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专题3.2 抛物线的简单几何性质
教学目标 1.掌握抛物线的顶点、焦点、准线、离心率的概念，理解抛物线的范围和对称性． 2.掌握已知抛物线标准方程时p的几何意义及其应用.
教学重难点 1.重点：掌握抛物线的简单性质. 2.难点：用代数法研究抛物线的几何性质，在熟练掌握抛物线的几何性质的过程中，体会数形结合的思想.
知识点01 抛物线的几何性质（重点）
以抛物线为例
（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．
（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．
【即学即练】
9．（24-25高三上·北京·期中）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 .
【答案】②,
【解析】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在轴的正半轴上，因此条件①不可选，
选择条件②，
设抛物线方程为，由抛物线经过点，得，解得，
所以所求抛物线标准方程是.
2.（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设点，其中，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
知识点02 抛物线的焦点弦性质（拓展）
1．焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．
2．焦点弦的常考性质
假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1、,.
性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则.
注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.于是，若恒过定点.
性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切.
（2）以为直径的圆与切于焦点；
（3）以焦半径为直径的圆与轴相切；
（4）以焦半径为直径的圆与与轴相切；
【即学即练】
1．（23-24高三下·重庆·月考）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据抛物线焦点弦性质及直线的倾斜角、斜率关系计算即可.
【解析】由题意可知，不妨设，，
联立直线与抛物线方程得，
又，而，则，即或，
所以直线的倾斜角为或.
故选：C
题型01 由抛物线的方程研究其性质
【典例1-1】（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
【答案】AC
【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，
所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.
故选：AC
【典例1-2】（24-25高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值
【答案】D
【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2.
【解析】
由题意，设
由抛物线范围可知，，
所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0，
由AB中点M在上，可知，即，
所以，
即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2.
故选：D.
根据抛物线方程求解与几何性质相关的问题
由已知抛物线方程讨论其几何性质时，首先要将方程化为标准方程，确定焦点所在坐标轴和抛物线的开口方向，然后再求解几何性质中的其他相关量.
【变式1-1】（20-21高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【变式1-2】（2025·安徽·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】记点，，则，
所以，
由，所以，当且仅当时，取最小值.
即点到点的距离的最小值为.
故选：C.
【变式1-3】（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为为抛物线上任意一点，所以，，
所以，
所以当时取得最小值，依题意可得，所以.
题型02 由抛物线的性质求其方程
【典例2-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程.
【详解】根据题意，设抛物线方程为，
则，准线方程为.
所以点.
因为，所以，
化简得，即，解得.
所以抛物线方程为.
故选：D.
【典例2-2】（1）已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，求抛物线的标准方程;
(2)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆＋＝1的焦点，求抛物线的方程．
【解析】(1)∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，
∴可设它的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
又∵点M在抛物线上．
∴()2＝－2p(－2)，即p＝.
因此所求方程是x2＝－y.
(2)椭圆＋＝1的焦点在y轴上，焦点坐标为(0，－6)，(0,6)．
故抛物线的准线方程为y＝－6或y＝6.
当准线方程为y＝－6时，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝24y；
当准线方程为y＝6时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝－24y.
故所求抛物线的方程为x2＝24y或x2＝－24y.
根据抛物线的几何性质求抛物线方程
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论.
【变式2-1】（2025·辽宁·一模）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（ ）
A．18 B．4 C．2或18 D．4或9
【答案】B
【解析】因为抛物线的准线方程为，
因为抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，
所以点的坐标为，
代入抛物线方程得，解得.
故选：B.
【变式2-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则 .
【答案】
【解析】由拋物线，得，
所以直线的方程为，
联立，消去，得，
因为在第一象限，则，解得，
所以，所以.
故答案为：.
【变式2-3】（24-25高二上·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】设，，由题意设直线：，
联立可得：，
，
由抛物线的定义可得：，
所以
，
所以，又因为，
所以，解得：.
题型03 焦点弦问题
【典例3-1】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】

