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专题2.4 圆与圆的位置关系
教学目标 1. 能根据两圆的方程判断两圆的位置关系. 2. 能利用两圆的位置关系解决一些相关问题.
教学重难点 1.重点 (1) 判断两圆的位置关系； (2)解决两圆的公共弦及两圆的公切线问题 2.难点 (1)求两圆的公切线长； (2)由两圆位置关系求参．
知识点01 圆与圆的位置关系（重点）
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其中，外离与内含统称为相离，外切与内含统称为相切.
2.圆与圆的位置关系的判断
（1）几何法
若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
交点个数 0 1 2 1 0
d与，的关系
2.代数法
设圆:，圆:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
⑴圆与圆相交；
⑵圆与圆相切（内切或外切）；
⑶圆与圆相离（内含或外离）
【知识剖析】
比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法.
【即学即练】
1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
【答案】D
【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解.
【解析】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，,
故,,故两圆相交，
故选：D
2．（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】C
【分析】利用几何法可判断出两圆的位置关系.
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心距为，
故圆与圆外切.
故选：C.
知识点02 两圆的公切线（拓展）
两圆的公切线是指与两圆都相切的直线,可分为外公切线和内公切线.两圆的公切线有如图所示的5种情况:
(1)外离时,有4条公切线,分别是2条外公切线,2条内公切线;
(2)外切时,有3条公切线,分别是2条外公切线,1条内公切线;
(3)相交时,有2条公切线,都是外公切线;
(4)内切时,有1条公切线;
(5)内含时,无公切线.
【即学即练】
1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解.
【解析】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径，
由圆方程得，半径，则，解得.
故选：D
2．（24-25高二上·湖北孝感·期末）圆与圆的公切线共有 条
【答案】4
【分析】由两圆的位置关系，判断两圆的公切线.
【解析】由，
所以该圆的圆心坐标为，半径为2，
，
所以该圆的圆心坐标为，半径为1，
所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3，
因为，所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条.
知识点03 两圆的公共弦（拓展）
1.两圆公共弦所在的直线方程
　　两圆相交时,有一条公共弦,如图所示,设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若圆C1与圆C2相交,则③为直线方程,设P(x0,y0)为圆C1与圆C2的交点,则点P(x0,y0)满足++D1x0+E1y0+F1=0和++D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0.
即点P(x0,y0)满足直线方程,故P(x0,y0)在③所对应的直线上,③表示过两圆C1与C2交点的直线,即公共弦所在直线的方程.
【即学即练】
1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得.
【解析】将两个圆的方程化为一般式，分别为和，
作差整理得，即为所求．
故选：B.
2．已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】3x-4y+6=0
【解析】设A,B两点为两圆的公共点,则两点的坐标同时满足方程组
由(1)-(2)得3x-4y+6=0,所以公共弦所在直线的方程为3x-4y+6=0.
知识点04 常见的圆系方程（拓展）
常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;
(2)与圆同心圆的圆系方程为:;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为,此圆系不含).
【知识剖析】
(1)对于过两圆交点的圆系方程，当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:.
【即学即练】
1．（2024高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可.
【解析】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即，
圆心在直线上，故，解得，
所以圆的方程为.
故选：A.
题型01 圆与圆的位置关系的判断
【典例1】（24-25高二下·广西南宁·月考）已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进而根据可得结论.
【解析】由，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离，
因为动点在直线上运动，所以，
又圆的半径为，所以，
所以圆与圆的位置为相离.
故选：A.
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
（1）将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要) ;
（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径；
（3）求两圆的圆心距d；
（4）比较d与的大小关系；
（5）根据大小关系确定位置关系.
【变式1-1】（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】明确圆的圆心和半径，计算圆心距，根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差的绝对值来判断两圆是否内切.
【解析】圆的圆心为，半径.
对A选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故A选项不满足条件；
对B选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆内切，故B选项满足条件；
对C选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故C选项不满足条件；
对D选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故D选项不满足条件.
