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第二章 圆锥曲线（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
2．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　）
A．椭圆上 B．双曲线的一支上
C．抛物线上 D．圆上
4．跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图．当水面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（ ）

A． B． C． D．
5．若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
6．已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ）
A．当时，直线与双曲线只有一个公共点
B．直线与双曲线只有一个公共点时，或
C．当或时，直线与双曲线没有公共点
D．当时，直线与双曲线有两个公共点
10设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．的面积为
11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（ ）
A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C．若上任意一点都满足，则
D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ．
13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
14．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1.
(1)求抛物线和椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值.
16．(15分)
已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
17．（15分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程；
(3)求的最小值．
18．（17分）
已知和为双曲线上的两点．
(1)求C的方程．
(2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）．
（ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程；
（ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．
19.（17分）
已知，、分别为左、右焦点．对有，．
(1)求的方程；
(2)对平面，记为T关于O的对称点．记对，为平面上点的集合，满足：
①对，S与的切线分别平行于，；
②对，记①的两切点为M，N，则．
（i）求证：当时，对，；
（ii）求证：当时，有．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
2．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为，
故，解得，
故双曲线方程为，
故选：C
3．与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　）
A．椭圆上 B．双曲线的一支上
C．抛物线上 D．圆上
【答案】A
【详解】设动圆的圆心为，半径为，圆，圆，
则，.
又，所以点在以为焦点的椭圆上．
故选：A．
4．跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图．当水面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】

如图，为水面宽，为拱顶离水面的高度，
故，故.
设抛物线的方程为：，则即，
故焦点坐标为：.
故选：A.
5．若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
【详解】由题意得，，
将两边同时平方可得：，
即，
所以可看作是双曲线的右支上的点，
又如图所示，
6．已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
椭圆的右顶点和上顶点为， ，，
设，又点为椭圆上的一点，，即，
又直线的斜率，直线的方程为，
令，可得，则，
又直线的斜率，直线的方程为，
令，可得，则，
，
化简上式
把代入，得
，
故选：D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，可得，连接，则．
设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离为，
因为垂直于的一条渐近线，所以．
在中，由余弦定理可得，
即，化简整理得，
解得或（舍去），故的渐近线方程为．
故选：A.
8．如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
过点作，交底面圆于两点，连接，，，
设，则，
所以当最大时，最大，
由圆锥的性质得底面，
因为底面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为分别是的中点，所以，则，
因为，平面，所以平面，
则平面为截面，
因为为中点，所以，所以平面，
因为平面，所以，所以，
则当最大时，最大，
如图为截面的平面图，
以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系，
，，，则抛物线方程为，
设，，则，
所以，
则此时，.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ）
A．当时，直线与双曲线只有一个公共点
B．直线与双曲线只有一个公共点时，或
C．当或时，直线与双曲线没有公共点
D．当时，直线与双曲线有两个公共点
【答案】AC
【详解】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点，
联立直线与双曲线，得，则，
当，即时直线与双曲线相切，
当，即或时没有公共点，
当且，即或或时两个公共点.
所以A、C对，B、D错.
故选：AC
10设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．的面积为
【答案】ACD
【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为，
则，，故A正确；
对于B，设，，联立得，
则，，故B错误；
对于C，，
设中点为，则，
，到直线的距离，以为直径的圆的半径，
由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确；
对于D，到的距离，
则的面积为，故D正确.
故选：ACD.
11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（ ）
A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C．若上任意一点都满足，则
D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
【答案】BD
【详解】
由离心率且得：，的蒙日圆方程为：，
对于选项A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离都为，到椭圆上任意一点的距离最大值为，
所以上任意一点与的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，选项A错误；
对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线与蒙日圆：相切，
则圆心到直线的距离为，所以，
则的方程为：，选项B正确；
对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点应在蒙日圆外，所以直线与蒙日圆：相离，
则圆心到直线的距离为，所以，选项C错误；
对于选项D，椭圆的方程为：，蒙日圆方程为：，
设，则，设，，
则，，
将代入方程中，则，，
所以直线的方程为，
将直线的方程与椭圆的方程联立：，
得：，
所以，，所以，
又因为原点到的距离为，
所以，设，
则，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以选项D正确.
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ．
【答案】或或
【详解】设直线方程为或（当斜率不存在时），
当直线与抛物线相切时只有一个公共点，满足题意，
此时：由，得，
由得，此时切线方程为；
经检验，也是抛物线的切线方程；
当直线与抛物线对称轴轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，此时直线方程为.
13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】，
【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得．
将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示．
，
将代换为，转移到中，
连接，因为，
所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号，
所以的最小值为．
因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时，
取得最大值，故的最大值为．
14．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】
如上图所示，设，，，，
则，.因为，
所以.
因为、在双曲线上，则.
又因为过原点以为直径的圆过点，所以.
根据双曲线的性质有，联立得
所以，
设离心率，则，解得，（，舍去）.
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1.
(1)求抛物线和椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值.
【详解】（1）由题意知抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点是椭圆的顶点，
椭圆在x轴上的顶点为，
故，则抛物线方程为，（3分）
令，则，代入得，解得，
故椭圆方程为.(6分)
（2）抛物线的焦点为，故不妨设，
则，

结合椭圆方程为，B在椭圆上，可知，
故的最大值为.（13分）
16．(15分)
已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，
由离心率为可得，解得，
所以的方程为．（4分）
（2）如图，设直线的方程为，，
联立得，
由题意可得，且，（6分）
化简得，
由韦达定理得．
因为，
所以，（10分）
整理得，
即，
化简得，因为直线不经过点，所以，
此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系．
所以，即，满足，
所以直线的方程为，即直线过定点．（15分）
17．（15分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程；
(3)求的最小值．
【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即.
∴抛物线的方程为.（3分）
（2）设，显然直线斜率存在.
设的方程为，
联立方程，消去，整理得，
因为点是的中点，由，解得.
所以直线AB的方程为．即．（9分）
（3）由抛物线定义可知
所以,
由（2）知,
∴，
所以
所以当时，取得最小值为．（15分）
18．（17分）
已知和为双曲线上的两点．
(1)求C的方程．
(2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）．
（ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程；
（ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．
【详解】（1）由题可知，解得，，
所以C的方程为．（4分）
（2）（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0，设直线l的方程为，
联立，得，
设，，
则且，
解得，，，（7分）
，
解得，所以l的方程为．（9分）
（ⅱ）证明：直线，令，得，
同理可得，故，．
记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，圆心为，
所以，（14分）
由（1）知，，，
所以
，
所以，为定值．（17分）
19.（17分）
已知，、分别为左、右焦点．对有，．
(1)求的方程；
(2)对平面，记为T关于O的对称点．记对，为平面上点的集合，满足：
①对，S与的切线分别平行于，；
②对，记①的两切点为M，N，则．
（i）求证：当时，对，；
（ii）求证：当时，有．
【详解】（1）由题意得,，
则.（3分）
（2）（i），，
又°，，
又平分，与的角平分线垂直，
由光学性质可知平行于处的切线.
当直线的斜率均存在时，.
一方面，记，，，
，则，
则，
同理可得，（6分）
则，
另一方面，记，
由余弦定理可知
即
可得，（9分）
，
则
在和中易知，则，
则，
当时，此时，则，
综上，.（12分）
（ii）由（i）可知当时，显然，
则且，，
同理可得，当时，有.
则.（17分）
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