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专题01 空间直角坐标系
教学目标 1通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间两点间的距离公式.
教学重难点 1.教学重点：建立空间直角坐标系、求点的坐标、空间两点间距离公式的应用. 2.教学难点：建立恰当的空间直角坐标系.
知识点01 空间直角坐标系
1．建立空间直角坐标系
(1)在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与平面垂直的z轴，如图所示，就建立了三个维度的空间直角坐标系，可记为空间直角坐标系O－xyz.
(2)在空间直角坐标系O-xyz中，点叫做坐标原点，轴，轴，轴统称为坐标轴. 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x,y轴确定的平面记作xOy平面,y，z轴确定的平面记作yOz平面，z,x轴确定的平面记作zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手四指与大拇指垂直，并使四指先指向轴的正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向轴的正方向，此时大拇指指向即为z轴的正方向，则称这样的坐标系为右手系，如图所示.
说明：如无特别说明，我们通常建立的坐标系均为右手直角坐标系.
【知识归纳】
空间直角坐标系的作图原则
1.使x轴正方向与y轴正方向、x轴正方向与z轴正方向所成的角为,z轴垂直于y轴.
2.y轴与z轴的单位长度相等，x轴的单位长度为y轴(z轴)单位长度的一半.
【即学即练】
1．下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是（将正确的序号填全填上）.
【答案】①④
【解析】在①④中，让右手拇指指向x轴的正方向，则食指刚好指向了y轴的正方向，故它们是右手直角坐标系.
2.如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB⊥底面BCD,BC⊥BD,请叙述如何建立空间直角坐标系.
【解析】因为AB⊥底面BCD,所以AB⊥BC,AB⊥BD,又BC⊥BD,所以以点B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
知识点02 空间直角坐标系中点的坐标
1.空间中点的坐标表示
在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组来表示，有序实数组叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点P的坐标（即横坐标），叫做点P的坐标（即纵坐标），叫做点P的坐标（即竖坐标）.
2.空间中点的坐标的确定
给定空间直角坐标系中任意一点P.
(1)如图①,当点P在xOy平面上时,在xOy平面直角坐标系中,点P的坐标是(x,y),我们把x,y分别看作点P在空间直角坐标系中的x坐标、y坐标,点P的z坐标取0,即点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,0).
(2)如图②,当点P不在xOy平面上时,过点P作xOy平面的垂线,垂足为P',点P'的坐标为(x,y,0),我们把x,y分别看作点P在空间直角坐标系中的x坐标、y坐标,用实数z来表示点P的z坐标,即点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z).
【深度剖析】
在数轴上一个实数便确定了一个点的位置，在平面直角坐标系中，则需一对有序实数(x,y)确定一个点的位置，而在空间直角坐标系中，则是由三个实]数组成的有序实数组（x,y,z）才能确定一个点的位置.
3.空间点与坐标之间的对应关系
空间直角坐标系中,点与点的坐标之间建立了一一对应关系,即对于空间直角坐标系内的任一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,反之,任何一个三元有序数组(x,y,z)都可以确定空间中的一个点P.
4.空间中特殊点的特征
（1）坐标原点的坐标:O(0,0,0).
（2）坐标平面上点的坐标特征如下表:
坐标平面 xOy平面 xOz平面 yOz平面
坐标特点 z=0 y=0 x=0
点的坐标 (x,y,0) (x,0,z) (0,y,z)
　　（3）坐标轴上点的坐标特征如下表:
坐标轴 x轴 y轴 z轴
坐标特点 y=0,z=0 x=0,z=0 x=0,y=0
点的坐标 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
【即学即练】
1.点A(-1,2,0)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.z轴上 B.xOy平面上 C.yOz平面上 D.zOx平面上
【答案】B
【解析】(1)由点A的z坐标为0,x坐标与y坐标均不为0,知该点在xOy平面上.
2.点B(0,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.x轴上 B.y轴上 C.z轴上 D.xOy平面上
【答案】C
【解析】点B的x坐标、y坐标均为0,z坐标不为0,故点B在z轴上.
知识点03 空间中两点间的距离公式（重点）
　1.长方体体对角线的长度
如果一个长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对角线的长为d=,即长方体的对角线长度的平方等于长方体的三度(长度、宽度、高度)的平方和.
特别地,棱长为a的正方体的体对角线长为a.