由于，直线方程为，
联立方程，消去得，
显然，得，
所以，即.
故选：D.
【典例3-2】（2025·河南·二模）已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 .
【答案】4
【分析】根据题意作示意图，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，从而求得点的坐标，再根据抛物线的定义求解.
【解析】如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0，
因为抛物线的焦点为，设直线的方程为，
联立方程可得，
设，则，
设，则代入抛物线方程可得，
由抛物线的定义可知，
.
所以.
抛物线的焦点弦问题求解策略
对于抛物线的焦点弦问题，解决的方法有两种 ：
（1）坐标法，即联立焦点弦所在直线方程与抛物线的方程，对弦的两端点坐标设而不求，借助韦达定理转化求解；
（2）几何法，利用抛物线的焦点弦的性质数形结合，转化求解.
【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案.
【解析】设，由已知，
由焦半径公式可得
所以，所以.
故选：B.
【变式3-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知抛物线焦点到准线的距离为，
即，
则抛物线方程为，，
所以直线方程为，即，
设直线与抛物线交点，，
联立直线与抛物线，
得，
则，，
又由抛物线可知，，
所以，
故选：A.
练基础
1．（2024·贵州·三模）设抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】恒成立，利用抛物线的几何性质，求的最小值即可.
【解析】抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点，
由抛物线定义可知，等于点到抛物线准线的距离，
的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即，
若恒成立，则，即.
故选：B
2．（24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出两点坐标，根据垂直得到方程，求出，得到答案.
【解析】令中得，解得，

不妨设，
因为OD⊥OE，所以，解得，
故C的标准方程为.
故选：B
3．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可.
【解析】作出示意图如图所示：

则抛物线的性质，可得，又，
所以可得的倾斜角为，
则可得，
从而.
故选：C.
4．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可.
【解析】
如图所示，设，由，，
由可知准线方程为，
根据抛物线定义可得，，故，，
过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E，
明显，所以，
故选：A．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，，若线段AB上存在一点P满足，过点P作准线l的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用抛物线的几何定义来求焦半径长度，结合中位线、余弦定理、基本不等式，即可求最小值．
【解析】
分别过点A，B作，，垂足分别为M，N，如图所示．
因为线段AB上存在一点P满足，所以P为线段AB的中点．
设，，由抛物线定义可知，，
则，
在中，由余弦定理可得，
故，
当且仅当，即直线AB斜率不存在时，等号成立，所以，
故的最小值为．
故选：C
6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
【答案】BCD
【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D.
【解析】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误．
对于B，设点，由抛物线的定义可得，
可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确．
对于C，因的中点为 该点到轴的距离为，
故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确．
对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确．
故选：BCD.
7．（多选）（24-25高二下·江苏盐城·期末）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（ ）
A． B．
C．（O为坐标原点） D．
【答案】ABD
【分析】求出抛物线的焦点及准线，结合抛物线定义及直线与抛物线交点坐标逐项判断.
【解析】抛物线的焦点，准线，
对于AB，由，得，，AB正确；
对于CD，直线方程为，即，
由消去得，则，
，不垂直，，C错误，D正确.
故选：ABD
8．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得.
【解析】因为为抛物线上任意一点，所以，，
所以，
所以当时取得最小值，依题意可得，所以.
故答案为：
9．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：，，联立方程利用韦达定理求，进而得出圆心及半径即可求解．
【解析】由题意知，焦点，则抛物线，
直线，设，，
联立消去y并整理得，则，所以
所以．
则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为
故答案为：．
10．（2025·贵州遵义·模拟预测）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
(1)若线段中点的横坐标为1，求的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)3；
(2).
【分析】（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解.
【解析】（1）抛物线的焦点，设，
由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得，
所以.
（2）由直线过点，设直线的方程为，
由消去并整理得，
由，得，且，
则，
所以的取值范围为.
11．（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程，
（2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解.
【解析】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为
（2）因为在的准线上，所以，即，
易得的坐标为，此时，
因为，所以，解得，
所以的方程为，设，，
联立消去并整理得，由韦达定理得，
所以
提升
12．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线，过点的直线与抛物线C交于，两点，则的最小值是（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理及不等式性质求解即可.
【解析】设直线的方程为，
联立，得，
则，且，
由，则，
当且仅当，即或时等号成立，
则的最小值是64.
故选：C.
13．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】设，由抛物线定义，，结合相似图形性质可得，
然后再由抛物线定义及相似图形性质可得与关系，即可得答案.
【解析】由题及图，设准线与x轴交点为D，过A，B向准线做垂线，
与y轴，准线分别交于G，C，H ，E.
则，设，
由抛物线定于可得.
因，则.
又O为DF中点，准线与y轴平行，则S为FT中点，.
又，结合抛物线定义可得：
，
则.
故选：B
14．（多选）已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，两点在轴上方．则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积的最小值为
C． D．若，则直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】由抛物线焦点弦直线方程可得，即可得到C；根据焦半径公式，即可确定D；利用即可判断B；设，，，联立得到即可判断A.
【解析】设直线的倾斜角为，则有，，
所以，C正确；
，，
若，则，，
直线的斜率为，D正确；
，所以B不正确；

