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专题2.2 双曲线的简单几何性质
教学目标 1.掌握双曲线的中心、顶点、长轴、短轴、离心率、渐近线的概念，理解双曲线的范围和对称性． 2.掌握已知双曲线标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系.
教学重难点 1.重点：掌握双曲线的简单性质. 2.难点：用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握双曲线的几何性质的过程中，体会数形结合的思想.
知识点01 双曲线的简单性质（重点）
1、对称性
(1)在双曲线的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以双曲线关于x轴(轴)对称,即坐标轴是双曲线的对称轴.
(2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则双曲线关于原点对称,这个对称中心称为双曲线的中心.
2、范围
由方程得，所以双曲线上的任意一点都满足即因此，双曲线在不等式与所表示的区域内，即位于两条直线和外侧的区域．如图所示.：
3、顶点
双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点.
如图,双曲线的两个顶点的坐标分别为．显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点．两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的实半轴长．为轴上的两个点，线段叫作双曲线的虚轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的虚半轴长．
4、离心率
(1)我们规定,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,即.
(2)因为c>a>0,所以e>1.
(3)因为,所以.
【知识剖析】
细解双曲线的范围和顶点
1.从双曲线的方程或图形中可以直接看出它的范围.
2.双曲线有两个顶点、两个焦点，共四个特殊点，研究双曲线时一定要注意这四个特殊点的位置.
3.已知双曲线的两个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以原点为圆心，以c为半径作弧交实轴于两点，这两点就是该双曲线的焦点.
5、渐近线
一般地，直线 和称为双曲线的渐近线．
【知识剖析】
对双曲线渐近线的四点说明
1.随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．
2.由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解．
4.与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0)．
【即学即练】
1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率.
2．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
知识点02 双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的双曲线问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．
【即学即练】
1．（24-25高二上·北京平谷·期末）双曲线的焦点到顶点的最小距离是 .
2．（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则 .
3．（多选）（24-25高二下·四川泸州·期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ）
A．的实轴长为 B．的离心率为
C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为
知识点03 双曲线和的简单性质比较（难点）
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a
顶点 (±a，0) (0，±a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 ，，
渐近线 y＝±x y＝±x
【知识剖析】
离心率对双曲线“张口”大小的影响
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
【即学即练】
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上
B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等
C．的最小值为
D．
知识点04 等轴双曲线与共轭双曲线
1、等轴双曲线的性质
在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°．
2、共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）已对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）已对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）；
（4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1．
【即学即练】
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为 .
2．（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知某双曲线系的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．所有双曲线的焦点均在轴上
B．所有双曲线的焦距均相等
C．双曲线不可能为等轴双曲线
D．当增大时，双曲线的离心率减小
题型01 利用方程研究双曲线的性质
【典例1】（24-25高二上·抚州六校·联考）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（ ）
A．的实轴长为2 B．的离心率为2
C．的渐近线方程为 D．的右焦点到渐近线的距离为
由双曲线方程研究其性质的步骤
已知双曲线方程讨论其几何性质时，首先要将其化为标准方程，确定a,b的值，然后求解其几何性质中的其他相关量.若不能确定焦点是在x轴上还是y轴上，则需分情况讨论.
【变式1-1】（24-25高二下·广东揭阳·月考）若双曲线的实轴长为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（多选）（24-25高二下·湖南·月考）已知双曲线和，其中，且，则（ ）
A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同
题型02 由双曲线的几何性质求标准方程
【典例2】（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；
(3)与双曲线有公共的渐近线，且过点．
由双曲线的简单性质求双曲线标准方程的步骤
1.确定焦点所在的位置，进而确定双曲线标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论.
2.由条件直接确定a,b的值或建立关于a,b,c的方程（组），解出a,b的值.
3.写出双曲线的标准方程.
【变式2-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点；
(2)渐近线方程为，且经过点.
【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型03 定义法求双曲线的离心率
【典例3-1】（24-25高二下·山西·开学考试）已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【典例3-2】（24-25高二上·湖北襄阳·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为 ．
定义法求双曲线的离心率
所谓定义法，是指利用离心率的定义求解，即建立a,c的关系式，求出的值，再利用定义式求得离心率e，或整体得到.