故选：B
【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
【答案】C
【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解.
【解析】，
故的圆心为，半径为，
，
故的圆心为，半径为，
故，当且仅当时，等号成立，而，
当时，两圆外离或相交，时，两圆内切，
故两圆不可能内含.
题型02 由圆与圆的位置关系求参数
【典例2-1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆外切，则（ ）
A． B． C．7 D．13
【答案】C
【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．
【解析】由，可得圆的圆心，半径为，
由，可得，
所以圆心为，半径为，
因为两圆外切，所，所以，
则，解得．
故选：C.
【典例2-2】（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可.
【解析】由，圆心为，半径为，
圆，即，
则圆心，半径为，，
又，且两圆外离，
则，即，解得，
所以，即的取值范围是.
故选：C
由圆与圆的位置关系求参数的策略
根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.
【变式2-1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围.
【解析】由，则，
由，则，
则，
因为圆与圆有公共点，所以，
即，解得，
所以实数取值范围是.
故选：C.
【变式2-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可．
【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为，
所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，
则圆与圆相交，
所以，即，
解得：或，
所以实数的取值范围是．
故选：A．
题型03 由两圆的位置关系求圆的方程
【典例】求与圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1),且半径为1的圆C2的方程.
【分析】由两圆相切知切点必在两圆的圆心所在的直线上,求出圆心坐标或利用两圆相切时圆心距和半径之间的关系,求出圆心坐标.
【解析】解法一:由圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4,知圆心为C1(2,-1),则过点A(4,-1)和圆心C1(2,-1)的直线的方程为y=-1,设所求圆的圆心坐标为C2(x0,-1),
由|AC2|=1,即|x0-4|=1,得x0=3或x0=5,[8]
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.
解法二:设所求圆的圆心为C2(a,b),
∴=1.①
若两圆外切,则有=1+2=3.②[9]
联立①②解得a=5,b=-1,
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.
若两圆内切,则有=2-1=1.③[10]
联立①③解得a=3,b=-1,
∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
综上,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.[11]
【解后反思】两种解法的思路都比较清晰,其中解法一具有特殊性,两圆圆心所在的直线恰垂直于y轴,易设出圆心坐标,解法二是解圆相切问题的通用方法,解法二中圆的位置关系既有内切又有外切,不要漏掉其中的任何一种,要把问题考虑全面.
由两圆的位置关系求圆的方程的具体策略
这类问题主要有两种题型：一是两圆相切时已知其中一个圆的方程求另一个圆的方程，此时要注意两圆是内切还是外切;二是求过两圆交点的圆的方程，这类问题可直接求出两圆交点，再借助圆的几何性质求解，也可借助圆系方程巧解.
【变式3-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意列式计算即可.
【解析】设圆心，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切，
可得，解得或或，
圆的方程为或或．（写其中一个即可）
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为 ．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分）
【答案】（答案不唯一）
【分析】计算圆心距，分析两圆外切和内切时圆的半径可得结果.
【解析】由题意得，，圆的半径为1，
∴，即两圆圆心距为5.
设圆的半径为，
当两圆外切时，，，圆方程为，
当两圆内切时，，，圆方程为，
∴圆心在原点且与圆相切的圆的方程为或.
【变式3-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程： .
①与圆相切，②与x轴相切.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用圆的标准方程和圆与圆的位置关系求解即可；
【解析】设圆的方程为，
由题意可得，整理可得，
可令，即，
故答案为：（答案不唯一）.
【变式3-4】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知圆.
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据题意，可分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解；
（2）设，由两圆相外切，得到，列出方程求得的值，即可求解.
【解析】（1）由题知，圆的圆心为，半径为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径，
可得，解得，
此时直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；
综上可得，直线的方程为或.
（2）由圆的半径为3，圆心在直线上，
设，且圆的圆心，半径为，
由两圆相外切，可得，即，
解得或，
或，
圆的方程为或.
