资源简介

专题3.2 空间向量的坐标运算及应用
教学目标 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.
教学重难点 1.重点 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合. 2.难点 利用空间向量的坐标表示计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具
知识点01 空间向量的坐标表示
标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴 作 向量这三个 向量就构成空间向量的一组基，这组基叫作标准正交基.
正交分解
把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
3.向量在标准正交基下的坐标
(1)根据空间向量基本定理，对于任意一个向量都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z)，使得.
反之，任意给出一个三元有序实数组（x,y,z），也可找到唯一的一个向量与之对应.这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量在标准正交基下的坐标，记作，单位向量都叫作 ，实际上分别是向量在方向上的 .
(2)在空间直角坐标系中,若点P的坐标为(x，y，z)，则向量的坐标也是(x，y，z).
4.向量的坐标
若点A的坐标为，点B的坐标为，则
也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
【知识拓展】
向量坐标有关的重要结论
1.向量的坐标实质是向量的正交分解的系数.
2.两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即：
设,则.
3.与平面向量一样，空间向量起点在原点时，终点坐标就是向量坐标.
【即学即练】
1.如图,在直角坐标系中,有长方体OABC-,且OA=6,OC=8,
(1)写出点的坐标,给出关于的分解式;
(2)求的坐标.
知识点02 空间向量的坐标运算
1．空间向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
① ；
② ;
③ .
2．空间向量数量积的坐标运算
若，则 ,即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
3．空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
设,则
(1)空间向量的模： ；
(2)空间向量的夹角公式：
.
【即学即练】
1.已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知向量，，则等于（ ）
A．7 B． C．3 D．
3．（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 空间向量平行和垂直的条件
设,则
(1)若
(2)当都不为0时,
（3）
【即学即练】
1.（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）下列向量中，与共线的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ．
3．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为
题型01 空间向量的坐标表示
【典例1】在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（ ）
A． B．
C． D．
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点的坐标.
【变式1-1】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型02 空间向量的运算
【典例2-1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（24-25高二上·河北·阶段练习）若，则（ ）
A．-29 B．-22 C．22 D．29
空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有类似的运算法则，因此可以类比进行推导和记忆.
【变式2-1】已知满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在空间直角坐标系中，若，且，则（ ）
A． B． C．3 D．
题型03 空间向量的模长
【典例3-1】已知，向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知空间向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．14
若，则.
【变式3-1】在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
【变式3-2】已知，，且，则 ．
题型04 空间向量夹角大小
【典例4-1】已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【典例4-2】知向量，
(1)若，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【变式4-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
【变式4-3】已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；
题型05 空间向量平行与垂直
【典例5】（25-26高二上·天津·阶段练习）已知空间向量，，.
(1)若，求x；
(2)设，，求；
(3)若向量与向量共面，求实数x的值.
两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
【变式5-1】设，向量，，，且，，则（ ）
A．5 B．1 C． D．
【变式5-2】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）已知，且，则（　　）
A．2 B．6 C．1 D．
题型06 空间向量的共面问题
【典例6】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（ ）
A． B．
C． D．
在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。
【变式6-1】（多选）已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则不论取何值，四点都共面
D．若，则点到平面的距离为
【变式6-2】已知向量．
(1)若共面，求的值；
(2)若，求的值．
题型07 最值与范围问题
【典例7】已知空间四点．
(1)求以为邻边的平行四边形面积；
(2)若四点共面，求的值；
(3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．
涉及最值问题常用函数思想求解，即通过空间向量的坐标运算建立函数解析式，再利用函数思想求其最值.
【变式7-1】在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 .
【变式7-3】（25-26高二上·北京·阶段练习）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，．
(1)写出，写出（用含x的式子表示）；
(2)当，写出的最小值及此时x的值．
单选题
1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间向量，若，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知空间向量，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角满足 D．
10．（25-26高二上·广西河池·阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（25-26高二上·湖南·阶段练习）对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，是非零向量，且为零向量，则一定有
C．若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是
D．若，是非零向量，且，则，的夹角为
填空题
12．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）若空间三点，则的面积为 .
