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第五章 计数原理（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．74 B．98 C．124 D．148
【答案】C
【解析】．故选C．
2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】A
【解析】由4名学生来自高一、高二各2名，
则随机选2名学生来自不同年级的选择有种，故选A
3．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】∵从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果，在这些直线中有重复的直线，
当和时，结果相同；
当和时，结果相同，
∴所得不同直线的条数是，故选C．
4.从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种.
A．24 B．48 C．72 D．120
【答案】C
【解析】解法1（特殊元素优先）：若A参加竞赛，则参赛方案有种；
若A不参加竞赛，则参赛方案有种，因此不同的参赛方案有72种.
解法2（特殊位置优先）：先从除了A以外的4名学生中选择2名参加物理、化学竞赛，有种；
再从余下的3名学生中选择2名参加数学、外语竞赛，有种；因此共有种不同的参赛方案.故选：C.
5．已知，则（ ）
A．80 B．81 C．242 D．243
【答案】C
【解析】，
令，得；
令，得；
所以.
故选：C.
6．在一次大型运动会的火炬传递中．某路段的传递活动由共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（ ）
A．60 B．54 C．120 D．114
【答案】D
【解析】当完成第一棒时，有种不同的传递方案；
当完成第一棒时，有种不同的传递方案．
故共有种不同的传递方案．
故选：D.
7．中国传统木构建筑的窗棂是框架结构设计，它是传统建筑中最重要的构成要素之一，也是建筑的审美中心.如图中矩形是某窗棂的一部分，图中与矩形边平行的横线与竖线构成矩形（ ）个

A．24 B．27 C．36 D．60
【答案】C
【解析】在矩形中的条横线任选条，有种方法，条竖线任选条，有种方法，这时一定会围成一个封闭图形，即为所求矩形，共有种方法，故选C
8．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】分以下两步：（1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、，
所以，跳箱的分法种数为种；
（2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、，
所以，药球的分法种数为种.
由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种.
故选：B.
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下面几个问题中是组合问题的有（　　）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成无重复数字的两位数
D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关）
【答案】ABD
【解析】对A：选项中集合的元素可以是无序的，故A选项为组合问题；
对B：选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，故B选项为组合问题；
对C：如与为不同的数字，故需要考虑顺序，故C选项为排列问题；
对D：由甲到乙或乙到甲的距离是相同的，故此时票价相同，故D选项为组合问题.
故选：ABD.
10．从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（ ）
A．抽出的产品都是合格品的抽法种数为
B．抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为
C．抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为
D．抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为
【答案】AD
【解析】对于A，20件产品中合格品有17件，则抽出的产品都是合格品的抽法种数为，A正确；
对于B，抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为，B错误；
对于C，抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为，C错误；
对于D，抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为，D正确.
故选：AD.
11．“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．
C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行
【答案】BCD
【解析】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误；
对B，
，正确；
对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确；
对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，
第7行的数为：，所有数都是奇数，正确.
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．的展开式中常数项是 ．（用数值作答）
【答案】924
【解析】的展开式中常数项是.
13.某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是 ．
【答案】
【解析】10名学生任意排有种，一班的3名学生恰好被排在一起，
所以一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率为.
14．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有 种．
【答案】108
【解析】分类：若小正方形1，9与5同色，则有种；
若小正方形1与5同色，9与5异色，则有种；
若小正方形9与5同色，1与5异色，则有种；
若小正方形1，9均与5异色或1与9同色，9与5异色，则有种.
可得，故符合条件的涂法共有108种.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）
在二项式的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分)
【解析】（1）选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46，
所以，即，
即，即，
解得或（舍去）.(7分)
选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256，
所以，即，
解得.（7分）
选择③：通项公式为，
则有，所以
因为展开式中第7项为常数项，即，
所以.（5分）
所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，
，.(7分)
（2）展开式通项为：，(10分)
令，，
展开式中常数项为第7项，常数项为.（13分）
16．(15分)
某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答）
(1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？
(2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？
(3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？
【解析】（1）若4名男生相邻，有种情况，
将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况．
所以共有种不同的排法．（5分）
（2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况，
再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种，
所以共有种情况．（10分）
（3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法；
男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种，
而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种，
其他人全排列，只有种不同排法，
共有种排法．
综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法.(15分)
方法二：7名学生全排列，有种排法，
其中男生甲排中间，有种排法，
女生乙排第一名，有种排法，
其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种，
所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法．(15分)
17．（15分）
平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．
（1）过每两点连线，可得几条直线？　　　
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；
（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
【解析】⑴条.(3分)
（2）个.(7分)
（3）不共线的五点可连得条射线，共线的四点中，外侧两点可发生条射线，内部两点各可发生条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有条，故共有条射线.(11分)
⑷任意两点之间，可有方向相反的个向量各不相等，则可有个向量。（15分）
18．(17分)
有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
【解析】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种；（3分）
（2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种，
②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种，
③三科均2人，共有：种，
所以一共有：90+360+90=540种.（10分）
（3）因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况：
①有1人报化学：种，
②有2人报化学：种,
③有3人报化学：种，
④有4人报化学：种，
所以一共有：120+84+24+2=230种.(17分)
19．(17分)
已知函数．
(1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值；
(2)化简；
(3)当时，定义：，化简：．
【详解】（1）因为二项式展开式的通项为：，
又在中，唯一的最大的数是，由于，
所以，即，解得，即，
又，所以或.(6分)
（2），
原式；（10分）
（3）①，
②，
在①、②添加，则得
③，
④，
③+④得：，
.（17分）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五章 计数原理（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．74 B．98 C．124 D．148
2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
3．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4.从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种.
A．24 B．48 C．72 D．120
5．已知，则（ ）
A．80 B．81 C．242 D．243
6．在一次大型运动会的火炬传递中．某路段的传递活动由共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（ ）
A．60 B．54 C．120 D．114
7．中国传统木构建筑的窗棂是框架结构设计，它是传统建筑中最重要的构成要素之一，也是建筑的审美中心.如图中矩形是某窗棂的一部分，图中与矩形边平行的横线与竖线构成矩形（ ）个

A．24 B．27 C．36 D．60
8．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下面几个问题中是组合问题的有（　　）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成无重复数字的两位数
D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关）
10．从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（ ）
A．抽出的产品都是合格品的抽法种数为
B．抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为
C．抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为
D．抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为
11．“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．
C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．的展开式中常数项是 ．（用数值作答）
13.某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是 ．
14．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有 种．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）
在二项式的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分)
16．(15分)
某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答）
(1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？
(2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？
(3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？
17．（15分）
平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．
（1）过每两点连线，可得几条直线？　　　
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；
（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
18．(17分)
有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
19．(17分)
已知函数．
(1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值；
(2)化简；
(3)当时，定义：，化简：．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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