　　2.空间两点间的距离公式
　(1)距离公式:空间中任意两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)间的距离
|M1M2|=.
特别地,空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离为|=.
(2)距离公式的推导:
设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间任意两点,我们作长方体,如图所示,M1M2为长方体的对角线,长方体的每一条棱都与坐标轴平行,要求M1M2的长,只需求出PN,M1P和NM2的长.由于M1P平行于x轴,所以|M1P|=|x2-x1|,同理,|PN|=|y2-y1|,|NM2|=|z2-z1|,再利用勾股定理,就有|M1M2|=,即|M1M2|=,这就是空间两点间的距离公式.
【深度剖析】
(1)公式中x1与x2,y1与y2,z1与z2的位置可以互换.
(2)可类比平面上两点间的距离公式记忆,记忆口诀:对应减,平方加,开根号.
(3)当z1=z2=0时,这两点都在xOy平面上,此公式即为平面上两点间的距离公式.
【即学即练】
1.求下列距离:
(1)A(1,1,0)、B(3,4,1)两点间的距离;
(2)C(-3,1,5)到平面yOz的距离;
(3)D(4,-2,3)到y轴的距离.
【解析】(1)由两点间的距离公式得,|AB|==.
(2)C(-3,1,5)到平面yOz的距离为3.
(3)D(4,-2,3)到y轴的距离为=5.
知识点04 空间直角坐标系中的中点坐标公式（重点）
已知空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0),
则
这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,它是平面直角坐标系中的中点坐标公式的拓展.
【深度剖析】
空间中点坐标公式可以看作平面内中点坐标公式的升级版,只是比平面内的坐标多了一个竖坐标而已
【即学即练】
1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，点，则线段的中点坐标是.
故选：B
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点M在平面上的射影点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
线段的中点M的坐标为，
根据在平面上的射影点的特点为：横坐标为0，纵坐标，竖坐标保持不变，
从而点M在平面上的射影点的坐标为，
故选：A．
知识点05 空间中点的对称问题（拓展）
在空间直角坐标系内,已知点P(x,y,z),则有:
①点P关于原点的对称点是P1(-x,-y,-z);
②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x,-y,-z);
③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(-x,y,-z);
④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(-x,-y,z);
⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x,y,-z);
⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(-x,y,z);
⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x,-y,z).
【即学即练】
1．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点M关于平面对称的点为，则的中点为，
从而，解得，所以.
故选：D
2．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然关于平面对称点坐标为.
故选：A.
题型01 根据坐标作出空间中的点
【典例1】在空间直角坐标系中,作出点M(6,-2,4).
【解析】解法一:如图所示,从原点出发沿x轴正方向平移6个单位长度得到点M1,再将M1沿与y轴平行的方向向左平移2个单位长度得到点M2,然后将M2沿与z轴平行的方向向上平移4个单位长度即得点M.
解法二:先确定点M2(6,-2,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,所以|MM2|=4,且MM2平行于z轴,点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置了.
解法三:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为6,2,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴,y轴负半轴,z轴正半轴上,则长方体上与顶点O相对的顶点即为所求的点M.
根据点的坐标确定点的位置
从原点O(0,0,0)出发沿x轴移动|x0|个单位长度得到P1(x0,0,0),再沿与y轴平行的方向移动|y0|个单位长度得到P2(x0,y0,0),再沿与z轴平行的方向移动|z0|个单位长度得到P(x0,y0,z0),其中x0,y0,z0的正负决定沿坐标轴的正负方向移动.
【变式1】（24-25高二下·全国·课堂例题）在空间直角坐标系中描出点．
【答案】答案见解析
【解析】方法一：第一步：从原点出发沿轴正方向移动3个单位长度．
第二步：沿与轴平行的方向向轴正方向移动4个单位长度．
第三步：沿与轴平行的方向向轴正方向移动5个单位长度，即得点（如图所示）．
方法二：以为顶点构造长方体，使这个长方体在点处的三条棱分别在轴、轴、轴的正半轴上，且棱长分别为3，4，5，如图，
则长方体与顶点相对的顶点即为所求点．
题型02 结合图形确定点的坐标（已建系）
【典例2-1】(多选)（24-25高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
【答案】ACD
【解析】由图形及其已知可得，点的坐标为
点关于点对称的点为
因为，所以四边形为菱形，
所以点关于直线对称的点为
点关于平面对称的点为
故选：ACD
【典例2-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,DC=4,DD1=3,以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
(1)求点B1,C1,D1,A的坐标;
(2)若点E为线段C1D1的中点,试求点E的坐标.[3]
【解析】(1)过点B1向三个坐标平面yDz,xDz,xDy作垂线,分别交平面yDz,xDz,xDy于点C1,A1,B,故|x1|=|B1C1|=2,|y1|=|B1A1|=4,|z1|=|BB1|=3,由图可知x、y、z均为正数,故点B1的坐标是(2,4,3).同理求得C1(0,4,3),D1(0,0,3),A(2,0,0).