13．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，动点满足，其中，且，则点轨迹的面积为 ．
14.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ．
解答题
15．（25-26高二上·天津东丽·阶段练习）已知，，，，.
(1)求，，；
(2)求与所成角的余弦值.
16．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，，.
(1)若，求；
(2)若不构成空间的一组基，求x的值.
17．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为2，且分别为线段与线段的中点．
(1)求线段的长；
(2)证明：；
(3)用空间向量法证明：直线与直线为一组异面直线．
18．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知空间三点，，．
(1)求线段中点的坐标，和线段的长度；
(2)求直线和直线夹角的余弦值；
(3)若点在直线上，且，求点的坐标．
19．（2025高三·全国·专题练习）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的两点.
(1)若，求；
(2)证明：.
(3)记的面积为，证明.
(4)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.2 空间向量的坐标运算及应用
教学目标 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.
教学重难点 1.重点 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合. 2.难点 利用空间向量的坐标表示计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具
知识点01 空间向量的坐标表示
标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基，这组基叫作标准正交基.
正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
3.向量在标准正交基下的坐标
(1)根据空间向量基本定理，对于任意一个向量都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z)，使得.
反之，任意给出一个三元有序实数组（x,y,z），也可找到唯一的一个向量与之对应.这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量在标准正交基下的坐标，记作，单位向量都叫作坐标向量，实际上分别是向量在方向上的投影数量.
(2)在空间直角坐标系中,若点P的坐标为(x，y，z)，则向量的坐标也是(x，y，z).
4.向量的坐标
若点A的坐标为，点B的坐标为，则
也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
【知识拓展】
向量坐标有关的重要结论
1.向量的坐标实质是向量的正交分解的系数.
2.两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即：
设,则.
3.与平面向量一样，空间向量起点在原点时，终点坐标就是向量坐标.
【即学即练】
1.如图,在直角坐标系中,有长方体OABC-,且OA=6,OC=8,
(1)写出点的坐标,给出关于的分解式;
(2)求的坐标.
【解析】(1)因为OA=6,OC=8, 所以点的坐标为(6,8,5),
从而
(2)因为点的坐标是(0,8,5),所以.
知识点02 空间向量的坐标运算
1．空间向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①
②;
③.
2．空间向量数量积的坐标运算
若，则,即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
3．空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
设,则
(1)空间向量的模：；
(2)空间向量的夹角公式：
.
【即学即练】
1.已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，，则，
所以.
故选：A
2．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知向量，，则等于（ ）
A．7 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算法则求出的坐标，进而得到.
【详解】因为向量，，所以.
所以.
故选：B.
3．（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量夹角的坐标公式计算后判断.
【详解】因为，，
所以向量与的夹角余弦值为.
故选：D.
知识点03 空间向量平行和垂直的条件
设,则
(1)若
(2)当都不为0时,
（3）
【即学即练】
1.（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）下列向量中，与共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的共线定理，即可求解.
【详解】因为，所以与共线.
故选：C
2.已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ．
【答案】或
【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于的等式表示出来，然后求出的值.
【详解】由题意知所在的直线平行，
，，
共线的充要条件是
显然，，符合题意.
当时，由，得
代入，得
综上，的值为1或.
3．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为
【答案】
【分析】由向量数量积的几何意义即可求.
【详解】向量，，，
所以，解得，所以，，
所以向量在向量上的投影的数量为.
题型01 空间向量的坐标表示
【典例1】在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标.
【详解】因为点关于轴的对称点为点，则，
因为点关于平面的对称点为点，则，
因此，.
故选：A.
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点的坐标.
【变式1-1】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解.
【详解】因为，则点关于轴对称的点为，
又，则点关于平面对称的点为.
所以.
故选：B.
【变式1-2】已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果.
【详解】设，因为，且，
则，所以，即.
故选：A
题型02 空间向量的运算
【典例2-1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，
所以则.
故选：A.
【典例2-2】（24-25高二上·河北·阶段练习）若，则（ ）
A．-29 B．-22 C．22 D．29
【答案】A
【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案.
【详解】由，得，
所以．
故选：A．
空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有类似的运算法则，因此可以类比进行推导和记忆.