设，，，
联立，得，
，
，
，所以A正确．
故选：ACD．
15．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答.
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，显然四边形是矩形，
由抛物线定义知，，因为，
则，
所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
则直线的斜率为.
16．（25-26高二上·全国·单元测试）生活中一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，如图，曲线为四叶玫瑰线，则曲线上任一点到坐标原点的距离的最大值为 ，曲线上整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数为

【答案】 2 1
【解析】曲线上任一点到坐标原点的距离为，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
即，所以曲线上任一点到坐标原点的距离的最大值为2．
可以先讨论第一象限内的图象上是否有整点，
因为曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，
所以可将代入曲线的方程中，
通过验证可知，这5个点均不在曲线上．
又点在曲线上，所以结合曲线的对称性可知，曲线仅经过整点．
17．（2025高三·全国·专题练习）设为抛物线上过焦点的弦，求证：必为定值．
【解析】证法一：
设．
（1）若为通径，则为定值．
（2）若不垂直轴，则存在且不为零．
又设方程为：，代入，
得，
，
为定值．
证法二：
设准线与轴交于点，过分别作准线的垂线，垂足为．又分别过作的垂线，垂足为．不难证明：．
，
．
，，为定值．
18．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证：
(1)平分；
(2)．
【解析】（1）由题可知，设直线方程为，
将直线方程代入得，
设，，有，，
设直线的斜率为，
则，
所以平分；
（2）如图所示，延长交抛物线于，作于，于，
因为直线关于轴对称，所以点关于轴对称，
又，所以，
所以，
因为轴，所以．
19．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，点是上任意一点，过点作的法线．
(1)求法线在轴上截距的取值范围；
(2)设点是抛物线的焦点，过点作平行于轴的直线，求证：直线与直线的夹角与与的夹角相等．
【解析】（1）由得，故点法线的斜率为
故法线的方程为．
令，则，
所以法线在轴上截距的取值范围为．
（2）