题型04 两圆的公共弦问题
【典例】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【解析】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选：A
解决两圆公共弦问题的一般步骤
第一步：判断两圆有没有公共弦；
第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；
第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；
第四步：利用勾股定理求出公共弦长.
【变式4-1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两圆方程相减可得答案.
【解析】，①
，②
①②得.
故选：B.
【变式4-2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得.
【解析】圆即，圆心，半径；
圆即，圆心，半径，
因为，则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦方程为，
则到的距离，
所以.
故选：A
【变式4-3】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知直线为圆和以为直径的圆的公共弦，求出以为直径的圆，即可求出结果．
【解析】因为直线，分别切圆于，两点，
所以，
所以点在以为直径的圆上．
因为，
所以以为直径的圆的圆心为，
半径为，
故以为直径的圆的方程，即，
又圆，即，
两圆方程相减得，
所以直线的方程为：．
故选：A．
【变式4-4】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可.
【解析】圆的圆心为，半径，
圆即，则圆心为，半径，
所以，则，所以两圆相交；
联立,相减可得直线：，
所以到直线的距离为，
利用圆与直线相交可得：，
所以.
故选：A.
题型05 公切线的条数问题
【典例5-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆与圆的公切线条数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程可知圆心和半径，可得，进而判断两圆的位置关系，即可得结果.
【解析】由题意可知：圆，即，
可知其圆心为，半径；
圆，即，
可知其圆心为，半径；
因为，即，
所以两圆相交，公切线有2条.
故选：B.
【典例5-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可.
【解析】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，故，即，
解得.
故选：C.
由位置关系确定两圆公切线的条数
先判断两圆的位置关系，再由位置关系确定两圆公切线的条数,当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，它们的公切线条数分别为：4条，3条，2条，1条，0条.
【变式5-1】（24-25高二上·山东·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆方程确定圆心坐标和半径，即可确定圆与圆的位置关系，从而可确定公切线条数.
【解析】由，可得，
所以圆心，
设两圆的半径分别为，则，
圆心距，
所以两圆外切，则公切线的条数为3条，
【变式5-2】（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围．
【解析】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交，
而圆心，半径，圆心，半径，则 ，
因此，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【变式5-3】（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】求出以点为圆心，分别以2，1为半径的圆方程，再判断两圆的位置关系即可得解.
【解析】与点的距离为2的直线是圆的切线，
与点的距离为1的直线是圆的切线，
两圆的圆心距，因此圆与圆外切，有3条公切线，
所以满足条件的直线共有3条.
故选：C
【变式5-4】（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可.
【解析】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
假设圆与圆没有公切线，
此时两圆内含，所以圆心距，即，解得，
所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是，
故选：B.
题型06 求公切线方程及长度
【典例】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可.
【解析】如图：
由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，
则公切线的长为，
方法二：，
所以内公切线的长为：
故选：D
两圆的公切线方程及公切线长求解策略
(1)求两圆公切线方程的方法：设出两圆公切线方程，再利用两圆圆心到公切线的距离各等于相应圆的半径.
(2)外公切线长公式：外公切线长（d为圆心距，分别为两圆的半径.
(3)内公切线长公式：内公切线长（d为圆心距，分别为两圆的半径.
【变式6-1】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 .
【答案】
【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程.
【解析】由，圆心为，半径为，
由，圆心为，半径为，
显然，即两圆内切，且切点为，
所以两圆公切线的方程为.
故答案为：
【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.
【解析】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，由，

所以两圆相交，则.
故答案为：
【变式6-3】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 .
【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一）
【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程.
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆心距为，故两圆外切，
两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为，
切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为；
切线平行于直线，且到直线的距离为，
设平行于直线切线方程为，
则或，
所以切线的方程分别为.
题型07 圆系方程的应用
【典例 】（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：．
(1)求过点且与圆C相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解，
（2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解.
