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率呈负相关，相关性不是很强，但不能说绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联，故B错误，
故选：D
7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值.
【详解】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人.
所以可得列联表如下：
喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计
男生人数
女生人数
合计
于是，
由于推断不成立，此推断犯错误率不超过，
所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为.
故选：C
8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（ ）
附：样本相关系数
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可.
【详解】设，，，
，，，
由样本相关系数公式可知，，
设与的夹角为，与的夹角为，则有，
易知均为锐角且，
与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大，
，
故的样本相关系数的最大值为.
故选：B．
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ）
月份 1 2 3 4 5
利润 5 8 10 12 15
A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元
C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元
【答案】AC
【分析】由回归方程过样本中心点即可求解判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD.
【详解】依题意，，
将代入中，解得，故A正确；
可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误；
将代入中，得到，故C正确；
将代入中，得到，则所求残差为，故D错误.
故选：AC.
10．为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（ ）
A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型
B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33
C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好
D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值
【答案】AB
【分析】利用图即可判断AB，由决定系数的意义即可判断C，根据图象估计平均值即可判断D.
【详解】对于A：由散点图可知该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型，故A正确；
对于B：根据实验结果1的图可知异常样本点的自变量的值可能为0.33，故B正确；
对于C：由于，则实验结果2相较于实验结果1拟合得更好，故C错误；
对于D：由于实验结果1包含了异常样本点对应的因变量值接近，比其他正常样本点对应的因变量值小得多，
故实验结果1的因变量的平均值小于实验结果2的因变量的平均值，即D错误.
故选：AB.
11．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附：，．
（1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
【答案】BD
【分析】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度.
【详解】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的；
40岁以上且周平均使用时间超过4小时的；
40岁以上的总计为，
故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的.
选项A：，A错误；
选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72，
总样本数120，概率为，B正确；
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 18 72
40岁以上 18 30 48
总计 72 48 120
，
因，
故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
第二部分（非选择题 共92分）
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 .
【答案】
【分析】根据变量的相关性，直接得出相关系数.
【详解】由经验回归方程知与负相关，
因为这5组数据对应的点都在回归直线上，所以相关系数为.
13.为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下2×2列联表:
单位:人
选修理科 选修文科 合计
男生 13 10 23
女生 7 20 27
合计 20 30 50
已知P(χ2≥3.841)≈0.05,P(χ2≥6.635)≈0.01.根据表中数据,得到χ2=≈4.844,则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为　　　　.
【答案】0.05
【解析】因为3.841<χ2≈4.844<6.635,而P(χ2≥3.841)≈0.05,所以认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05.
14．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， .
【答案】
【分析】两边同时取对数，求得，结合，求得，得到的值，再由，求得，结合，即可求解.
【详解】由，两边同时取对数，可得，
因为变换后的线性回归方程为，可得，
即，所以，
又因为，且，
所以，
因为，可得，所以.
故答案为：；.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价
销售量
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
【答案】（1）；（2）是.
【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；
（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；（7分）
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.（13分）
16．(13分)
随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 50 100
女性 70 100
合计
(1)完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关
(2)现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析；有
(2)
【分析】（1）完成列联表，由列联表，得，然后根据独立性检验判断即可；
（2）由题知抽取10人中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由可计算选取的3人中至少有2人经常网购的概率.
【详解】（1）完成列联表：
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 50 50 100
女性 70 30 100
合计 120 80 200
由列联表得，，
有99%的把握认为我市市民网购与性别有关.（7分）
（2）由题知女市民中利用分层抽样的方法抽取10人中，
经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，
选取的3人中至少有2人经常网购的概率，
所以所求概率为.（15分）
17.（15分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，，
，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）．
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
(1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
(2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
【答案】(1)可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
(2)需对当天的生产过程进行检查
(3)均值；标准差．
【分析】（1）由样本数据得相关系数，验证是否成立，然后得结论；
（2）由求得，即可得到得结论；
（3）剔除离群值，求剩下数据的平均值，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值.由得，即可求出剔除第13个数据，剩下数据的样本方差，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值.
【详解】（1）由样本数据得相关系数：
．
，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（5分）
（2）∵，，∴，，
抽取的第13个零件的尺寸在以外，
需对当天的生产过程进行检查．（10分）
（3）剔除离群值，即第13个数据，
剩下数据的平均数为，
即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为；
由得：，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为，
样本标准差为，
即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为．（15分）
18．(17分)
某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成.
(1)求回归系数；
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）；
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：
文本真实性 检测结果 总计
识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇）
真实人类撰写（篇）
总计 200
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)
(3)判断“检测结果”与“文本真实性”有差异
【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数；
（2）利用全概率公式可求概率；
（3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可.
【详解】（1）因为，且，，
故，故.（5分）
（2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”，
为“被检测系统识别为人类撰写的文本”，
由题意知，，，，，
由全概率公式知：
，
即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为.(12分)
（3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为，
真实AI生成且被识别为AI生成的篇数，
真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数，
故列联表为：
文本真实性 检测结果 总计
识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇） 29 1 30
真实人类撰写（篇） 6 164 170
总计 35 165 200
零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异.
由列联表数据计算得，，
所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异.（17分）
19.(17分)
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．
附：参考数据如下表（其中），
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占，柚子产量会下降；平均气温在28℃以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万元；
方案2：选择防害措施，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；
方案3：不采取防虫害措施．
【答案】(1)
(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数关于平均温度的回归方程.(3分)
（2）将两边同时取自然对数，可得，令，
由题中的数据可得，，，
所以
则，
所以关于的经验回归方程为，
故关于的回归方程为.(11分)
（3）用，和（单位：万元）分别表示选择三种方案的收益．
采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，收益为（万元），即；（13分）
采用方案2，不发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为（万元），
发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为（万元），即；
同样，采用方案3，有
所以，，
显然，最大，所以选择方案1最佳.(17分)21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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