(2)因为E是C1D1的中点,C1(0,4,3),D1(0,0,3),所以由中点坐标公式得,点E的坐标为,即为(0,2,3).
结合图形确定点的坐标的技巧
确定点的坐标时,最常用的方法就是求出与轴平行或重合的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行或重合的线段长度.
【变式2-1】（25-26高二上·广西百色·阶段练习）已知正方形的棱长为和相交于点，连接，如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由空间直角坐标系，且正方体棱长为1，可得，
又四边形为正方形，所以为的中点，故．
故选：A
【变式2-2】（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ．
【答案】.
【解析】连接，如下图所示：
因为，，则，
因为为的中点，则，故为等边三角形，
故，且，
故点，即点.
题型03 由图形确定点的坐标（未建系）
【典例3】在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
【分析】建立空间直角坐标系,求出有关线段的长,再写出各点的坐标.
【解析】如图所示,取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO,OO1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC,OO1⊥BO,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
∵三棱柱各棱长均为1,∴OA=OC=O1C1=O1A1=,OB=,
∵点A,B,C均在坐标轴上,
∴A,B,
C.
∵点A1,C1在yOz平面内,∴A1,C1.
∵点B1在xOy平面内的射影为点B,且BB1=1,
∴B1,∴各点的坐标分别为A,B,C,A1,B1,C1.
【技巧点拨】需注意的是，空间中点的坐标受到空间直角坐标系的制约，同一个点在不同的空间直角坐标系中的坐标是不同的，故本题若建立其他的空间直角坐标系，则得到各点的坐标也会随之改变.
确定空间中点的坐标的两种方法
(1)垂面法:即找到点P在三条坐标轴上的投影.方法是过点P作三个平面分别垂直x轴、y轴、z轴于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则(x,y,z)就是点P的坐标.
(2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1,由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
【变式3-1】（24-25高二下·全国·课前预习）建立适当的空间直角坐标系，写出底面边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．
【答案】答案见解析
【解析】以的中点为原点，分别以有向直线，为轴、轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意知，，从而可知各顶点的坐标分别为，，，，，．（答案不唯一）
【变式3-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．试建立合适的空间直角坐标系，并求出点的坐标．
【答案】．
【解析】在四棱锥中，，
以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，
轴正方向指向平面正上方，建立如图所示的空间直角坐标系，
，设点，
由是以为斜边的等腰直角三角形，，得，
则，而，解得，
即得点，因为中点，则点的坐标为.
题型04 计算空间两点间的距离
【典例4-1】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为点到平面的距离为，到平面的距离为，
所以它们的比值等于.
故选：C.
【典例4-2】已知△ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5).
(1)求△ABC中最短边的边长;
(2)求AC边上中线的长度.
【解析】(1)由空间两点间的距离公式得
|AB|==3,
|BC|==,
|AC|==,
∴△ABC中最短的边是BC,其长度为.
(2)由中点坐标公式得,AC的中点坐标为,
∴AC边上中线的长度为=.
计算空间两点间的距离
(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.
(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式.
【变式4-1】（25-26高二上·湖北·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于平面的对称为点，则线段MN的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【详解】点关于原点的对称点，点关于平面的对称点，
所以.
故选：A
【变式4-2】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.
(1)求的坐标；
(2)求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图，由题意可知，
因，则 .
（2）为的中点，.
是上的靠近点的三等分点，.
由两点间的距离公式，得.
题型05 利用距离公式确定点的坐标
【典例5-1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
由题意可得，解得，
所以点的坐标为，
故选：B
【典例5-2】已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，若点P(x，0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．
【分析】由PA⊥AB，PA⊥AC可得△PAB，△PAC均为直角三角形，从而可利用勾股定理构造关于x,z的方程组求解.