【解析】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为，
即
∵圆心到切线的距离等于半径2，
∴
解得或．
因此，所求切线方程为，或．
当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意，
故切线方程为，或．
（2）法一：
联立，解得或．
∴圆C与圆Q的交点为，，
线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r．
由，解得，所以圆心为，．
因此，所求圆的方程为
法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（）
即
即
圆心代入直线，得．
因此，所求圆的方程为．
圆系方程的应用策略
求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简捷.
【变式7-1】（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ．
【答案】
【分析】利用圆系方程可求圆的方程.
【解析】设圆的方程为：，
整理得到：，
因为圆过，代入该点得到：即，
故圆的方程为：即，
【变式7-2】已知圆C1:x2+y2-x+y-2=0和圆C2:x2+y2=5.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程,并求出公共弦长;
(2)求过圆C1和圆C2的交点,且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程.
【解析】(1)易知两圆相交,将两圆方程相减,整理得公共弦所在直线的方程为x-y-3=0.
因为圆C2的圆心到公共弦的距离为=,
所以公共弦长为2×=.
(2)设经过两已知圆的交点的圆的方程为
x2+y2-x+y-2+λ(x2+y2-5)=0(λ≠-1).
则其圆心坐标为.
∵所求圆的圆心在直线3x+4y-1=0上,
∴--1=0,解得λ=-,
∴所求圆的方程为x2+y2+2x-2y-11=0.
题型08 动圆圆心的轨迹问题
【典例】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程.
【解析】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径．
因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离．
设，则，化简得，
故选:C.
求动圆圆心的轨迹方程 求动圆圆心轨迹方程的方法,即设圆心坐标为(x,y),利用两圆相切的几何性质,及两点间距离公式得到x,y之间的关系.在化简时,要注意结合图形确定方程中自变量x的取值范围.
【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可.
【解析】由，圆心为，半径为4，
设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则，
即；
若动圆与已知圆内切，则，
即.
综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或.
故选：D.
【变式8-2】（2025·江苏·高二开学考试）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
【答案】C
【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得 到直线的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C、D选项；
【解析】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
即，
因为圆的圆心为 ，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则 到直线
的距离为，
所以，解得，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线垂直平分线段，
所以 到直线的距离
即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，
因此，
即，故C正确，D错误；
故选：C.
题型09 圆与圆的位置关系与其他知识的交汇
【典例】（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.
【解析】根据题意将圆化成标准方程为；
易知，
所以可得圆心，半径为，圆心，半径为，
可得，两半径之和；
若，圆心距，两半径之和，此时，
所以圆与圆外切，即充分性成立；
若圆与圆外切，则，解得或（舍），
所以必要性成立；
即“”是“圆与圆外切”的充分必要条件.
故选：C
两圆位置关系与其他知识的交汇
两圆的位置关系常与集合、充分性与必要性交汇，考查集合运算或充分性、必要性的判断，对于这类题型，要注意各个击破的策略，即分别利用圆的知识和集合、逻辑知识进行作答.
【变式9-1】（2025·浙江台州·高二期中联考）设m∈R，已知圆和圆：，则“”是“圆C1和圆C2相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意先求出两圆心的距离，再利用圆C1和圆C2相交列不等式求出的范围，即可得答案
【解析】由已知圆：，
若圆C1和圆C2相交，则，
解得，
“”是“”的必要而不充分条件，
故选：B
【变式9-2】（23-24高三上·全国·阶段练习）“或”是“圆与圆存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求两圆内含时a的取值范围，然后可得两圆有公切线时a的取值范围，即可得答案.
【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以两圆的圆心距为，
两圆内含时，即，解得，
所以当两圆有公切线时，或，
所以“或”是“圆与圆存在公切线”的充要条件．
故选：C．
题型10 两圆位置关系的新定义题
【典例】（多选）（24-25高二上·福建厦门·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．的取值范围为
C．圆与圆有四条公切线
D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
【答案】ABD
【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，设，可知直线与圆有公共点，列式求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.