【变式2-1】已知满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值．
【详解】由已知，，
所以，
又，所以.
故选：D.
【变式2-2】在空间直角坐标系中，若，且，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得，所以，
则，所以.
故选：D.
题型03 空间向量的模长
【典例3-1】已知，向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据向量平行得出，，再计算模长即可.
【详解】因为，所以，解得，，
则，．
故选:A．
【典例3-2】已知空间向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．14
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解.
【详解】因为与垂直，
所以，解得，
所以，
故.
故选：B
若，则.
【变式3-1】在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得.
【详解】由，，可得，
由，可得，解得.
故选：A.
【变式3-2】已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故，所以，故．
故答案为：．
题型04 空间向量夹角大小
【典例4-1】已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值；
（2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值.
【详解】（1）因为向量，，且，则，解得，
所以，，则，
故.
（2），
所以，.
因此，向量与夹角的余弦值为.
【典例4-2】知向量，
(1)若，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出；
（2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为，所以，解得：；
（2）因为向量与所成角为锐角，
所以，且与不同向共线，
由（1）知，，，
故，
解得且，即的取值范围为且.
两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【变式4-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解.
【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线，
由，得，解得，
若共线，得，解得，因此当不共线时，，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【变式4-2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
【答案】C
【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D.
【详解】对于A：因为，且，所以，
即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B错误；
对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；
对于D：因为，，
若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；
故选：C
【变式4-3】已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解；
（2）由夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，又因为，
所以．
（2）因为，，
所以．
题型05 空间向量平行与垂直
【典例5】（25-26高二上·天津·阶段练习）已知空间向量，，.
(1)若，求x；
(2)设，，求；
(3)若向量与向量共面，求实数x的值.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由，利用即可求解；
（2）由，得存在实数，使得，进而得，又由，解出即可求解；
（3）由向量与向量共面，存在有序实数对，使得，由向量坐标运算得，解出即可求解.
【详解】（1）由，所以，解得；
（2）由，所以存在实数，使得，即，
又因为，所以，解得，
当时，，当时，；
（3）由向量与向量共面，存在有序实数对，使得，
所以，
所以，解得，
所以.
两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
【变式5-1】设，向量，，，且，，则（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解.
【详解】由有存在，所以，
由有，所以，所以，
故选：D.
【变式5-2】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）已知，且，则（　　）
A．2 B．6 C．1 D．
【答案】B
【分析】求出和的坐标，利用向量平行的公式求解即可.
【详解】向量，
则
因，于是得，
解得，故．
故选：B．
题型06 空间向量的共面问题
【典例6】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，、、，
则，，，
因为、、、四点共面，设，
即，
可得，消去、可得，即，
故选：A.
在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。
【变式6-1】（多选）已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则不论取何值，四点都共面
D．若，则点到平面的距离为
【答案】ACD
【分析】根据向量的垂直关系可判断A的正误，根据向量模的计算可判断B的正误，根据四点共面的判断方法可判断C的正误，取，则可得点到平面的距离即为，故可判断D的正误.
【详解】对于A，，因为，故，
所以，
因为单位向量两两的夹角为，所以，
所以，故，故A正确；
对于B，，因为单位向量两两的夹角为，
故即，故B错误；
对于C，，
所以，，，
故，故，
又共起点，故四点共面，故C正确；
对于D，，
取，则，
因为，故共面，而，，
因为单位向量两两的夹角为，所以，
则，
故，同理，故平面，
故到平面的距离为
故D正确；
故选：ACD.
【变式6-2】已知向量．
(1)若共面，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解；
（2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.
【详解】（1）与不平行，
共面，
存在实数，使得，即，解得，
故实数的值为8．
（2），且，
，
即，解得．
题型07 最值与范围问题
【典例7】已知空间四点．
(1)求以为邻边的平行四边形面积；
(2)若四点共面，求的值；
(3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
(3)
【分析】（1）求出和，进而得到，由面积公式求出答案；
（2）由四点共面，设，从而得到方程组，求出的值；
（3）设直线和直线的夹角为，利用向量夹角公式求出.
