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专题2.1 圆的标准方程
教学目标 1.圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程； 2.圆的标准方程； 3.能够判断点与圆的位置关系.
教学重难点 1.重点 (1) 求圆的标准方程； (2) 圆的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导圆的标准方程； (2)与圆有关的最值问题．
知识点01 圆的标准方程（重点）
1.圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 圆A可用集合表示为：
2.圆的标准方程
我们把 （r>0） 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程．
【知识剖析】
（1）所谓“标准”方程，是指方程的形式，它的优点在于明确地指出了圆心和半径；
（2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．
【即学即练】
1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.
【解析】根据圆的标准方程，
即可得圆心坐标为，半径为.
故选：D
2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径.
(1)x2+y2=2;
(2)(x-3)2+y2=a2(a≠0);
(3)(x+2)2+(y+1)2=b2(b≠0).
【解析】(1)圆心(0,0),半径为.
(2)圆心(3,0),半径为|a|.
(3)圆心(-2,-1),半径为|b|.
【易错警示】由圆的标准方程写出圆心和半径时,要注意半径长不是方程中的r2,而是|r|.
知识点02 点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
点在圆外、点在圆上、点在圆内(如图所示).
2.判断点与圆的位置关系的方法
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MC│＝r 点M在圆C上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 │MC│点在圆外 │MC│>r 点M在圆C外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【即学即练】
1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定
【答案】A
【分析】先求点到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置关系.
【解析】因为圆的圆心为：，半径为：1.
由点与圆心的距离为：，
又.
所以点在圆外.
故选：A
2.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内B．点P在圆外
C．点P在圆上D．不确定
【答案】B
【解析】由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．
知识点03 几种特殊位置的圆的标准方程（拓展）
条件 标准方程的形式
圆心在原点 x2+y2=r2(r>0)
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2(r>0)
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
【即学即练】
1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
【答案】A
【解析】设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
2．圆心为点P(－2,3),且与y轴相切的圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝4 B.(x+2)2＋(y－3)2＝4
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝9 A.(x+2)2＋(y－3)2＝9
【答案】B
【解析】圆心P到y轴的距离为2,且圆与y轴相切，所以圆的半径长为2,则该圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4.
题型01 由标准方程确定圆心和半径
【典例】（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解.
【解析】由圆的标准方程可知，圆心为，
则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ，
由直线的点斜式可得 ，即 .
故选：B.
将圆的方程统一成标准方程形式： ，此时圆心为，半径为．
【变式1】（24-25高二上·陕西西安·月考）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据直线经过圆心即可求解.
【解析】由题意可得，直线过圆心，则，解得.
故选：A
【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径.
【解析】圆： 的标准方程为，
所以圆的圆心和半径分别是，.
故选：B
题型02 求圆的标准方程
【典例】求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的标准方程（试用三种不同的方法解答）.
【分析】思路1：设出圆的标准方程，利用题设中的三个条件列出三个方程，从而确定三个待定系数的值；思路2：利用圆的几何性质确定圆心，圆心为已知直线及过已知两点的直线的交点；思路3：利用圆心在直线2x-y-3=0上，可设圆心为(a,2a-3),再利用圆心到两已知点距离均等于半径求a及半径.
【解析】解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则圆心坐标是(a,b),
则解得
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
解法二:设A(5,2),B(3,-2).
因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线l上,
∵kAB==2,∴kl=-,又线段AB的中点为(4,0),
所以线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4),
设所求圆的圆心为(a,b),则有解得
所以半径r==,
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
解法三:因为圆心在直线2x-y-3=0上,
所以设圆心坐标为(a,2a-3),
因为圆过点(5,2),(3,-2),
所以=,
解得a=2.所以圆心为(2,1),半径r==,
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
求圆的标准方程的三种常见方法：
1.直接法.根据题中条件确定圆心坐标和半径（有些题目中已明确圆心坐标和半径）,再直接代入圆的标准方程.
2.待定系数法.圆的标准方程中含有三个参数，因此确定圆的方程，需有三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.由三个独立条件可得到三个方程，解方程组得三个参数，从而确定圆的标准方程.其中待定系数法是求圆的方程最基本、最常用的方法.
