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第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知点关于平面对称的点的坐标是.
故选：B.
2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．l与α相交但不垂直 D．或
【答案】A
【解析】，，
所以，
所以，
故选：A
3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，
解得，所以.
故选：A.
4．如图，在平行六面体中，若，，，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得.
故选：C.
5．已知向量，，，若、、共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量，，，且、、共面，
由题意可知，存在、，使得，
即，所以，故.
故选：D.
6．在平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
又，，，，
，
；
故选：A
7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上 下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
所以，，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
8．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
，， ，，
∵，∴，
∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段：
正方体中，平面，
∴，又，
由图可知当点P在E处取得最大值，
所以面积的最大值.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知点，，则（ ）
A．为 B．线段的中点坐标为
C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为
【答案】ABC
【解析】对A，由题意得，则，故A正确；
对B，线段的中点坐标为，即，故B正确；
对C，点B到x轴的距离为，故C正确；
对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误.
故选：ABC.
10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】AD
【解析】对于A：设，则，由无解，
故不存在，使得，所以，，不共面，故A正确；
对于B：，所以，，共面，故B错误；
对于C：，所以，，共面，故C错误；
对于D：设，则，由无解，
故不存在，使得，所以，，不共面，故D正确.
故选：AD.
11．在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．与所成角的正弦值为
C．三棱锥的体积为一个定值 D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，当为的中点时，有．
证明：在直三棱柱中，平面平面，，，
又平面，
平面，，所以A正确；

对于B，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
设与所成角为，则，
，所以B正确；
对于C，，其中为点到的距离，是一个定值，但随着点的运动而改变，所以C错误；

对于D，因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的底面外接圆半径，，所以三棱锥的外接球半径为，
所以，所以D正确.
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间中三点共线，则的值为 .
【答案】
【解析】由空间三点，可得，
因为三点共线，则存在实数，使得，
可得，解得，所以.
13．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 .
【答案】
【解析】由已知得，，，
设向量与向量都垂直，则，
即取，则，
又平面平面，所以平面与平面间的距离.
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为 .
【答案】
【解析】以原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，由，
得，则，
当时，取得最小值，此时，为中点，，
取的中点，连接，则，
由，，得，，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
而，，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．
(1)用为基底表示向量，并求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）记，，，
则，，
∴，，
，
∴，即的长为；（6分）
（2），故，
故，
由（1）知，，
故
，
∴．（13分）
16．（15分）
如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到平面的距离．
【答案】(1)(2)．
【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系：
则，， ，，，．
因为，，，
所以，
所以点到直线的距离为．（7分）
（2）因为，，
所以，
所以，
所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面 的距离，（10分）
设平面的一个法向量为，
又，，，
由，
令，则，，即，
又，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为．（15分）
17．(15分)
如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点.
(1)求证：；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取中点，连接，则，
因为，所以，
因为为中点，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以．（5分）
（2）因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又平面，所以，
由（1）知，所以两两垂直．
以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的一个法向量，则有，即，
令，则，，所以．（13分）
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分）
18．（17分）
如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥．
(1)当时，求四棱锥外接球的表面积．
(2)当时，
①求的面积；
②求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)(2)①6；②
【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合及，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出，设四棱锥外接球的球心，半径为，利用，解得，代入球的表面积公式即可的解．
（2）①结合及，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出，利用向量法求得，利用同角三角函数基本关系求得，利用模的坐标运算得，代入三角形面积公式求解即可；
②分别求出平面FAD与平面FAC的法向量，利用向量法求出平面夹角的余弦值.
【解析】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，垂直于ABCD为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
设，则，，
因为，所以，解得，
又，所以，
又，所以，
解得，则，
设四棱锥外接球的球心，半径为，
则，解得，
所以四棱锥外接球的表面积为．（5分）
（2）①由（1）知，，，
则，解得,
又，，
因为，
所以，所以，即，
所以，，则，
所以，
所以，
所以的面积为；（11分）
②设平面的法向量为，，，
则，即，令，则．
设平面的法向量为，，，
则，即，令，则．
所以，故平面与平面夹角的余弦值为．（17分）
19．（17分）
如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，；(3).
【解析】（1）在四棱锥中，，而平面平面，
所以平面.（2分）
（2）过作直线平面，而，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，得，则是二面角的平面角，
依题意，，即，又,而平面，
于是平面，即，由，得分别是中点，
由，得，
令，则，，
故，
设平面的法向量，
则，
取，得，（6分）
而平面的法向量为，
因此，解得或（舍去），
所以在线段上存在一点满足题意，此时.（10分）
（3）由（2）中空间直角坐标系，知，设，
则，由，得，
解得，即，则，
点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形，
则，即，又且，即，（14分）
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，
则，
则，
令，因函数在上递减，，
因此，而，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.(17分)21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．l与α相交但不垂直 D．或
3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．如图，在平行六面体中，若，，，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，若、、共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上 下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知点，，则（ ）
A．为 B．线段的中点坐标为
C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为
10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．与所成角的正弦值为
C．三棱锥的体积为一个定值 D．三棱锥的外接球表面积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间中三点共线，则的值为 .
13．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 .
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．
(1)用为基底表示向量，并求的长；
(2)求的值．
16．（15分）
如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到平面的距离．
17．(15分)
如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点.
(1)求证：；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）
如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥．
(1)当时，求四棱锥外接球的表面积．
(2)当时，
①求的面积；
②求平面与平面夹角的余弦值．
19．（17分）
如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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