【解析】对A，设，
由，可得，
即，化简可得，故A正确；
对B，由选项A可知：圆的圆心为，半径，
设，可知直线与圆有公共点，
则，解得，
所以的取值范围为，故B正确；
对C，圆圆心到圆圆心的距离为，
又因为且，
故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，
设直线，则由题意C到的距离等于，
即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；
故选：ABD.
与两圆位置关系有关的新定义题破解策略
求解两圆位置关系新定义题，需精读定义，转化为数学式；对比传统关系，借助图形辅助，分类讨论、代入验证，留意隐含条件.
【变式10-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为 ．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）

【答案】
【分析】根据两圆的一般方程可得两圆圆心及其半径，再根据公共弦所在直线方程以及弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧可得，易知为圆的直径，再由弧长公式计算即可得出结果.
【解析】易知圆的圆心为，半径；
圆圆心为，半径；
两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程为，
由弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧可知，
因此圆心到直线的距离为，
即，又，解得或（舍），即；
此时在弦方程上，所以为圆的直径；
易知，；
所以截得的圆的弧长为，截得的圆的弧长为；
此时组成“晚旁”的两段弧长之比为.
【变式10-2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．

(1)求圆心与圆心的坐标；
(2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值.
【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值.
【解析】（1）圆的半径为，设圆心，其中，
由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得，
即点，同理可得点.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意，
设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为，
圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为，
由题意可得，解得，
所以，.

一、单选题
1．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程.
【解析】因为圆与圆相交于、，
将这两圆方程作差可得，
因此，直线的方程为.
故选：A.
2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案.
【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则，，，
由，则两圆相交.故选：C.
3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案.
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的方程可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，
因为，，，
所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条.
故选：B.
4．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．2或-1 D．3或
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得圆内切于圆，进而求出的值
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆与圆有且仅有一条公共切线，得圆内切于圆，
则，而，因此，所以或.
5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解.
【解析】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，
又圆的半径为1，所以切线长为，
故选：C．
6．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【解析】，，，由，解得，或，
则，因为，所以四边形的面积为.故选：A.
7．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设点，再根据计算得出，最后结合圆与圆的位置关系计算求参即可.
【解析】设，则.
因为，所以，
化简得，故点在以为圆心，为半径的圆上.
又因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上.
结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以，
解得，故正数的最大值为.
故选：D.
8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点.
【解析】，圆心，半径
由，得，圆心，半径，
圆心距为，，故两圆相交，
直线与圆及圆共有3个公共点，
情形一，与圆在下方相切时，则，得，
情形二，与圆在上方相切时，则，得，
情形三，过两圆的交点时，
两圆相减得，代入圆得：，
则两交点分别为，代入直线，
得，或
则所有符合条件的a的和为.
故选：D
二、多选题
9．（2025·广西河池·二模）已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若已知在圆内，则
C．若，则直线与圆相离
D．若，圆关于直线对称的圆方程为
【答案】BD
【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可.
【解析】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当，时圆C方程为，
此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误；
对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2，
设圆D的方程为，由，
对称圆D方程为即，故D正确.
故选：BD.
10．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（ ）
A．若，则两圆外切
B．若，则直线为两圆的一条公切线
C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为
D．若，则两圆公共弦的长度为
【答案】ABD
【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D.
【解析】由圆，可得圆心，半径，
由圆，可得圆心为，
若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确；
若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确；
若，则，又，
两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误；
，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为，
所以到直线的距离为，
所以弦长为，故D正确.
故选：ABD.
11．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知和，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆相交，有两个公共点
B．两圆的公共弦所在直线方程为
C．两圆公共弦长度为
D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为
【答案】ABD
【分析】确定两圆的圆心和半径，确定两圆的位置关系，可确定两圆的位置关系，判断A的真假；求两圆公共弦所在直线方程，确定B的真假；求公共弦长判断C的真假；求满足条件的圆的标准方程，判断D的真假.
【解析】因为：，所以，.
：，所以，.
所以.