【变式3-1】（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-2】（24-25高二下·河北唐山·期末）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型04 构造方程求双曲线的离心率
【典例4】（24-25高二下·四川泸州·月考）设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是 ．
方程法求双曲线的离心率
依据条件建立参数a，b，c的关系式．一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率．
【变式4-1】（24-25高二下·贵州六盘水·月考）设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式4-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型05 求双曲线离心率的取值范围
【典例5】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是 .
求双曲线的离心率的取值范围
依据条件建立参数a，b，c的关系式．一种方法是消去b转化成离心率e的不等式求解，另一种方法是消去c转化成含的不等式，求出后利用e＝求离心率．
【变式5-1】（24-25高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（24-25高二上·湖北·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型06 由双曲线的离心率求参
【典例6】（24-25高二上·全国·课后作业）点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
由双曲线的离心率求参问题求解策略
这类问题一般根据椭圆的离心率列出关于参数的方程，解之即得所求.但求解时还需注意椭圆焦点所在的位置，有时要分焦点在x轴还是y轴讨论求解.
【变式6-1】（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25高二上·河南·月考）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【变式6-3】（2025·江西·三模）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，离心率为3，为上一点，且位于第一象限，若垂直于轴，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
题型07 渐近线与双曲线的综合应用
【典例7】（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．2或14
【变式7-1】（24-25高二下·云南文山·月考）已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C．3 D．6
【变式7-2】（24-25高二下·湖南长沙·期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式7-3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左 右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型08 双曲线的对称性
【典例8】（24-25高二上·江西六校·期中）为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
双曲线对称性的应用策略
双曲线关于x轴、y轴，原点对称.应用时，可利用对称简化问题：
求对称点坐标，将非第一象限内的点转化到第一象限来分析；处理弦中点、对称点问题时，用对称性质减少计算，结合双曲线的性质高效解题.
【变式8-1】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知圆与双曲线的右支交于两点，且，则圆的半径的值为 ．
【变式8-2】已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．
【变式8-3】若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为 .
练基础
1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·云南昆明·一模）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率
D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点
7．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是双曲线
C．若，则曲线是椭圆
D．若，则曲线的离心率为
8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ．
9．（24-25高二·上海·随堂练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是 ．
10．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且
(1)求C的方程；
(2)点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求.
11．（24-25高二下·江西六校·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
练提升
12．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
13．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（ ）

A．40 B．50 C．55 D．60
14．（多选）（19-20高三上·湖南长沙·阶段练面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼卵形线，已知曲线E为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线E的几何性质有下四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线E关于原点对称 B．的面积的最大值为2
C．其中x的取值范围为 D．其中y的取值范围为
15．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 .
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ．
17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程，并写出其离心率；
(2)求的焦点到其渐近线的距离；
(3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值．
18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
19．（24-25高二上·全国·课后作业）设双曲线的焦点分别为，，离心率为2．
(1)求此双曲线的渐近线，的方程；
(2)若A，分别为，上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
(3)过点能否作出直线，使与双曲线交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
练创新
20．（2024·河北保定·二模）三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；②.
21．（2025·广东中山·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.2 双曲线的简单几何性质
教学目标 1.掌握双曲线的中心、顶点、长轴、短轴、离心率、渐近线的概念，理解双曲线的范围和对称性． 2.掌握已知双曲线标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系.
教学重难点 1.重点：掌握双曲线的简单性质. 2.难点：用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握双曲线的几何性质的过程中，体会数形结合的思想.
知识点01 双曲线的简单性质（重点）
1、对称性
(1)在双曲线的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以双曲线关于x轴(轴)对称,即坐标轴是双曲线的对称轴.
(2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则双曲线关于原点对称,这个对称中心称为双曲线的中心.
2、范围
由方程得，所以双曲线上的任意一点都满足即因此，双曲线在不等式与所表示的区域内，即位于两条直线和外侧的区域．如图所示.：
3、顶点
双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点.
如图,双曲线的两个顶点的坐标分别为．显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点．两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的实半轴长．为轴上的两个点，线段叫作双曲线的虚轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的虚半轴长．
4、离心率
(1)我们规定,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,即.
(2)因为c>a>0,所以e>1.
(3)因为,所以.