【解析】∵PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，
∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即
(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，
即x＋z＝1， ①
又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，
∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，
即2x＋z＝0， ②
由①②得
∴点P的坐标为(－1，0，2)．
利用空间两点间的距离公式确定点的坐标
设出点的坐标,利用空间两点间的距离公式构造方程求解.此外,要注意点的坐标的巧设,如在x轴上的点可设为(x,0,0),在xOy平面上的点可设为(x,y,0).
【变式5-1】（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平面内求一点，使它与三个已知点，，等距离.
【答案】
【解析】根据题意可设点坐标为，
由空间两点间距离公式可得：
，
，
，
根据题意可得：，
即，
所以，
解得：，
故点坐标为.
【变式5-2】在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），试问
（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
【分析】假设存在符合条件的点M,并设出点M的坐标，构造相应的方程，若方程有解，则点M存在，否则点M不存在.
【解析】（1）假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|．
因M在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，
可得，
显然，此式对任意y∈R恒成立．
这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．
所以存在无数点M，满足|MA|=|MB|．
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|=|MB|，
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
因为|MA|=
于是，解得
故y轴上存在点M使△MAB等边，
M坐标为（0，，0），或（0，，0）．
题型06 利用距离公式判断三角形的形状
【典例6】已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试判断该三角形的形状.
【分析】可以先利用空间两点间的距离公式求出三边的长,再探究三边长的关系,从而确定三角形的形状.
【解析】 |AB|==3,
|BC|==3,
|AC|===3.
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2=18,
∴△ABC是等腰直角三角形.
【技巧点拨】从边长入手是判断三角形形状问题的突破口,而两点间的距离公式恰恰是求三角形边长的一大“利器”.
根据两点间的距离公式判断三角形的形状
利用空间两点间的距离公式求出三边长,若三边长相等,则为等边三角形;若两边的平方和等于第三边的平方,则为直角三角形;若只有两条边相等,则为等腰三角形.
【变式6-1】（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知，，，则这三点（ ）
A．构成直角三角形 B．构成等腰三角形 C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形
【答案】B
【详解】因为，
，
,
所以，，
所以能构成等腰三角形，
故选：B
【变式6-2】（25-26高二上·河北·阶段练习）设空间直角坐标系中，点，则是（ ）
A．以为直角顶点的等腰直角三角形
B．以为直角顶点的等腰直角三角形
C．以为直角顶点的等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】因，
则，
，
，
因为，且，
所以是以为直角顶点的等腰直角三角形.
故选：B.
题型07 利用空间距离求轨迹
【典例7】求到两点A(2,3,0),B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件.
【解析】设P(x,y,z),则|PA|=,
|PB|=.
∵|PA|=|PB|,∴=.
化简得6x-4y-13=0,
∴点P的坐标满足的条件为6x-4y-13=0.
求空间中动点的轨迹方程的步骤
与平面内点的轨迹方程求法相仿，求空间中动点的轨迹方程的步骤可归纳为：设点，找等量关系，根据等量关系列方程，化简方程即得所求.
【变式7-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，已知点在棱长为4的正方体的表面上运动，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若点满足，则点的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可知，点在以为球心，3为半径的球上，
因为点在正方体的表面上，
所以点的轨迹长为3个半径为3的四分之一的圆，
所以轨迹长为.
故选：C.
【变式7=2】（20-21高三下·浙江·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】正四面体放入正方体，则正方体的棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，
，设，
，.
由于，，所以，
即，
即，
即，
表示球心为，半径为的球.
表示垂直于平面的一个平面.
所以的轨迹是上述平面截球面所得圆.
球心到平面的距离为，
所以截得的圆的半径，
所以截得的圆，也即点的轨迹的长度为.
故选：C
题型08 空间距离的最值问题
【典例8】已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0(1)求MN的长;
(2)a为何值时,MN的长最短
【分析】本题可建立空间直角坐标系,利用坐标系求解.
【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
所以BE⊥平面ABC,所以AB,BC,BE两两垂直.
以B为原点,BA,BE,BC所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则M,N,
所以|MN|=
==.
(2)因为|MN|=,所以当a=时,|MN|min=.
【技巧点拨】合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键,而研究某量的最值问题通常将这个量表示为某一个已知量的函数,通过函数的最值来判断.