设直线与直线的夹角为与的夹角为．
则．又，
，
故根据的范围可得．
得证．
20．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的右焦点，其渐近线被抛物线截得的弦长为2，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，则轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由对称性可设双曲线的一条渐近线方程为，
且与抛物线交点分别为，则，
联立得，
则，解得，则，
故的方程为，代入点，解得．
所以的方程为．
（2）轴上存在一点，使得为定值．
由（1）得，设，
①当直线的斜率不为0时，设的方程为．
联立得，
，则．
故
，
故当时，为定值，此时点的坐标为．
②当直线的斜率为0时，则直线为轴，故，
此时，将点代入得，满足①中所求定值．
综上，当点的坐标为时，为定值．
练创新
21．（2025·广西河池·二模）材料1：贝塞尔曲线于1962年由法国工程师皮埃尔 贝塞尔所广泛发表，它被广泛应用于矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝塞尔曲线由线段与控制点根据一定的比例绘成，控制点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，如绘图工具的钢笔工具.现在已知由个控制点绘成的次贝塞尔曲线上任意点满足，其中为坐标原点，为控制点.
材料2：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许的取值，由方程组确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，叫做参数.若消去参数就可以得到普通方程.如已知，则将代入得.
根据上述材料回答以下问题：
(1)若某一次贝塞尔曲线由这2个控制点绘制，求时点坐标；
(2)若利用3个控制点绘出曲线的部分图像，求曲线的普通方程；
(3)设直线与（2）中所得曲线交于为坐标原点且，求面积的最小值.
【解析】（1）
点坐标为；
（2）.
将，带入得
则；
（3）设，易知，斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与抛物线的方程，消去整理得，
则，由韦达定理可得
又，所以，即，即，
代入可得，解得或（不符合题意，舍去），
此时恒成立
所以，
所以，当时，面积有最小值64.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.2 抛物线的简单几何性质
教学目标 1.掌握抛物线的顶点、焦点、准线、离心率的概念，理解抛物线的范围和对称性． 2.掌握已知抛物线标准方程时p的几何意义及其应用.
教学重难点 1.重点：掌握抛物线的简单性质. 2.难点：用代数法研究抛物线的几何性质，在熟练掌握抛物线的几何性质的过程中，体会数形结合的思想.
知识点01 抛物线的几何性质（重点）
以抛物线为例
（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的 ，开口方向与 的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于 对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是 ．
（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．
【即学即练】
1．（24-25高三上·北京·期中）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 .
2.（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 抛物线的焦点弦性质（拓展）
1．焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．
2．焦点弦的常考性质
假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1、,.
性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则.
注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.于是，若恒过定点.
性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切.
（2）以为直径的圆与切于焦点；
（3）以焦半径为直径的圆与轴相切；
（4）以焦半径为直径的圆与与轴相切；
【即学即练】
1．（23-24高三下·重庆·月考）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C．或 D．或
题型01 由抛物线的方程研究其性质
【典例1-1】（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
【典例1-2】（24-25高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值
根据抛物线方程求解与几何性质相关的问题
由已知抛物线方程讨论其几何性质时，首先要将方程化为标准方程，确定焦点所在坐标轴和抛物线的开口方向，然后再求解几何性质中的其他相关量.
【变式1-1】（20-21高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【变式1-2】（2025·安徽·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ．
题型02 由抛物线的性质求其方程
【典例2-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（1）已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，求抛物线的标准方程;
(2)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆＋＝1的焦点，求抛物线的方程．
根据抛物线的几何性质求抛物线方程
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论.
【变式2-1】（2025·辽宁·一模）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（ ）
A．18 B．4 C．2或18 D．4或9
【变式2-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则 .
【变式2-3】（24-25高二上·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 .
题型03 焦点弦问题
【典例3-1】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【典例3-2】（2025·河南·二模）已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 .
抛物线的焦点弦问题求解策略
对于抛物线的焦点弦问题，解决的方法有两种 ：
（1）坐标法，即联立焦点弦所在直线方程与抛物线的方程，对弦的两端点坐标设而不求，借助韦达定理转化求解；
（2）几何法，利用抛物线的焦点弦的性质数形结合，转化求解.
【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
练基础
1．（2024·贵州·三模）设抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
5．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，，若线段AB上存在一点P满足，过点P作准线l的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
7．（多选）（24-25高二下·江苏盐城·期末）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（ ）
A． B．
C．（O为坐标原点） D．
8．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ．
9．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ．
10．（2025·贵州遵义·模拟预测）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
(1)若线段中点的横坐标为1，求的值；
(2)求的取值范围．
11．（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
练提升
12．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线，过点的直线与抛物线C交于，两点，则的最小值是（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
13．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
14．（多选）已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，两点在轴上方．则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积的最小值为
C． D．若，则直线的斜率为
15．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 .
16．（25-26高二上·全国·单元测试）生活中一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，如图，曲线为四叶玫瑰线，则曲线上任一点到坐标原点的距离的最大值为 ，曲线上整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数为

17．（2025高三·全国·专题练习）设为抛物线上过焦点的弦，求证：必为定值．
18．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证：
(1)平分；
(2)．
19．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，点是上任意一点，过点作的法线．
(1)求法线在轴上截距的取值范围；
(2)设点是抛物线的焦点，过点作平行于轴的直线，求证：直线与直线的夹角与与的夹角相等．
20．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的右焦点，其渐近线被抛物线截得的弦长为2，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，则轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
练创新
21．（2025·广西河池·二模）材料1：贝塞尔曲线于1962年由法国工程师皮埃尔 贝塞尔所广泛发表，它被广泛应用于矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝塞尔曲线由线段与控制点根据一定的比例绘成，控制点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，如绘图工具的钢笔工具.现在已知由个控制点绘成的次贝塞尔曲线上任意点满足，其中为坐标原点，为控制点.
材料2：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许的取值，由方程组确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，叫做参数.若消去参数就可以得到普通方程.如已知，则将代入得.
根据上述材料回答以下问题：
(1)若某一次贝塞尔曲线由这2个控制点绘制，求时点坐标；
(2)若利用3个控制点绘出曲线的部分图像，求曲线的普通方程；
(3)设直线与（2）中所得曲线交于为坐标原点且，求面积的最小值.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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