【知识剖析】
细解双曲线的范围和顶点
1.从双曲线的方程或图形中可以直接看出它的范围.
2.双曲线有两个顶点、两个焦点，共四个特殊点，研究双曲线时一定要注意这四个特殊点的位置.
3.已知双曲线的两个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以原点为圆心，以c为半径作弧交实轴于两点，这两点就是该双曲线的焦点.
5、渐近线
一般地，直线 和称为双曲线的渐近线．
【知识剖析】
对双曲线渐近线的四点说明
1.随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．
2.由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解．
4.与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0)．
【即学即练】
1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率.
【答案】答案见解析
【分析】由双曲线的性质逐一求解即可.
【解析】双曲线方程可以化成，
所以，
所以顶点坐标为，
焦点坐标为，
焦距为，
实轴长为，
虚轴长为，
令，可得，即渐近线方程为，
离心率为.
2．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可.
【解析】因为双曲线实轴的长度为，
所以，因为双曲线的一条渐近线方程是，
所以，解得，故双曲线的标准方程为，故A正确.
故选：A
3．（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【分析】判断是双曲线曲线，先分别求解两双曲线的焦距、实轴长、虚轴长、离心率，再判断选项即可．
【解析】的实轴的长为，虚半轴的长为4，
因为，所以曲线是双曲线，
实轴的长为，虚轴的长为，
显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；
双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确．
双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确；
故选：D．
知识点02 双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的双曲线问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．
【即学即练】
1．（24-25高二上·北京平谷·期末）双曲线的焦点到顶点的最小距离是 .
【答案】1
【分析】双曲线焦点到顶点的最小距离为.
【解析】双曲线的焦点到顶点的最小距离为，
故答案为：1
2．（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得.
【解析】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上，
于是，所以.
故答案为：1
3．（多选）（24-25高二下·四川泸州·期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ）
A．的实轴长为 B．的离心率为
C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为
【答案】BC
【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项．
【解析】直线与坐标轴的交点分别为和，
因此双曲线的一个焦点为，即，
又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，
由，解得，
选项A，实轴长为，A错；
选项B，离心率为，B正确；
选项C，双曲线方程为，由解得，即，
右焦点为，则，C正确，
选项D，曲线的顶点坐标为，D错误；
故选：BC．
知识点03 双曲线和的简单性质比较（难点）
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a
顶点 (±a，0) (0，±a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 ，，
渐近线 y＝±x y＝±x
【知识剖析】
离心率对双曲线“张口”大小的影响
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
【即学即练】
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据各项双曲线方程确定焦点位置并写出渐近线方程，即可得答案.
【解析】由、的焦点在轴上，A、B错；
由的焦点在轴上且渐近线方程为，C对；
由的焦点在轴上且渐近线方程为，D错.
故选：C
2．（多选）（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上
B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等
C．的最小值为
D．
【答案】AC
【分析】根据题意 ，利用双曲线的几何性质，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确；
对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误；
对于C中，由，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误．
故选：AC
知识点04 等轴双曲线与共轭双曲线
1、等轴双曲线的性质
在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°．
2、共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）已对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）已对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）；
（4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1．
【即学即练】
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可.
【解析】因为双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，，
将点代入得，解得，
所以双曲线方程为，
故答案为：
2．（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论．
【解析】解：令 ，得，
又双曲线焦点在x轴上，
等轴双曲线的一个焦点为，
即，
∴，
故等轴双曲线的方程为.
故选：A.
3．（多选）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知某双曲线系的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．所有双曲线的焦点均在轴上
B．所有双曲线的焦距均相等
C．双曲线不可能为等轴双曲线
D．当增大时，双曲线的离心率减小
【答案】ABD
【分析】根据题设双曲线方程分析相关性质判断各项的正误即可.
【解析】由题设，结合已知方程知，所有双曲线的焦点均在轴上，A对；
且，则焦距为，B对；
当时，此时方程为为等轴双曲线，C错；
由，故当增大时，双曲线的离心率减小，D对.