3.几何性质法.即利用圆的几何性质确定圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程.
【变式1】（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．
【解析】易知该圆圆心为的中点，半径，
所以该圆方程为：．
故选：D．
【变式2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可.
【解析】解：由题意设圆的标准方程是，
因为圆经过两点，
所以，解得，
所以圆的标准方程是，
故选：A
【变式3】（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解.
【解析】设的外接圆方程为，
所以，解得，
所以外接圆的方程为.
故选：.
【变式4】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出圆心，根据得到方程，求出，得到圆心和半径，得到圆的方程.
【解析】设圆心为，
由题意得，即，
解得，故圆心，
半径为，
故圆的标准方程为.
故选：C
题型03 判断点与圆的位置关系
【典例】已知两点A(4,9),B(6,3),
(1)求以AB为直径的圆的方程;
(2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上,圆内,还是圆外.
【解析】(1)设圆心为C(a,b),半径为r(r>0),
则由C为线段AB的中点得a==5,b==6.
又由两点间的距离公式得r=|AC|==.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.[7]
(2)分别计算点到圆心C的距离:
|MC|==;
|NC|==>;
|QC|==3<.
因此,点M在圆上,点Q在圆内,点N在圆外.
【解后反思】本题也可将各点坐标代入圆的方程的左边，通过比较它与半径的平方大小来判断点与圆的位置关系.
判断点与圆的位置关系通常有两种方法:
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断；
(2)把点M(x0,y0)的坐标代入圆的方程左边，比较 (x-a)2+(y-b)2与r2的大小关系.
【变式1】（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关
【答案】A
【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可.
【解析】由圆心，
可得，
所以在外.
故选：A
【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　）
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．与a的值有关
【答案】A
【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论
【解析】圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆外，
故选：A
【变式3】（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关
【答案】A
【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可.
【解析】由圆心，
可得，
所以在外.
故选：A
题型04 利用点与圆的位置关系求参
【典例】若点(3,)在圆x2+y2=16的内部,则a的取值范围是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.[0,7) B.(-∞,7) C.{7} D.(7,+∞)
【答案】A
【解析】由已知得a≥0,且(3-0)2+(-0)2<16,所以0≤a<7.因此选A.
答案　A
【解后反思】从几何意义上考虑,圆内部的点到圆心的距离小于半径,反过来,到圆心距离小于半径的点在圆内.
若已知点与圆的位置关系，也可利用代数法或几何法列出不等式或方程，求解参数范围．
【变式1】（24-25高二上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解.
【解析】点在圆内，
所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2】已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为___________．
【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1.
题型05 与圆有关的对称问题
【典例】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解.
【解析】圆的圆心为，设对称圆的圆心为，
依题意得，解得，
又圆的半径与对称圆的半径相等，
所以对称圆的方程为.
故选：D.
【变式1】（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解.
【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，
则圆心在直线上，故代入解得，
故选：D．
【变式2】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得.
【解析】圆的圆心为，
圆的圆心为，
所以、的中点坐标为，又，
则，所以直线的方程为，即.
故选：A
【变式3】（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知两圆半径相等，求得r，且可知两圆圆心关于直线对称，即可结合直线垂直的条件求得a的值，即得答案.
【解析】由题意可知圆与圆的半径相等，
故，且关于直线对称，
故直线与直线垂直，则，
故选：A
题型06 利用点与圆的位置关系求最值
【典例】（24-25高二上·辽宁·月考）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.
【解析】由，得，所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，
所以在圆外，故的最大值为.
故选：C.
设圆A的方程，圆心，点是圆A上的动点，点为平面内一点；记;
（1）若点在外，则;
（2）若点在上，则;
（3）若点在内，则;
【变式1】（24-25高二上·湖北·期中）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，即可根据求解.
【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，
由，，
所以圆心到原点距离的最小值是．
故选：B．

【变式2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（ ）
A．1 B．7 C．13 D．15
【答案】B
【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可.
【解析】因为，所以点在圆内，
又圆心，半径为7，点到圆心的距离为，
所以，即的取值范围为，
所以的值可能为7.
故选：B.