【详解】（1），
又，
，
，
，
四边形的面积为．
以为邻边的平行四边形的面积为12．
（2）由题意，得，
四点共面，
存在唯一一对实数使得，
，
解得：，
故的值为．
（3），
设直线和直线的夹角为，
，
，故，，
因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是
涉及最值问题常用函数思想求解，即通过空间向量的坐标运算建立函数解析式，再利用函数思想求其最值.
【变式7-1】在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，
过点作⊥于点，设，，
则，所以，
显然∽，故，即，
故，则，
，
，
，
故当时，取得最小值，最小值为
故选：B
【变式7-2】已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 .
【答案】 ； .
【分析】以为原点建立适当空间直角坐标系，设，利用取得最小值时，为异面直线和的公垂线段，进而得且，利用向量垂直坐标表示即可求出参数s和t，进而利用向量坐标运算即可计算求解.
【详解】由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，设，
所以，
当取得最小值时，为异面直线和的公垂线段，
所以此时且，
故，
所以取得最小值时，，，
所以的最小值为，
此时.
故答案为：；.
【变式7-3】（25-26高二上·北京·阶段练习）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，．
(1)写出，写出（用含x的式子表示）；
(2)当，写出的最小值及此时x的值．
【答案】(1),；
(2)的最小值为4，.
【分析】（1）由的定义即可求解.
（2）画出图像数形结合求解.
【详解】（1）由题可知：
,.
（2），
，.
在同一个坐标系中作出的图像如下图所示：
因为，
则函数的图像是图中加粗部分折线，
由，得，则，
由，得，则，
由图可知，当时，有最小值4.
单选题
1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则，即可求得答案.
【详解】由题意可得.
故选：A
2．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】设点坐标为，则，
因为、，所以，，
所以，，，，则点的坐标为．
故选：A．
3．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间向量，若，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】先求出的坐标，再根据空间向量的模的坐标公式求出即可得解.
【详解】由已知得，则，
即，可得，因此.
故选：C.
4．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据四点共面，可得存在唯一实数对，使得，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】因为四点共面，所以与共面，
又向量不共线，
即存在唯一实数对，使得，
所以，
所以，解得，
故选：B.
5．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知空间向量，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过空间向量垂直的坐标运算求得，然后计算出，最后利用求解最小值即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故的最小值为.
故选：A
6．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过点在直线OP上运动可得点，然后利用空间向量数量积的坐标运算得，利用二次函数性质求得最小值及点的坐标即可.
【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有，
因此，，
于是得，
则当时，有最小值，此时，点．
故选：C
7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设，根据为等腰梯形列方程组，由此求得点的坐标.
【详解】设,
由题意得,,
因为为等腰梯形,所以，且,
所以，
解得，即.
故选：B
8．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算结合夹角公式求出，再根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】由，
可得，
则，
则，
，故，
则以为邻边的平行四边形的面积为
，
故选：A
多选题
9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角满足 D．
【答案】ABC
【分析】对A，由向量数量积坐标运算求解判断；对B，由向量的模长公式求解判断；对C，由向量的夹角公式求解；对D，由空间向量垂直的坐标关系求解判断.
【详解】对于A，由向量的数量积坐标运算得，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，由题意，，所以，故C正确；
对于D，由，所以与不垂直，故D错误.
故选：ABC.
10．（25-26高二上·广西河池·阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】选项A，由坐标运算，先求出，从而求出；选项B，利用向量的数量积坐标运算求出；选项C，由坐标运算，求出和，从而得解；选项D，利用坐标运算，求出和，使用公式求解即可.
【详解】选项A，，，
，故选项A正确；
选项B，，
，故选项B正确；
选项C，，
，
，
则与不垂直，故选项C错误；
选项D，，，，
则，故选项D正确.
故选：ABD.
11．（25-26高二上·湖南·阶段练习）对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，是非零向量，且为零向量，则一定有
C．若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是
D．若，是非零向量，且，则，的夹角为
【答案】ABC
【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可.