【变式8-1】已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|.
【解析】由空间两点间的距离公式得
|AB|=
=
=,
当x=时,|AB|取得最小值,为=.
此时A,B.
【变式8-2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，.在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，并求出点M的坐标.
【答案】
【解析】在棱长为1的正方体中，
因为，又，
设，
则，解得，
所以点P的坐标为，
由得，
设线段上一点M的坐标为，，
则有，
当时，最小，所以点M的坐标为.
1．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】点关于点的对称点的坐标是，即.
故选：A
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知空间中两点，，且，则实数x的值是（ ）
A． B．或6 C． D．或2
【答案】B
【详解】因为，，所以，
所以，解得或6.
故选：B
3．已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得.
【解析】因为，，
所以所以，当且仅当时取等号.
故选：A
4．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状不确定
【答案】B
【详解】由，，，
可得,
,
故,
因此是等腰直角三角形，
故选：B
5．（23-24高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为，且点到的距离为，则的值为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【详解】由题意可知，满足题意时，以点为球心，半径为的球面与以点为球心，半径为的球内切，所以，球心距等于两球半径之差的绝对值，
即，解得或.
故选：B.
6．（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】连接，取的中点，可知为的外心，
过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上，
设，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为，即，
整理得，当且仅当，即时，等号成立，
所以三棱锥外接球半径的最小值为.
故选：C.
7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为点的轨迹与侧面相交，
所以点的轨迹在侧面内，
由长方体性质可知：都与平面垂直，
而在平面内，所以，
由，
可知，即，故，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，故所求点满足，
化简得，
故所求的即为此圆在矩形内的部分，
即圆心角为，半径为2的圆弧，长度为．
故选：D

8．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，设,则由，可求得，利用空间两点之间距离公式和二次函数的最值求出线段长度的范围即可.
【解析】如图所示，以为原点，以,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向，
建立空间直角坐标系，则、、、、、
.设，由点是上的动点，知，即
，∴ ，故，
∴
所以.
故选：A
二、多选题
9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为
B．点在平面Ozx面上
C．点，的中点坐标是
D．两点，间的距离为3
【答案】BCD
【解析】由题意，对A，点 关于坐标平面的对称点的坐标为，A错误;
对于B，点 的坐标为 0，则点 在平面上，B正确;
对于C，点与点，则的中点坐标是，C正确;
对于 D，两点，间的距离为：，D正确.
故选：BCD.
10．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（ ）
A．若点，关于平面对称，则
B．若点，关于轴对称，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据空间点对称法则求得对称点的坐标求解即可判断AB，根据空间向量垂直的坐标运算求解判断C，根据空间两点距离公式列式化简即可判断D.
【解析】对A，若点，关于平面对称，则，
所以，故A错误；
对B，若点，关于轴对称，则，
所以，故B正确；
对C，若，则，故C正确；
对D，若，则，
所以，两式相减得，故D错误.
故选：BC
11．（2024·河南·三模）空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，则下列说法正确的有（ ）
A．存在定直线，使得上的点到的距离是定值
B．存在定点，使得上的点到的距离为定值
C．的长度是个定值，且这个定值小于14
D．是上任意两点，则的距离的最大值为4
【答案】ACD
【解析】由题意空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，可知，点的轨迹为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周。
对于A，为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周，所以存在定直线即为轴，使得上的点到的距离是定值为1，A正确；
对于B，根据轨迹可得不存在定点，使得上的点到的距离为定值，B错误；
对于C，轨迹的长度是，C正确；
对于D, 是上任意两点，则的距离的最大值为4,D正确；
故选：ACD
三、单选题
12.在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为　　　　
【答案】
【解析】设C点坐标为(0,0,z),则=,∴10+(z-1)2=8+(z-3)2,
解得z=.∴C.
13．（24-25高二下·全国·课后作业）点的坐标满足，点，则的最小值是 .
【答案】3
【解析】在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面，
由于，故点A在球外，
所以当O，P，A三点共线时，最小，
此时.
14．（25-26高二上·山东·阶段练习）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，设，由于，所以，
则，
则，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以时，取得最小值为，所以.
四、解答题
15.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图
所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，
D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
16．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，．
(1)求的余弦值；
(2)求三角形的面积．
【分析】（1）利用空间两点间的距离，求出长，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，求出，，，再利用三角形面积公式即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，，，
由余弦定理得，.