题型07 利用圆的知识求代数式的最值
【典例】已知实数x,y满足方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，则的最大值为________．
【答案】5＋
【解析】表示圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25上的点到定点M(2,3)的距离的平方，由题意，知点M在圆C内，MC的延长线与圆C的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为
对于有些关于x,y的代数式的最值问题，若x,y满足的关系式可视为圆的方程，则往往可构造圆，借助圆的知识求最值,即利用该代数式的几何意义求解.
【变式1】已知x,y满足(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的最大值和最小值分别为 .
【答案】－1，－－1.
【解析】设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
【变式2】已知x,y满足方程x2＋y2－2x＝0，则2x2＋y2的最大值与最小值分别为 .
【答案】8，0
【解析】由x2＋y2－2x＝0得y2＝－x2＋2x≥0. ∴0≤x≤2.
又2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.
∴0≤2x2＋y2≤8.
∴当x＝0，y＝0时，2x2＋y2有最小值0；
当x＝2，y＝0时，2x2＋y2有最大值8.
故2x2＋y2有最小值0，有最大值8.
一、单选题
1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程.
【解析】圆心为的圆的方程为，
又因为原点在圆上，则，
所以.
故选：D.
2．（2024高二·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．5
【答案】C
【详解】因为点(1，0)在圆x2＋y2＝4内，且点(1，0)到圆心(0，0)的距离为1，所以圆上的点到点(1，0)的距离的最大值为2＋1＝3.
3．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围．
【详解】点在圆外，
且，
解得．
故选：C．
4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可.
【详解】由题知，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：C
5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．25 D．36
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可.
【详解】圆的圆心，半径，
目标函数表示圆上的点与定点距离的平方，
而，
所以的最大值为36.
故选：D
6．（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（ ）
A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆
【答案】D
【分析】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解.
【解析】由于，故或，
当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆，
当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆，
故选：D.
7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（ ）
A．（且） B．（且）
C．（且） D．（且）
【答案】B
【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可.
【解析】设，根据题意可知且三点不共线，
可得，
因此，
若三点共线，易知斜率存在，所以；
即，可得；
联立，解得或；
又因为三点不共线，所以且，
因此端点的轨迹方程为（且）.
故选：B.
8．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】A
【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可.
【解析】 化简整理得
∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；
而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离，
∴的最小值即为的最小值，
而，∴的最小值为.
故选：A．
二、多选题
9.．（24-25高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．在圆外
【答案】ABC
【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系.
【详解】线段的中点坐标为，
又，
因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确；
对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确；
对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确；
对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误.
故选：ABC.
10．（24-25高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设圆的圆心为，则半径.根据已知可得，代入坐标化简得出.，整理可得，.联立即可得出圆心以及半径，进而得出答案.
【详解】设圆的圆心为，则半径.
又点，在圆上，
所以有，
即，
整理可得，.
又，即，
整理可得，.
联立可得，或，
所以，圆心坐标为或.
当圆心坐标为时，，圆的方程为；
当圆心坐标为时，，圆的方程为.
综上所述，圆的方程为或.
故选：BC.
11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】设圆的方程为，
当圆过三点时，
则，解得，
所以圆的方程为，
当圆过三点时，
则，解得，
所以圆的方程为，
当圆过三点时，
则，解得，
所以圆的方程为，
当圆过三点时，
则，解得，
所以圆的方程为. 故选：ABC.
三、填空题
12.（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解.
【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3，
故圆标准方程为.
13．（24-25高二上·重庆渝中·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为 ．
【答案】
【分析】根据圆心到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可.
【详解】由题意，圆心坐标且半径，圆心到直线的距离，
则直线与圆相交，显然点P到直线距离.
14．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 3 m.

【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的方程，令，求出的值即可.
【解析】如图：建立平面直角坐标系.

设过点的圆的方程为：.
因为点，在圆上，
所以，解得.
所以圆的方程为：.
令得： .
又，所以 .
故答案为：3.
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为，半径是；
(2)圆心为，且经过点.
【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程；
（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【解析】（1）圆心在，半径长是，
故圆的标准方程为．
（2）圆心在，且经过点，
故半径为，
故圆的标准方程为．
16．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程.