【详解】对于A，由定义可得：，正确，
对于B，由为零向量，可得，
因为，是非零向量，所以存在非零常数，使得，
即
，B正确，
对于C，由，
则，
，
由于，是平面内的两个不共线的向量，所以平面的法向量可以是，正确；
对于D，取 ，
则，则， ，
满足，
而此时，夹角为，D错误，
故选：ABC
填空题
12．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）若空间三点，则的面积为 .
【答案】
【分析】利用空间向量模及夹角的坐标表示，结合三角形面积公式求解.
【详解】依题意，，，则，，
，在中，，
所以的面积为.
13．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，动点满足，其中，且，则点轨迹的面积为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，点，利用共面向量定理的推论可得点在平面内，进而确定轨迹图形并求出面积.
【详解】令，则，
由，得，
由，得点在平面内，
设，由，
得，且，
又，则，
因此点轨迹是，
因为，
则，
所以点轨迹的面积为.
14.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标，
因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，
设，，则，
故，所以，
则，
因为为钝角，而三点不共线，
故，
解得，即的取值范围为.
故答案为：.
解答题
15．（25-26高二上·天津东丽·阶段练习）已知，，，，.
(1)求，，；
(2)求与所成角的余弦值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据题意结合向量平行、垂直的坐标运算求，即可得，，；
（2）先求与，结合向量的坐标运算求夹角余弦值.
【详解】（1）因为，，，
若，则存在实数，使得，
可得，解得，
即，，
若，则，解得，即.
（2）因为，，，
则，，
可得，，，
所以与所成角的余弦值为.
16．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，，.
(1)若，求；
(2)若不构成空间的一组基，求x的值.
【答案】(1)5；
(2).
【分析】（1）利用空间向量垂直关系的坐标表示求出，进而求出的坐标，再利用坐标求出模.
（2）利用空间基底的意义，结合共面向量定理列式求解.
【详解】（1）由，得，解得，则，而，
因此，所以.
（2）由不构成空间的一组基，得向量共面，设，
即，因此，解得，
所以x的值是.
17．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为2，且分别为线段与线段的中点．
(1)求线段的长；
(2)证明：；
(3)用空间向量法证明：直线与直线为一组异面直线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据空间向量法即可证明；
（3）根据空间向量法，逐次证明与不平行、不相交、不重合三种情况即可．
【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由于分别为线段与线段的中点，
故，则．
（2），由于，
故．
（3）．由于，故与不平行，
假设与相交，设实数，则线段上的点坐标为，
线段上的点坐标为，
由于与相交，则存在，使，而方程无解，故与不相交，
综上，直线既不平行也不相交，且显然不重合，故与是一组异面直线．
18．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知空间三点，，．
(1)求线段中点的坐标，和线段的长度；
(2)求直线和直线夹角的余弦值；
(3)若点在直线上，且，求点的坐标．
【答案】(1)线段中点的坐标为，线段的长度为，
(2)直线和直线夹角的余弦值为，
(3)点的坐标为.
【分析】（1）由中点公式求的中点，再求的坐标，由此可求的长度；
（2）由已知求，，再由向量夹角公式求，由此可求结论；
（3）设，根据，求出的坐标，再由向量垂直数量积等于列方程求得的值即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以线段中点的坐标为，
由已知，
所以，
所以线段的长度为，
（2）因为，，，
所以，，
所以，
所以直线和直线夹角的余弦值为，
（3）因为，，，
所以，
因为点在直线上，
设，
，
，
因为，所以，
所以，
解得：，故，
所以点的坐标为.
19．（2025高三·全国·专题练习）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的两点.
(1)若，求；
(2)证明：.
(3)记的面积为，证明.
(4)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)证明见解析
【分析】（1）由向量叉乘的定义直接求解即可；
（2）设，根据叉乘的运算表示和即可证明；
（3）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后根据（1）的运算证明即可；
（3）由（3），通过变形可得，即可证明.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）证明：设，
则
，
将与互换，与互换，与互换，可得，故.
（3）证明：因为，
故，
故要证，只需证，
即证.
由（1），
，
可得，
又因为，，，
所以
所以，故.
（4）证明：由（3）可知，
得，
故，
故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