（2）由（1）知，，
所以.
17.已知空间的两点
(1)求两点的距离；
(2)在轴上求一点使；
(3)在平面内的点到点与到点等距离，求点的轨迹．
【解析】（1）由空间中两点间的距离公式可知；
（2）设则由已知得，
即，解得；所以点坐标为．
(3)设则有
，
整理可得故点的轨迹是平面内的一条直线．
18．（24-25高二上·上海·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.

(1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)证明：平面；
(3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值.
【详解】（1）由平面平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是.
（2）因为底面，在底面内，
所以，由底面为长方形，有，
而，都在平面内，
所以平面平面，所以
又因为，点是的中点，所以，而，都在平面内，
所以平面
（3）

由题意，如图建立空间直角坐标系，设，，，
所以
当且仅当时，取得最小值.
19．（24-25高二上·上海·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若．
(1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积；
(2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值．
【分析】（1）根据正四面体的表面积即可求解，利用割补法，结合体积公式即可求解；
（2）建立空间坐标系，利用点点距离即可求解.
【详解】（1）因为，所以．
蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，
故该几何体的表面积为．
该几何体的体积为
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
，
当且仅当，时，等号成立．
故PQ的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 空间直角坐标系
教学目标 1通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间两点间的距离公式.
教学重难点 1.教学重点：建立空间直角坐标系、求点的坐标、空间两点间距离公式的应用. 2.教学难点：建立恰当的空间直角坐标系.
知识点01 空间直角坐标系
1．建立空间直角坐标系
(1)在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与平面垂直的z轴，如图所示，就建立了三个维度的空间直角坐标系，可记为空间直角坐标系 .
(2)在空间直角坐标系O-xyz中，点叫做坐标原点，轴，轴，轴统称为 ,由坐标轴确定的平面叫作 ，x,y轴确定的平面记作 ,y，z轴确定的平面记作 ，z,x轴确定的平面记作 .
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手四指与大拇指垂直，并使四指先指向轴的正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向轴的正方向，此时大拇指指向即为 ，则称这样的坐标系为右手系，如图所示.
说明：如无特别说明，我们通常建立的坐标系均为右手直角坐标系.
【知识归纳】
空间直角坐标系的作图原则
1.使x轴正方向与y轴正方向、x轴正方向与z轴正方向所成的角为,z轴垂直于y轴.
2.y轴与z轴的单位长度相等，x轴的单位长度为y轴(z轴)单位长度的一半.
【即学即练】
1．下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是（将正确的序号填全填上）.
2.如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB⊥底面BCD,BC⊥BD,请叙述如何建立空间直角坐标系.
知识点02 空间直角坐标系中点的坐标
1.空间中点的坐标表示
在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组来表示，有序实数组叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点P的 （即横坐标），叫做点P的 （即纵坐标），叫做点P的 （即竖坐标）.
2.空间中点的坐标的确定
给定空间直角坐标系中任意一点P.
(1)如图①,当点P在xOy平面上时,在xOy平面直角坐标系中,点P的坐标是(x,y),我们把x,y分别看作点P在空间直角坐标系中的x坐标、y坐标,点P的z坐标取0,即点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,0).
(2)如图②,当点P不在xOy平面上时,过点P作xOy平面的垂线,垂足为P',点P'的坐标为(x,y,0),我们把x,y分别看作点P在空间直角坐标系中的x坐标、y坐标,用实数z来表示点P的z坐标,即点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z).
【深度剖析】
在数轴上一个实数便确定了一个点的位置，在平面直角坐标系中，则需一对有序实数(x,y)确定一个点的位置，而在空间直角坐标系中，则是由三个实]数组成的有序实数组（x,y,z）才能确定一个点的位置.
3.空间点与坐标之间的对应关系
空间直角坐标系中,点与点的坐标之间建立了一一对应关系,即对于空间直角坐标系内的任一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,反之,任何一个三元有序数组(x,y,z)都可以确定空间中的一个点P.
4.空间中特殊点的特征
（1）坐标原点的坐标:O(0,0,0).