对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确；
对B选项：由，
所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确；
对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误；
对D选项：设所求圆的方程为：（）
整理得：.
因为圆心在直线上，所以.
所以所求圆的方程为：即，
配方得：.故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12.（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知圆和圆内切，则 .
【答案】
【分析】根据两圆内切可得方程的方程，求解即可.
【解析】圆，圆心，半径为，
圆，圆心，半径，
因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）．
13．（24-25高三上·山东济南·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： .
①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交.
【答案】（答案不唯一）
【分析】设圆的标准方程为 由 ②得出，再由 ③得出，即可求出结果.
【解析】因为圆心在轴上，
所以设圆的标准方程为，
圆与轴相切，所以
圆化为标准方程为，圆心为，半径为，
又圆与圆相交，所以
则，解得：，
取，，此时圆的标准方程为 .
14．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，证明两圆相交，求两圆的公共弦方程，再求面积的的解析式，令，可得，判断函数的单调性，结合单调性求最小值.
【解析】圆的圆心的坐标为，半径，
圆的圆心的坐标为，半径，
所以，，，
，
故，
所以圆与圆相交，
将方程与方程相减可得，
所以直线的方程为，
因为到直线的距离，
所以，
又到直线的距离，
所以面积，
令，则，，
所以，，
设，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，函数取最小值，
故当时，取最小值，
所以当，即时，面积取最小值.
四、解答题
15.（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为.
(1)求弦长；
(2)若圆与圆相交，求的取值范围.
【分析】（1）利用斜率的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程，最后结合勾股定理求解弦长即可.
（2）利用圆与圆的位置关系建立不等式，求解参数范围即可.
【解析】（1）由题意得直线过点，且倾斜角为，
由斜率的几何意义得，
则直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
由勾股定理得.
（2）易知圆的圆心坐标为，半径为；
若圆与圆相交，则，
即，解得，
故的取值范围为.
16．（23-24高二上·辽宁本溪·月考）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【解析】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以公共弦长为.
（2）解法一：
设过两圆的交点的圆为，
则；
由圆心在直线上，则，解得，
所求圆的方程为，即.
解法二：
由（1）得，代入圆，
化简可得，解得；
当时，；当时，；
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得；
所以；
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
17．（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆的圆心为，且圆与直线相切.
(1)求圆的方程：
(2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由.
【分析】（1）根据点到直线的距离公式结合直线与圆相切的条件求出半径即可得圆的方程；
（2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解.
【解析】（1）设圆的半径为，
圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离是圆的半径，
即，
所以圆的方程为.
（2）圆：的圆心为，半径为，
两个圆有公共弦，则，
即，解得，
由得两圆公共弦所在直线方程为，
又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为
，且，即，
所以，解得或，
又，所以，经检验符合题意，
故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2.
18．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值；
(3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程．
【分析】(1)判断圆心到直线的距离与半径的大小即可；
(2)由(1)可知直线与圆相离，此时圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，利用公式即可求解；
(3)圆与圆相切，分为内切和外切两种情况去求出半径，再写出圆的标准方程即可.
【解析】（1）圆可化为，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相离；
（2）由(1)可知圆心到直线的距离，
圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为；
（3）
设圆的半径为，
两圆相切，且，
当圆与圆外切时，，当圆与圆内切时，，
圆心为，
圆的方程为或.
19．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知直线过定点，圆的方程为．
(1)求的坐标，并判断与圆的位置关系；
(2)已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由．
(3)已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积．
【分析】（1）将直线的方程变形，可求出点的坐标，然后判断点与圆的位置关系，即可得出直线与圆的位置关系；
（2）设点，根据求出点的轨迹方程，可知点在圆上，判断圆和圆的位置关系，即可得出结论；
（3）确定点集所对应的平面区域，数形结合可求出点集对应的平面区域的面积.