故选：ABD
题型01 利用方程研究双曲线的性质
【典例1】（24-25高二上·抚州六校·联考）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（ ）
A．的实轴长为2 B．的离心率为2
C．的渐近线方程为 D．的右焦点到渐近线的距离为
【答案】BD
【解析】由双曲线：可得：，所以，
故实轴长为，故A 错误，
离心率为，故B正确，
渐近线方程为，故C错误，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，故选：BD
由双曲线方程研究其性质的步骤
已知双曲线方程讨论其几何性质时，首先要将其化为标准方程，确定a,b的值，然后求解其几何性质中的其他相关量.若不能确定焦点是在x轴上还是y轴上，则需分情况讨论.
【变式1-1】（24-25高二下·广东揭阳·月考）若双曲线的实轴长为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，解方程即可.
【解析】因为双曲线的实轴长为4，
所以，解得.
故选：A.
【变式1-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本量的关系可求实数的值.
【解析】双曲线方程可化为：，其中，
因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故，
故选：D.
【变式1-3】（多选）（24-25高二下·湖南·月考）已知双曲线和，其中，且，则（ ）
A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同
【答案】BD
【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【解析】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，
双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误；
双曲线和焦距均为，故B正确；
双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，故C错误；
双曲线的渐近线为，
双曲线的渐近线为，故D正确．
故选：BD.
题型02 由双曲线的几何性质求标准方程
【典例2】（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；
(3)与双曲线有公共的渐近线，且过点．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可；
（2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可；
（3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可.
【解析】（1）由，
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点A的坐标代入，得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为．
（2）法一：
∵双曲线1的焦点在轴上，
∴设所求双曲线的标准方程为，
∴，即①
∵双曲线经过点，∴．②
由①②得，故双曲线的标准方程为．
法二：
设所求双曲线的方程为．
∵双曲线过点，∴，
解得或（舍去）．
故双曲线的标准方程为．
（3）设所求双曲线的方程为.
将点代入双曲线方程得，解得，
因此，所求双曲线的标准方程为.
由双曲线的简单性质求双曲线标准方程的步骤
1.确定焦点所在的位置，进而确定双曲线标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论.
2.由条件直接确定a,b的值或建立关于a,b,c的方程（组），解出a,b的值.
3.写出双曲线的标准方程.
【变式2-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点；
(2)渐近线方程为，且经过点.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由双曲线的离心率公式及过定点即可求出标准方程.
（2）由渐近线方程即可将双曲线方程设为，再将定点代入即可.
【解析】（1）设所求双曲线方程为.
,，所以,解得
所以双曲线的标准方程为
（2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为.
因为在双曲线上， 即，
所以双曲线的标准方程为
【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可.
【解析】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，，
则双曲线的焦点在轴上，且，，所以，
所以双曲线的方程为.
【变式2-3】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程.
【解析】设等轴双曲线的方程为，
将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得，
因此，该双曲线的方程为.
故选：C.
题型03 定义法求双曲线的离心率
【典例3-1】（24-25高二下·山西·开学考试）已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据双曲线的焦距与标准方程，利用离心率的公式，可得答案.
【解析】因为双曲线的焦距为12，所以，解得，
又，所以该双曲线的离心率为.
故选：C.
【典例3-2】（24-25高二上·湖北襄阳·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【分析】由得，根据双曲线的定义得，结合离心率的概念即可求解.
【解析】由，，
得，又，
所以.
故答案为：2
定义法求双曲线的离心率
所谓定义法，是指利用离心率的定义求解，即建立a,c的关系式，求出的值，再利用定义式求得离心率e，或整体得到.
【变式3-1】（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可.
【解析】由题设得，所以.
故选：B．
【变式3-2】（24-25高二下·河北唐山·期末）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系，由正弦值求出正切值，根据双曲线的渐近线方程，求出参数关系式，进而求出离心率.
【解析】不妨设为锐角，由，可知，则，
渐近线方程为，即，可得，
离心率.
故选：C.
【变式3-3】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可.
【解析】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为，
所以，
所以，所以，双曲线C的离心率.
故选：C.
题型04 构造方程求双曲线的离心率
【典例4】（24-25高二下·四川泸州·月考）设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是 ．
【答案】/
【分析】根据题意得到或，进而得到，构造出关于的齐次式，解出答案.
【解析】显然，或，不妨令，将代入双曲线方程，，
解得：，由等腰直角三角形可得，则，方程两边同除以得：
，解得：，因为，所以离心率为．
故答案为：.