（2）坐标平面上点的坐标特征如下表:
坐标平面 xOy平面 xOz平面 yOz平面
坐标特点 z=0 y=0 x=0
点的坐标 (x,y,0) (x,0,z) (0,y,z)
　　（3）坐标轴上点的坐标特征如下表:
坐标轴 x轴 y轴 z轴
坐标特点 y=0,z=0 x=0,z=0 x=0,y=0
点的坐标 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
【即学即练】
1.点A(-1,2,0)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.z轴上 B.xOy平面上 C.yOz平面上 D.zOx平面上
2.点B(0,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.x轴上 B.y轴上 C.z轴上 D.xOy平面上
知识点03 空间中两点间的距离公式（重点）
　1.长方体体对角线的长度
如果一个长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对角线的长为d=______________,,即长方体的对角线长度的平方等于长方体的三度(长度、宽度、高度)的_______
特别地,棱长为a的正方体的体对角线长为_________
　　2.空间两点间的距离公式
　(1)距离公式:空间中任意两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)间的距离
|M1M2|= .
特别地,空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离为|=
(2)距离公式的推导:
设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间任意两点,我们作长方体,如图所示,M1M2为长方体的对角线,长方体的每一条棱都与坐标轴平行,要求M1M2的长,只需求出PN,M1P和NM2的长.由于M1P平行于x轴,所以|M1P|=|x2-x1|,同理,|PN|=|y2-y1|,|NM2|=|z2-z1|,再利用勾股定理,就有|M1M2|=,即|M1M2|= ,这就是空间两点间的距离公式.
【深度剖析】
(1)公式中x1与x2,y1与y2,z1与z2的位置可以互换.
(2)可类比平面上两点间的距离公式记忆,记忆口诀:对应减,平方加,开根号.
(3)当z1=z2=0时,这两点都在xOy平面上,此公式即为平面上两点间的距离公式.
【即学即练】
1.求下列距离:
(1)A(1,1,0)、B(3,4,1)两点间的距离;
(2)C(-3,1,5)到平面yOz的距离;
(3)D(4,-2,3)到y轴的距离.
知识点04 空间直角坐标系中的中点坐标公式（重点）
已知空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0),
则
这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,它是平面直角坐标系中的中点坐标公式的拓展.
【深度剖析】
空间中点坐标公式可以看作平面内中点坐标公式的升级版,只是比平面内的坐标多了一个竖坐标而已
【即学即练】
1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点M在平面上的射影点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点05 空间中点的对称问题（拓展）
在空间直角坐标系内,已知点P(x,y,z),则有:
①点P关于原点的对称点是P1(-x,-y,-z);
②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x,-y,-z);
③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(-x,y,-z);
④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(-x,-y,z);
⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x,y,-z);
⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(-x,y,z);
⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x,-y,z).
【即学即练】
1．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型01 根据坐标作出空间中的点
【典例1】在空间直角坐标系中,作出点M(6,-2,4).
【解析】解法一:如图所示,从原点出发沿x轴正方向平移6个单位长度得到点M1,再将M1沿与y轴平行的方向向左平移2个单位长度得到点M2,然后将M2沿与z轴平行的方向向上平移4个单位长度即得点M.
解法二:先确定点M2(6,-2,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,所以|MM2|=4,且MM2平行于z轴,点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置了.
解法三:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为6,2,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴,y轴负半轴,z轴正半轴上,则长方体上与顶点O相对的顶点即为所求的点M.
根据点的坐标确定点的位置
从原点O(0,0,0)出发沿x轴移动|x0|个单位长度得到P1(x0,0,0),再沿与y轴平行的方向移动|y0|个单位长度得到P2(x0,y0,0),再沿与z轴平行的方向移动|z0|个单位长度得到P(x0,y0,z0),其中x0,y0,z0的正负决定沿坐标轴的正负方向移动.
【变式1】（24-25高二下·全国·课堂例题）在空间直角坐标系中描出点．
题型02 结合图形确定点的坐标（已建系）
【典例2-1】(多选)（24-25高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
【典例2-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,DC=4,DD1=3,以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
(1)求点B1,C1,D1,A的坐标;
(2)若点E为线段C1D1的中点,试求点E的坐标.
结合图形确定点的坐标的技巧
确定点的坐标时,最常用的方法就是求出与轴平行或重合的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行或重合的线段长度.
【变式2-1】（25-26高二上·广西百色·阶段练习）已知正方形的棱长为和相交于点，连接，如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ．
题型03 由图形确定点的坐标（未建系）
【典例3】在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
【分析】建立空间直角坐标系,求出有关线段的长,再写出各点的坐标.