【解析】（1）将直线变形为，
令，解得：，所以点的坐标为，
将圆的方程转化为标准方程，
则圆心，半径，点到圆心的距离，
因为，即点到圆心的距离小于圆的半径，
所以点在圆内部，直线与圆相交．
（2）设点，已知、，
由，可得：，
整理得，即，即，
所以，点在圆上，且圆心，半径为，
圆的方程为，，
所以，，所以，两圆外离，
所以，圆上不存在点，使得成立.
（3）已知、，则线段的方程为，
点集所表示的图形是由两条平行于且与距离为的线段，
以及以、为圆心，半径为的两个半圆所围成的图形，两条平行线段的长度为，
两个半圆可拼成一个半径为的圆，
所以该图形的面积为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.4 圆与圆的位置关系
教学目标 1. 能根据两圆的方程判断两圆的位置关系. 2. 能利用两圆的位置关系解决一些相关问题.
教学重难点 1.重点 (1) 判断两圆的位置关系； (2)解决两圆的公共弦及两圆的公切线问题 2.难点 (1)求两圆的公切线长； (2)由两圆位置关系求参．
知识点01 圆与圆的位置关系（重点）
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其中，外离与内含统称为 ，外切与内含统称为
2.圆与圆的位置关系的判断
（1）几何法
若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
交点个数 0 1 2 1 0
d与，的关系
2.代数法
设圆:，圆:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
⑴圆与圆 ；
⑵圆与圆 ；
⑶圆与圆 .
【知识剖析】
比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法.
【即学即练】
1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
2．（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
知识点02 两圆的公切线（拓展）
两圆的公切线是指与两圆都相切的直线,可分为外公切线和内公切线.两圆的公切线有如图所示的5种情况:
(1)外离时,有 公切线,分别是 外公切线, 内公切线;
(2)外切时,有 公切线,分别是 外公切线, 内公切线;
(3)相交时,有 公切线,都是外公切线;
(4)内切时,有 公切线;
(5)内含时, 公切线.
【即学即练】
1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·湖北孝感·期末）圆与圆的公切线共有 条
知识点03 两圆的公共弦（拓展）
1.两圆公共弦所在的直线方程
　　两圆相交时,有一条公共弦,如图所示,设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②
①-②,得 .③
若圆C1与圆C2相交,则③为直线方程,设P(x0,y0)为圆C1与圆C2的交点,则点P(x0,y0)满足++D1x0+E1y0+F1=0和++D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0.
即点P(x0,y0)满足直线方程,故P(x0,y0)在③所对应的直线上,③表示过两圆C1与C2交点的直线,即公共弦所在直线的方程.
【即学即练】
1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为 .
知识点04 常见的圆系方程（拓展）
常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以为圆心的同心圆圆系方程: ;
(2)与圆同心圆的圆系方程为: ;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:
__________________________;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为 ,此圆系不含).
【知识剖析】
(1)对于过两圆交点的圆系方程，当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:.
【即学即练】
1．（2024高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型01 圆与圆的位置关系的判断
【典例1】（24-25高二下·广西南宁·月考）已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
（1）将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要) ;
（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径；
（3）求两圆的圆心距d；
（4）比较d与的大小关系；
（5）根据大小关系确定位置关系.
【变式1-1】（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
题型02 由圆与圆的位置关系求参数
【典例2-1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆外切，则（ ）
A． B． C．7 D．13
【典例2-2】（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
由圆与圆的位置关系求参数的策略
根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.
【变式2-1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 由两圆的位置关系求圆的方程
【典例】求与圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1),且半径为1的圆C2的方程.
由两圆的位置关系求圆的方程的具体策略
这类问题主要有两种题型：一是两圆相切时已知其中一个圆的方程求另一个圆的方程，此时要注意两圆是内切还是外切;二是求过两圆交点的圆的方程，这类问题可直接求出两圆交点，再借助圆的几何性质求解，也可借助圆系方程巧解.
【变式3-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为 ．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分）
【变式3-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程： .
①与圆相切，②与x轴相切.