方程法求双曲线的离心率
依据条件建立参数a，b，c的关系式．一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率．
【变式4-1】（24-25高二下·贵州六盘水·月考）设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据双曲线方程及性质求出的长度，再利用正三角形性质和双曲线定义建立关于离心率的方程，从而求得离心率.
【解析】由题可知：过作轴的垂线交双曲线于两点，所以.
又因为是正三角形，所以为直角三角形且；所以.
根据双曲线定义可知：，即，解得.
所以.
故选：.
【变式4-2】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设点在第一象限，先根据条件求出，再根据即可化简得出离心率.
【解析】由题意可知，，渐近线方程为，
因，不妨设点在第一象限，
则由，得，即，
因，则，
结合，得.
故选：A
【变式4-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率.
【解析】如图：
设直线与圆的切点为，作，交于点，则.
因为，，所以.
又为中点，所以，.
又，，
所以可设：，，.
由.
根据双曲线的定义：.
所以.
所以.
故选：A
题型05 求双曲线离心率的取值范围
【典例5】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果.
【解析】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，
又，所以，即，则，
因为双曲线中，，
即，则，即，
又双曲线的离心率大于，所以.
所以双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：.
求双曲线的离心率的取值范围
依据条件建立参数a，b，c的关系式．一种方法是消去b转化成离心率e的不等式求解，另一种方法是消去c转化成含的不等式，求出后利用e＝求离心率．
【变式5-1】（24-25高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率的公式求解即可.
【解析】由题意，故，故.
故选：B
【变式5-2】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解.
【解析】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，
所以或 ，
即 或 ，又 ，
所以，
故选：D
【变式5-3】（24-25高二上·湖北·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线焦点到渐近线的距离，得出的表达式，再根据题中不等关系得到、的齐次式，转化为关于离心率的不等式，进而得到离心率的范围.
【解析】焦点到渐近线即的距离，
所以，
因为，即，
所以.解得，即，
又因为双曲线中，所以.
故选：C
题型06 由双曲线的离心率求参
【典例6】（24-25高二上·全国·课后作业）点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】设，，先根据的面积求出，再根据双曲线的定义结合勾股定理求出的关系，再结合离心率公式即可得解.
【解析】设，，
则，①
又因为，所以，②
得，所以，
又因为的面积是9，
所以，所以．
又因为双曲线的离心率，
所以，，所以，所以．
故选：D.
由双曲线的离心率求参问题求解策略
这类问题一般根据椭圆的离心率列出关于参数的方程，解之即得所求.但求解时还需注意椭圆焦点所在的位置，有时要分焦点在x轴还是y轴讨论求解.
【变式6-1】（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据双曲线离心率公式求得，再代入椭圆的离心率公式求解即可.
【解析】∵双曲线的离心率为，
，即.
∴椭圆的离心率为：.
故选：A.
【变式6-2】（24-25高二上·河南·月考）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据离心率列方程，从而求得.
【解析】，，因为，所以，解得.
故选：B
【变式6-3】（2025·江西·三模）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，离心率为3，为上一点，且位于第一象限，若垂直于轴，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据题意可用将点的坐标表示出来，进而利用离心率可求得直线的斜率.
【解析】根据题意可得：，，.
将点的横坐标代入双曲线方程得：，
则，因为，所以.
所以点.
所以直线的斜率为.
故选：B.
题型07 渐近线与双曲线的综合应用
【典例7】（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．2或14
【答案】B
【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得.
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，，
根据双曲线定义，，
解得或1，又，所以.
故选：B.
【变式7-1】（24-25高二下·云南文山·月考）已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可.
【解析】由题意，，，，，，，
双曲线的焦点到渐近线的距离为，
故选：A.
【变式7-2】（24-25高二下·湖南长沙·期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线的斜率，进而得到的关系，再结合点到直线的距离公式求出的值，最后根据的关系求出焦距.
【解析】双曲线（，）的渐近线方程为，即．
，分别为C的两条渐近线的倾斜角，
．
又，，
，．
又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，
双曲线C的焦距为．
故选：C
【变式7-3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左 右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解.
【解析】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形.
因为，所以，故四边形为矩形，
由双曲线定义得，在直角中，，
由，得，解得，
所以，
所以的渐近线方程为.