【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；
（2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程.
【解析】（1）设圆方程：，
由已知，解得，
圆的方程为.
（2）设圆的圆心关于直线对称的点为，
则，解得，
即所求圆的圆心为，
故所求圆的方程为.
17.（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上．
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)求圆的标准方程
【分析】（1）先根据直线与CD垂直得到斜率，再由CD的中点坐标为 求解；
（2）法一：直线与CD的垂直平分线的方程联立求得圆心，然后求得半径即可；法二：根据圆心在上，设，圆的半径为，再将点，坐标代入求解；
【解析】（1）解： ，
，又因为CD的中点坐标为 ，
所以线段的垂直平分线的方程为：；
（2）法一：由，
，
所以圆的标准方程为：，
法二：由题意，因为圆心在上，所以可设，
设圆的半径为，
又圆过，两点，
所以，解得，则圆心为，
所以圆的方程为.
18．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知直线与圆.
(1)若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值;
(2)设是圆C上的动点，若的最小值为2，求r的值．
【分析】（1）由题设求出圆心到直线的距离，根据圆C上有且只有一个点到l的距离为1，确定圆的半径即可；
（2）将已知条件化为圆C上点到直线的距离最小值为1，结合圆心到直线的距离，即可得圆的半径.
【详解】（1）由题设，圆心到直线的距离为，
所以时，圆 C上有且只有一个点到l的距离为1；
（2）由，即圆C上点到直线的距离最小值为1，
因为圆心到直线的距离为，
所以.
19．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知四点，，，，现任取其中三点构成三角形，且此三角形的外接圆记为圆M．
(1)求出一个符合条件的圆M的方程，且点O在圆M上（求出一个即可，如果多求，按第一个给分）；
(2)根据（1）求出的圆M，判断过第四个点且斜率为的直线l与圆M的位置关系．若直线l与圆M相交，求直线l被圆M所截得的弦长；若直线l与圆M相离，求圆M上的动点P到直线l距离的最小值．
【分析】（1）设出圆的标准方程，选择点；；，将三点坐标代入，利用待定系数法求出圆的方程.
（2）由（1）中圆的方程，求出直线的方程，利用点到直线距离公式计算判断直线现圆的位置关系，进而求出弦长或圆上的点到直线距离最小值.
【详解】（1）设圆的方程为：，
选点，则，整理得，
解得，所以圆的方程为：，
而，则点在圆外，即不共圆.
选点，则，整理得，
解得，所以圆的方程为：.
选点，则，整理得，
解得，所以圆的方程为：.
（2）若圆的方程为：，其圆心，半径，
而点，直线，即，
点到直线距离，所以直线与圆相离，
圆M上的动点P到直线l距离的最小值为.
若圆的方程为：，其圆心，半径，
而点，直线，即，
点到直线距离，所以直线与圆相交，
直线l被圆M所截得的弦长为.
若圆的方程为：，其圆心，半径，
而点，直线，即，
点到直线距离，所以直线与圆相交，
直线l被圆M所截得的弦长为.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.1 圆的标准方程
教学目标 1.圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程； 2.圆的标准方程； 3.能够判断点与圆的位置关系.
教学重难点 1.重点 (1) 求圆的标准方程； (2) 圆的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导圆的标准方程； (2)与圆有关的最值问题．
知识点01 圆的标准方程（重点）
1.圆的定义
平面内 点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 圆A可用集合表示为：
2.圆的标准方程
我们把 （r>0） 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程．
【知识剖析】
（1）所谓“标准”方程，是指方程的形式，它的优点在于明确地指出了圆心和半径；
（2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．
【即学即练】
1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径.
(1)x2+y2=2;
(2)(x-3)2+y2=a2(a≠0);
(3)(x+2)2+(y+1)2=b2(b≠0).
知识点02 点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
点在圆外、点在圆上、点在圆内(如图所示).
