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第五章 计数原理（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片 2部文艺片 3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A．18 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为.
故选：C
2．已知，则（ ）
A．2 B．6 C．2或5 D．2或6
【答案】D
【解析】由，可得或，解得或.
故选：D.
3．甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（ ） 种.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（1）甲先拿，有种拿法；
（2）再让写那张被甲拿到的卡片的人去拿，有种拿法；
（3）剩余两人只有种拿法，根据分步乘法计数原理知共有种拿法，
故选：A.
4．展开式中的系数为（ ）
A． B．12 C． D．18
【答案】A
【解析】根据题意，
展开式中项为，
所以展开式中的系数为．
故选：A．
5．甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”．对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”．从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【分析】由题知乙获得二等奖，甲获得三等奖，再根据分组分配考虑剩下4人获奖情况即可.
【解析】由题意得乙获得二等奖，甲获得三等奖，
则需从其余4人中选1人获得一等奖，选1人获得二等奖，剩余2人获得三等奖，
所以6人的获奖情况可能有（种）．
故选：B.
6．用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】B
【解析】数学1~5中取出3个数字，有种取法；
将取出的3个数字中最大的一个作十位上的数字，另外2个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法.
由分步乘法计数原理，得符合题意的三位数有个.
故选：B.
7．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ）
A．60种 B．90种 C．120种 D．150种
【答案】D
【解析】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和
若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法；若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法.
因此总计种分配方式.故选：D
8．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】给挂件进行如图所示的编号，
中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件，
用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，
1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法，
分情况讨论5，6，7号的涂色方法：
①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法，
5，6，7号有种涂色方法；
②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法，
5，6，7号有种涂色方法；
③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法，
当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法；
当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法，
5，6，7号有种涂色方法；
④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法，
5，6，7号有种涂色方法；
综上，所有的涂色方法种数为，故C正确．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】A错，，．
B对，．
C对，，，所以．
D错，．
故选：BC.
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】二项式的通项，
令，得，选项A错误；
令，得，令，得，
所以，选项B正确；
令，得，
所以，选项C正确；
，两边对x求导得：
，
再令，得，选D正确．
故选：BCD．
11．将由个顶点和条边(条边均为线段)构成的图，称为一个图．下列结论正确的是（ ）
A．三棱柱是一个图
B．若平面内的5个定点（任意三点不共线）和7条边构成一个图，则这样的图共有120个
C．若一个图的4个顶点分别位于平面直角坐标系的四个象限，且该图有且仅有2条边与轴相交，则这样的图共有8个
D．若一个图的8个顶点分别位于空间直角坐标系的8个部分（三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成8个部分），且该图有且仅有2条边与平面相交，则这样的图共有7920个
【答案】ABD
【解析】A：三棱柱有6个顶点(两个三角形底面)和9条边(底面、顶面、侧面各3条)，因此是图，正确；
B：平面内有5个定点(任意三点不共线)，构成图，总可能边数为，从10条边中选择7条为，正确；
C：4个顶点分别位于四个象限(位置固定)构成图，要求有且仅有2条边与x轴相交，
设顶点分别在第一、二、三、四象限，
其中非跨边(不跨过轴)有共2条，跨边(跨过轴)有共4条，
图有4条边，需恰好2条跨边，只需从4条跨边中选2条为，错误；
D：8个顶点分别位于空间直角坐标系的8个部分(位置固定)，构成图，
要求有且仅有2条边与平面相交，则有4个顶点，有4个顶点，
其中非跨边(不跨过平面)有条，跨边(跨过平面)有条，
由图有12条边，有且仅有2条边与平面相交，即12条边中有10条非跨边，2条跨边，
所以共有条，正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 展开式中的常数项是 ．
【答案】
【解析】由二项式的展开式的通项公式为，
所以，
所以当时有常数项，当时有常数项，
所以所求展开式的常数项为.
13．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种.
【答案】420
【解析】甲、乙选看的电影中最多有1部相同包括：
（1）两人选看的电影均不相同，不同选法有（种）；
（2）两人选看的电影有且仅有一部相同，不同选法有（种），
不同的选法总共有（种）.
14． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第 行．
【答案】
【解析】由题意可知，这一行为第行，且这三个数分别为、、，
由题意可得，解得，
因此，这一行是第行.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
用0，1，2，3，4，5这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数：
(1)比400000大的正整数；
(2)个位数字不是5的六位数．
【解析】（1）要比400000大，最高位必须是4或5，其余数位全排列即可，
所以有 个．（5分）
（2）两位及两位以上的自然数最高位不能为0．
因为0是特殊元素，所以根据个位数字是0和不是0分两类，
当个位数字是0时，个位数字不是5的六位数有（个），（9分）
当个位数字不是0时，个位数字不是5的六位数有（个），
根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有 （个）．(13分)
16．(15分)
3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人.
(1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
(2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
(3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数.
【解析】（1）依题意，不同排法种数是.（4分）
（2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种，
所以不同排法种数是.（10分）
（3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有，
所以不同站法种数是.（15分）
17．（15分）
（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
（4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？
【解析】（1）法一：问题相当于先把7个相同的小球分成3堆，再分配到不同的盒子里.
把7个相同的小球分成3堆，有4种分法.
第一类，按照来分，有种方法；
第二类，按照来分，有种方法；
第三类，按照来分，有种方法：
第四类，按照来分，有种方法
综上，共有种方法.
法二：在7个相同的小球中间的6个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.（4分）
（2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子，
每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.（7分）
（3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种，
空2个盒子共有种，综上，共有种方法.
法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球，
则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，
即在10个相同的小球中间的9个空档里，
选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法.（11分）
（4）由题意得盒子相同，按照球的个数可以分为，共4种，
第一类，按照来分，有种方法；
第二类，按照来分，有种方法；
第三类，按照来分，有种方法：
第四类，按照来分，有种方法
综上，共有种方法.（15分）
18．(17分)
已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67.
(1)求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率；
(2)若，求除以7所得的余数；
(3)求展开式中系数最大的项.
【解析】（1）展开式末三项的二项式系数分别为，
则，即，整理得，
而为正整数，因此，集合，
从集合中任取一个元素的试验有11个样本点，
满足不等式的事件有一个样本点5，所以所求概率为.（5分）
（2）当时，
，
所以除以7所得的余数等于13除以7所得的余数6.（11分）
（3）由（1）知，展开式通项为，
设第项即为系数最大的项，则，整理得，解得，
所以展开式系数最大的项为或.（17分）
19．（17分）
规定，其中，是正整数，且，这是组合数（，是正整数，且）的一种推广.
(1)求的值；
(2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由；
(3)①已知为正整数，，求证：；
②已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.
【解析】（1）由题意可得：．（3分）
（2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数.(6分)
证明：当时，有，
当时，
．（10分）
（3）①因，
而，
所以；
②当时，组合数；
当时，；
当时，由可知，
则 ，
因为时，，所以，即时，．
综上，当，m是正整数时，．（17分）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片 2部文艺片 3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A．18 B．9 C．8 D．7
2．已知，则（ ）
A．2 B．6 C．2或5 D．2或6
3．甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（ ） 种.
A． B． C． D．
4．展开式中的系数为（ ）
A． B．12 C． D．18
5．甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”．对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”．从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
6．用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
7．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ）
A．60种 B．90种 C．120种 D．150种
8．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．将由个顶点和条边(条边均为线段)构成的图，称为一个图．下列结论正确的是（ ）
A．三棱柱是一个图
B．若平面内的5个定点（任意三点不共线）和7条边构成一个图，则这样的图共有120个
C．若一个图的4个顶点分别位于平面直角坐标系的四个象限，且该图有且仅有2条边与轴相交，则这样的图共有8个
D．若一个图的8个顶点分别位于空间直角坐标系的8个部分（三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成8个部分），且该图有且仅有2条边与平面相交，则这样的图共有7920个
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 展开式中的常数项是 ．
13．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种.
14． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第 行．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
用0，1，2，3，4，5这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数：
(1)比400000大的正整数；
(2)个位数字不是5的六位数．
16．(15分)
3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人.
(1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
(2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
(3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数.
17．（15分）
（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
（4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？
18．(17分)
已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67.
(1)求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率；
(2)若，求除以7所得的余数；
(3)求展开式中系数最大的项.
19．（17分）
规定，其中，是正整数，且，这是组合数（，是正整数，且）的一种推广.
(1)求的值；
(2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由；
(3)①已知为正整数，，求证：；
②已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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