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第六章 概率（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）、
1．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①某足球队在5次点球中进球的次数；
②投篮一次的结果；
③某同学在至到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（ ）
0 1
A． B． C．或 D．
4．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：若，则，）
A．，
B．
C．
D．对于任意的正数，恒有
10．若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
0 1
A．常数的值为或 B．常数的值为
C． D．
11．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（ ）

A． B．
C．当Р最大时，或5 D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 ．
13．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种．
14．已知甲、乙两个不透明的箱子中分别装有个黑球和个白球（球之间除颜色外无差异），现规定从甲箱中任取球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中任取球放入甲箱称为次操作.若已知次操作后，甲箱中仍有个黑球，则其第次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为： ；设第次操作后甲箱中黑球个数为，则 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.(13分)
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废．
(1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率．
16．（15分）
某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．
(1)求自动检测判断零件为次品的概率．
(2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．
(3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．
17．（15分）
某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
(3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
18．(17分)
在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
19．（17分）
某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立．
(1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望；
(2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了局比赛且甲胜了11局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）．
(3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行局，若甲在第局比赛中获胜的概率为，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，第局的胜者得奖金元，负者0元．记随机变量为比赛结束时甲获得的总奖金数，求（用表示）
参考公式：对任意随机变量，有．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第六章 概率（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①某足球队在5次点球中进球的次数；
②投篮一次的结果；
③某同学在至到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可.
【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来；
②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来；
④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来
③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，
因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．
故选：C
2．设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案.
【详解】由题意知，解得.
故选：B.
3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（ ）
0 1
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解．
【详解】由题意可得，解得．
故选：A．
4．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可.
【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为；
不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，
合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，
根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；
根据古典概型得.
故选：B
5．已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据发生的三种可能情况，即可求解.
【详解】由条件可知，，
解得：.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解，以及根据前2次试验结果，发生的三种可能情况.
6．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出的所有可能取值，利用操作步骤求出对应概率可求出其期望值，可得结果.
【详解】易知的可能取值为1，2，3，
按一次输出数字0，；
按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故；
按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故.
所以，
故选：A.
7．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值.
【详解】由，可得，
所以随机变量的期望为，
则方差为，
所以当时，方差取得最小值，最小值为.
故选：A.
8．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果.
【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和，
放入后，取出白球的概率分别为1和，
故，．
当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布，
取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1；
取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为；
取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为，
则，
且放入的两个球中白球数的期望，
则，
则，
所以，又，，故．
故选：B
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9．已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：若，则，）
A．，
B．
C．
D．对于任意的正数，恒有
【答案】AB
【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误.
【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故，
由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由A可得，故，C错误；
对于D，对于任意的正数t，由图象可知：
表示的面积始终小于表示的面积，
则恒有，D错误.
故选：AB
10．若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
0 1
A．常数的值为或 B．常数的值为
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据分布列的性质求解.
【详解】由题意知，解得或，
当时，，所以舍去，
故，AB错误，
计算可得，C错误，D正确，
故选:ABC．
11．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（ ）

A． B．
C．当Р最大时，或5 D．
【答案】CD
【分析】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”， 根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AC选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断D选项．
【详解】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”，则，
设表示事件发生的次数，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，则，
而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，
，
，
，
，
，
故当或时，概率最大，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：CD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 ．
【答案】
【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可.
【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，
所以，∴，∴．
故答案为：.
13．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种．
【答案】150
【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可.
【详解】由，得，即，
故分配方案共有150种．
故答案为：150
14．已知甲、乙两个不透明的箱子中分别装有个黑球和个白球（球之间除颜色外无差异），现规定从甲箱中任取球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中任取球放入甲箱称为次操作.若已知次操作后，甲箱中仍有个黑球，则其第次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为： ；设第次操作后甲箱中黑球个数为，则 .
【答案】
【分析】由题意可得每次操作中甲箱中的黑球个数变化情况及对应概率，再结合条件概率公式即可得空一；计算出的所有可能取值及其对应概率后，结合期望公式即可得空二..
【详解】若甲箱中有个黑球，
则下一次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为，
下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为，
若甲箱中有个黑球，
则下一次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为，
下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为，
下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为，
若甲箱中有个黑球，
则下一次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为，
下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为，
设次操作后，甲箱中仍有个黑球为事件，
第次操作后甲箱中仍有个黑球为事件，
则，
，则；
的可能取值为，，，
，
，
，
则；
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.(13分)
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废．
(1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出每个芯片通过测试的概率，判断服从二项分布，结合期望和方差的公式即可求解；
（2）分别求出，，再利用条件概率公式求解即可．
【详解】（1）设事件A：芯片合格，
则每个芯片通过测试的概率为，
于是，
则，.（6分）
（2）记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ．
由题意得，
，
则，
故所求概率为．（13分）
16．（15分）
某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．
(1)求自动检测判断零件为次品的概率．
(2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．
(3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．
【答案】(1)
(2)0.9
(3)
【分析】（1）利用全概率公式计算可得.
（2）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可；
（3）根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”，
事件分别表示零件是一等品、二等品，
则．（5分）
（2）由（1）知，则．
所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为。（10分））
（3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”，
则，，
所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为
．（15分）
17．（15分）
某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
(3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)74分
(2)72分
(3)分布列见解析，
【分析】（1）将每个矩形底边中点值与各矩形面积相乘，再将所得数据相加即可得出结果；
（2）根据频率分布直方图估计数据的第40百分位数即可；
（3）利用分层抽样原理，求得、两区间内分别抽取了多少份，再结合超几何分布即可求解．
【详解】（1）由题意，解得，
则平均分
，所以该地区本次物理测试的平均分为74分．（5分）
（2）成绩在的频率为0.1，
在的频率为0.25，在的频率为0.3，
因为，，
所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．（10分）
（3）由题可知，成绩在区间的频数为，
成绩在区间的频数为，
利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，
成绩在的频数为，
再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的数学期望为：．（15分）
18．(17分)
在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
【答案】(1)，样本中位数为
(2)8186
(3)分布列见解析，
【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可；
（3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意，平均数，
前3组的频率为，前4组的频数为，
所以样本中位数位于，设为，
则，解得，则样本中位数为.（5分）
（2）由题意，近似地服从正态分布，且，，
由于
，
因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为
.（10分）
（3）由题意，的所有取值为，
顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，
顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为，
顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为，
则，，
，
，
，
则的分布列为：
0 1000 2000 3000 4000
所以.(17分)
19．（17分）
某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立．
(1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望；
(2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了局比赛且甲胜了11局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）．
(3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行局，若甲在第局比赛中获胜的概率为，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，第局的胜者得奖金元，负者0元．记随机变量为比赛结束时甲获得的总奖金数，求（用表示）
参考公式：对任意随机变量，有．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)14
(3)
【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决.
（2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可.
（3）由题意，求出第局获得的奖金期望，再求和即可.
【详解】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，
则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，
因此比赛次数不会超过5，比赛共进行了局，则，
记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，，
，
，
，
．
所以X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
数学期望.
（2）依题意，，，
记，已知，
则，
由，得，
即时，，时，，
则当时，最大，所以n的估计值为14．
（3）设第局获得奖金为，则，
由于，则.
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