2.判断点与圆的位置关系的方法
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MC│＝r 点M在圆C上 点M(x0，y0)在圆上
点在圆内 │MC│点在圆外 │MC│>r 点M(x0，y0)在圆外
【即学即练】
1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定
2.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内B．点P在圆外
C．点P在圆上D．不确定
知识点03 几种特殊位置的圆的标准方程（拓展）
条件 标准方程的形式
圆心在原点 x2+y2=r2(r>0)
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2(r>0)
圆心在y轴上 ________
圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 __________
圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 _____________
圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
【即学即练】
1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
2．圆心为点P(－2,3),且与y轴相切的圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝4 B.(x+2)2＋(y－3)2＝4
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝9 A.(x+2)2＋(y－3)2＝9
题型01 由标准方程确定圆心和半径
【典例】（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
将圆的方程统一成标准方程形式： ，此时圆心为，半径为．
【变式1】（24-25高二上·陕西西安·月考）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型02 求圆的标准方程
【典例】求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的标准方程（试用三种不同的方法解答）.
求圆的标准方程的三种常见方法：
1.直接法.根据题中条件确定圆心坐标和半径（有些题目中已明确圆心坐标和半径）,再直接代入圆的标准方程.
2.待定系数法.圆的标准方程中含有三个参数，因此确定圆的方程，需有三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.由三个独立条件可得到三个方程，解方程组得三个参数，从而确定圆的标准方程.其中待定系数法是求圆的方程最基本、最常用的方法.
3.几何性质法.即利用圆的几何性质确定圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程.
【变式1】（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 判断点与圆的位置关系
【典例】已知两点A(4,9),B(6,3),
(1)求以AB为直径的圆的方程;
(2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上,圆内,还是圆外.
判断点与圆的位置关系通常有两种方法:
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断；
(2)把点M(x0,y0)的坐标代入圆的方程左边，比较 (x-a)2+(y-b)2与r2的大小关系.
【变式1】（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关
【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　）
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．与a的值有关
【变式3】（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关
题型04 利用点与圆的位置关系求参
【典例】若点(3,)在圆x2+y2=16的内部,则a的取值范围是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.[0,7) B.(-∞,7) C.{7} D.(7,+∞)
若已知点与圆的位置关系，也可利用代数法或几何法列出不等式或方程，求解参数范围．
【变式1】（24-25高二上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式2】已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为___________．
题型05 与圆有关的对称问题
【典例】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ）
A． B． C． D．
题型06 利用点与圆的位置关系求最值
【典例】（24-25高二上·辽宁·月考）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
设圆A的方程，圆心，点是圆A上的动点，点为平面内一点；记;
（1）若点在外，则;
（2）若点在上，则;
（3）若点在内，则;
【变式1】（24-25高二上·湖北·期中）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（ ）
A．1 B．7 C．13 D．15
题型07 利用圆的知识求代数式的最值
【典例】已知实数x,y满足方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，则的最大值为________．
对于有些关于x,y的代数式的最值问题，若x,y满足的关系式可视为圆的方程，则往往可构造圆，借助圆的知识求最值,即利用该代数式的几何意义求解.
【变式1】已知x,y满足(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的最大值和最小值分别为 .
【变式2】已知x,y满足方程x2＋y2－2x＝0，则2x2＋y2的最大值与最小值分别为 .
一、单选题
1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．5
3．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．25 D．36
6．（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（ ）
A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆
7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（ ）
A．（且） B．（且）
C．（且） D．（且）
8．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．9
二、多选题
9.．（24-25高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．在圆外
10．（24-25高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12.（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 .
13．（24-25高二上·重庆渝中·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为 ．
14．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 3 m.

四、解答题
15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为，半径是；
(2)圆心为，且经过点.
16．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程.
17.（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上．
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)求圆的标准方程
18．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知直线与圆.
(1)若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值;
(2)设是圆C上的动点，若的最小值为2，求r的值．
19．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知四点，，，，现任取其中三点构成三角形，且此三角形的外接圆记为圆M．
(1)求出一个符合条件的圆M的方程，且点O在圆M上（求出一个即可，如果多求，按第一个给分）；
(2)根据（1）求出的圆M，判断过第四个点且斜率为的直线l与圆M的位置关系．若直线l与圆M相交，求直线l被圆M所截得的弦长；若直线l与圆M相离，求圆M上的动点P到直线l距离的最小值．
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