确定空间中点的坐标的两种方法
(1)垂面法:即找到点P在三条坐标轴上的投影.方法是过点P作三个平面分别垂直x轴、y轴、z轴于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则(x,y,z)就是点P的坐标.
(2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1,由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
【变式3-1】（24-25高二下·全国·课前预习）建立适当的空间直角坐标系，写出底面边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．
【变式3-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．试建立合适的空间直角坐标系，并求出点的坐标．
题型04 计算空间两点间的距离
【典例4-1】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【典例4-2】已知△ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5).
(1)求△ABC中最短边的边长;
(2)求AC边上中线的长度.
计算空间两点间的距离
(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.
(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式.
【变式4-1】（25-26高二上·湖北·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于平面的对称为点，则线段MN的长为（ ）
A． B． C．5 D．
为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.
(1)求的坐标；
(2)求线段的长度.
题型05 利用距离公式确定点的坐标
【典例5-1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，若点P(x，0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．
利用空间两点间的距离公式确定点的坐标
设出点的坐标,利用空间两点间的距离公式构造方程求解.此外,要注意点的坐标的巧设,如在x轴上的点可设为(x,0,0),在xOy平面上的点可设为(x,y,0).
【变式5-1】（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平面内求一点，使它与三个已知点，，等距离.
【变式5-2】在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），试问
（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
题型06 利用距离公式判断三角形的形状
【典例6】已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试判断该三角形的形状.
【分析】可以先利用空间两点间的距离公式求出三边的长,再探究三边长的关系,从而确定三角形的形状.
根据两点间的距离公式判断三角形的形状
利用空间两点间的距离公式求出三边长,若三边长相等,则为等边三角形;若两边的平方和等于第三边的平方,则为直角三角形;若只有两条边相等,则为等腰三角形.
【变式6-1】（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知，，，则这三点（ ）
A．构成直角三角形 B．构成等腰三角形
C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形
【变式6-2】（25-26高二上·河北·阶段练习）设空间直角坐标系中，点，则是（ ）
A．以为直角顶点的等腰直角三角形
B．以为直角顶点的等腰直角三角形
C．以为直角顶点的等腰直角三角形
D．等边三角形
题型07 利用空间距离求轨迹
【典例7】求到两点A(2,3,0),B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件.
求空间中动点的轨迹方程的步骤
与平面内点的轨迹方程求法相仿，求空间中动点的轨迹方程的步骤可归纳为：设点，找等量关系，根据等量关系列方程，化简方程即得所求.
【变式7-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，已知点在棱长为4的正方体的表面上运动，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若点满足，则点的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【变式7=2】（20-21高三下·浙江·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
题型08 空间距离的最值问题
【典例8】已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0(1)求MN的长;
(2)a为何值时,MN的长最短
【变式8-1】已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|.
【变式8-2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，.在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，并求出点M的坐标.
1．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知空间中两点，，且，则实数x的值是（ ）
A． B．或6 C． D．或2
3．已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
4．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状不确定
5．（23-24高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为，且点到的距离为，则的值为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
6．（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（ ）

A． B． C． D．
8．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为
B．点在平面Ozx面上
C．点，的中点坐标是
D．两点，间的距离为3
10．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（ ）
A．若点，关于平面对称，则
B．若点，关于轴对称，则
C．若，则
D．若，则
11．（2024·河南·三模）空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，则下列说法正确的有（ ）
A．存在定直线，使得上的点到的距离是定值
B．存在定点，使得上的点到的距离为定值
C．的长度是个定值，且这个定值小于14
D．是上任意两点，则的距离的最大值为4
三、单选题
12.在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为　　　　
13．（24-25高二下·全国·课后作业）点的坐标满足，点，则的最小值是 .
14．（25-26高二上·山东·阶段练习）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是 .
四、解答题
15.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
16．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，．
(1)求的余弦值；
(2)求三角形的面积．
17.已知空间的两点
(1)求两点的距离；
(2)在轴上求一点使；
(3)在平面内的点到点与到点等距离，求点的轨迹．
18．（24-25高二上·上海·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.

(1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)证明：平面；
(3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值.
19．（24-25高二上·上海·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若．
(1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积；
(2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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