【变式3-4】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知圆.
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.
题型04 两圆的公共弦问题
【典例】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
解决两圆公共弦问题的一般步骤
第一步：判断两圆有没有公共弦；
第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；
第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；
第四步：利用勾股定理求出公共弦长.
【变式4-1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-4】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型05 公切线的条数问题
【典例5-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆与圆的公切线条数是（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
由位置关系确定两圆公切线的条数
先判断两圆的位置关系，再由位置关系确定两圆公切线的条数,当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，它们的公切线条数分别为：4条，3条，2条，1条，0条.
【变式5-1】（24-25高二上·山东·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式5-4】（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型06 求公切线方程及长度
【典例】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
两圆的公切线方程及公切线长求解策略
(1)求两圆公切线方程的方法：设出两圆公切线方程，再利用两圆圆心到公切线的距离各等于相应圆的半径.
(2)外公切线长公式：外公切线长（d为圆心距，分别为两圆的半径.
(3)内公切线长公式：内公切线长（d为圆心距，分别为两圆的半径.
【变式6-1】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 .
【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
【变式6-3】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 .
题型07 圆系方程的应用
【典例 】（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：．
(1)求过点且与圆C相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．
圆系方程的应用策略
求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简捷.
【变式7-1】（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ．
【变式7-2】已知圆C1:x2+y2-x+y-2=0和圆C2:x2+y2=5.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程,并求出公共弦长;
(2)求过圆C1和圆C2的交点,且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程.
题型08 动圆圆心的轨迹问题
【典例】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
求动圆圆心的轨迹方程 求动圆圆心轨迹方程的方法,即设圆心坐标为(x,y),利用两圆相切的几何性质,及两点间距离公式得到x,y之间的关系.在化简时,要注意结合图形确定方程中自变量x的取值范围.
【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【变式8-2】（2025·江苏·高二开学考试）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
题型09 圆与圆的位置关系与其他知识的交汇
【典例】（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
两圆位置关系与其他知识的交汇
两圆的位置关系常与集合、充分性与必要性交汇，考查集合运算或充分性、必要性的判断，对于这类题型，要注意各个击破的策略，即分别利用圆的知识和集合、逻辑知识进行作答.
【变式9-1】（2025·浙江台州·高二期中联考）设m∈R，已知圆和圆：，则“”是“圆C1和圆C2相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式9-2】（23-24高三上·全国·阶段练习）“或”是“圆与圆存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型10 两圆位置关系的新定义题
【典例】（多选）（24-25高二上·福建厦门·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．的取值范围为
C．圆与圆有四条公切线
D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
与两圆位置关系有关的新定义题破解策略
求解两圆位置关系新定义题，需精读定义，转化为数学式；对比传统关系，借助图形辅助，分类讨论、代入验证，留意隐含条件.
【变式10-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为 ．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）

【变式10-2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．

(1)求圆心与圆心的坐标；
(2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值.
一、单选题
1．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．2或-1 D．3或
5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
7．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．（2025·广西河池·二模）已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若已知在圆内，则
C．若，则直线与圆相离
D．若，圆关于直线对称的圆方程为
10．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（ ）
A．若，则两圆外切
B．若，则直线为两圆的一条公切线
C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为
D．若，则两圆公共弦的长度为
11．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知和，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆相交，有两个公共点
B．两圆的公共弦所在直线方程为
C．两圆公共弦长度为
D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为
三、填空题
12.（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知圆和圆内切，则 .
13．（24-25高三上·山东济南·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： .
①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交.
14．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ．
四、解答题
15.（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为.
(1)求弦长；
(2)若圆与圆相交，求的取值范围.
16．（23-24高二上·辽宁本溪·月考）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
17．（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆的圆心为，且圆与直线相切.
(1)求圆的方程：
(2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由.
18．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值；
(3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程．
19．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知直线过定点，圆的方程为．
(1)求的坐标，并判断与圆的位置关系；
(2)已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由．
(3)已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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