故选：A.
题型08 双曲线的对称性
【典例8】（24-25高二上·江西六校·期中）为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【答案】C
【分析】利用双曲线的对称性及双曲线的定义求解即可.
【解析】设双曲线的右焦点为，
由双曲线的对称性可知，，
则
．
故选：C.
双曲线对称性的应用策略
双曲线关于x轴、y轴，原点对称.应用时，可利用对称简化问题：
求对称点坐标，将非第一象限内的点转化到第一象限来分析；处理弦中点、对称点问题时，用对称性质减少计算，结合双曲线的性质高效解题.
【变式8-1】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知圆与双曲线的右支交于两点，且，则圆的半径的值为 ．
【答案】
【分析】设，结合题意，求得，代入双曲线的方程，即可求得的值.
【解析】如图所示，设点的坐标为，
因为，根据双曲线的对称性，可得，
又因为，可得，即，
将点代入双曲线，可得，解得.
故答案为：.
【变式8-2】已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．
【答案】A
【分析】利用两条渐近线的夹角求出渐近线的倾斜角，再根据条件验证即可得解.
【解析】依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，
于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，
又，则有，所以双曲线的离心率.
故选：A
【变式8-3】若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上，即可求出，进而求出双曲线的渐近线方程.
【解析】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，
又双曲线的图象关于原点对称,
所以点， 在双曲线上，
所以，解得，
所以其渐近线方程为：.
故答案为：.
练基础
1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.
【解析】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，，
所以焦点到渐近线的距离.
故选：B.
2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】联立方程求出点，写出向量坐标，结合数量积的坐标运算可得答案.
【解析】由题意，
联立，可得或，
因为点是直线与双曲线的右支交点，所以.
，
所以.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件求出a、b、c的值代入方程即可
【解析】由题意知，解得，故双曲线的标准方程为．
故选：A．
4．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知条件可求得和，从而可求离心率的取值范围.
【解析】由题可得：，则，
由直线与圆有公共点，则点到直线的距离，
所以，由离心率．
故选：B．
5．（2025·云南昆明·一模）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可.
【解析】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.
故选：A.
6．（多选）（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率
D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程求得，双曲线方程求得，且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，结合椭圆和双曲线的性质逐项分析判断.
【解析】对于椭圆的方程为，可得，
对于双曲线的方程为，可得，
且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，
对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确；
对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，
所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误；
对于选项C：椭圆的离心率，故C正确；
对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部，
所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确；
故选：ACD.
7．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是双曲线
C．若，则曲线是椭圆
D．若，则曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据四种曲线的定义可得结果
【解析】A选项：由题意，曲线，若，则，
此时曲线，表示两条直线，A选项正确；
B选项：若，又，则，曲线，可化为，此为双曲线方程，B选项正确；
C选项：若，取，则曲线表示圆，C选项错误；
D选项：若，又，所以，则为，则为等轴双曲线，其离心率为，D选项正确.
故选：ABD.
8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得出，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得，再计算即可．
【解析】由题可得，渐近线方程为，
不妨取，即，
所以，
所以，
故答案为：．
9．（24-25高二·上海·随堂练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线和椭圆标准方程和离心率公式即可求解.
【解析】对于双曲线，设右焦点为，所以，
对于椭圆，设右焦点为，所以，
因为有共同的焦点，所以，所以，
所以椭圆的离心率是．
故答案为：
10．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且
(1)求C的方程；
(2)点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知可得，由可得，进而得到，即可确定双曲线方程；
（2）由（1）有，令、渐近线为，应用点线距离公式求距离，即可得结果.
【解析】（1）由题意，即，又，
则，，
则，即，
则，即.
（2）由（1）知：，将代入双曲线，得，
不妨令，又双曲线渐近线为，如下图示，
所以，，则.
11．（24-25高二下·江西六校·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
【答案】(1)，；(2)1.
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.
【解析】（1）由离心率，又，则，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
其渐近线方程为.
（2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，
的方程为；
设
由，得，
练提升
12．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】由题意题意，根据曲线的离心率，再由双曲线的关系式和基本不等式，即可得到最值；
【解析】双曲线中，由双曲线方程，则
，当且仅当时取等号．
故选：C．
13．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（ ）

A．40 B．50 C．55 D．60
【答案】A
【分析】由已知可得，将点代入双曲线方程得，进而可求，直线的方程为.令，得， .连接，.由可得，所以.又因为点为双曲线左支上一点，且，可知当时，取得最小值，即可求解的最大值.
【解析】由已知可得，将点代入双曲线方程得，解得，
所以，所以，直线的方程为.
令，解得，所以，所以，所以.
连接，.因为，所以，
所以.
（另解 也可用极化恒等式来化简，）.
又因为点为双曲线左支上一点，且，所以当时，取得最小值，所以的最大值为40.
故选：A.
14．（多选）（19-20高三上·湖南长沙·阶段练面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼卵形线，已知曲线E为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线E的几何性质有下四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线E关于原点对称 B．的面积的最大值为2
C．其中x的取值范围为 D．其中y的取值范围为
【答案】ABC
【分析】对A，根据题意求出曲线的方程并化简，将代入上式，验证方程不变得解；对B，将的最大值代入到面积公式可判断；对C，由求解判断；对D，令，得，求解判断.
【解析】对于A，依题意得，化简得，
将代入上式，方程不变，所以曲线关于原点对称，故A正确；
对于C，由，得，
由，得，则，即，
解得，故C正确；
对于D，令，则，
所以，当时，的最大值为，
所以，故，故D错误；
对于B，由以上可知的最大值为，又的面积为，
所以的面积的最大值为，故B正确.
故选：ABC.
15．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 .
【答案】/
【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案.
【解析】设为坐标原点，则，
从而.

设的左焦点为，连接，
由双曲线的定义，得.
在中，由余弦定理，得，
解得.
由，得，解得，
所以.
故答案为：.
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】设过的直线与相切于点，过点作于，由相似可得，再结合双曲线定义和余弦定理可得，运算得解.
【解析】设过的直线与相切于点，过点作于，
易知，由相似比得，
所以，又，所以，
又点在上，所以，则，
在中，由余弦定理得，，
结合，代入化简得，
所以，即，
故渐近线方程为．
故答案为：．
17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程，并写出其离心率；
(2)求的焦点到其渐近线的距离；
(3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值．
【答案】(1)，．(2)(3)
【解析】（1）因为双曲线与有相同的渐近线，
所以可设双曲线的方程为，
将代入，得，得，
故双曲线的方程为，所以，故离心率．
（2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为，
故的焦点到其渐近线的距离．
（3）联立直线AB与双曲线的方程，得
整理得，．
设，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，
所以AB的中点坐标为．
又点在圆上，所以，所以．
18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可；
（2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可；
（3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率.
【解析】（1）根据题意可得，则．
将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为．
（2）由（1）得，即，则，则直线的方程为．
设，由得，
，
所以．
（3）设，
则两式相减得．
设，则所以，
即，所以，即，
所以直线OP的斜率．

19．（24-25高二上·全国·课后作业）设双曲线的焦点分别为，，离心率为2．
(1)求此双曲线的渐近线，的方程；
(2)若A，分别为，上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
(3)过点能否作出直线，使与双曲线交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)双曲线方程为，渐近线方程为
(2)，点的轨迹是中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆
(3)不存在满足条件的直线，理由见解析
【分析】（1）根据方程和离心率求得，，即可得渐近线方程；
（2）设，，的中点为，根据题意可得，结合渐近线方程运算求解即可；
（3）假设存在，讨论直线的斜率是否存在，联立方程，根据向量垂直和韦达定理分析判断即可.
【解析】（1）因为，所以．
又因为，可得，．
所以双曲线方程为，渐近线方程为．
（2）设，，的中点为．

因为，则．
假设，，
则，．
可得
．
因为，，
则，即．
所以点的轨迹是中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆．
（3）假设存在满足条件的直线．

当直线的斜率不存在，即直线方程为时，
易得，的坐标分别为，．
因为，
所以直线不符合条件．
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
与双曲线交于，两点．
因为，所以．
所以，
所以①．
由消去，整理得，
则，，②．
将②代入①式，得
整理可得，无解．
综上可知，不存在满足条件的直线．
练创新
20．（2024·河北保定·二模）三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；②.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果；
（2）①根据条件得到直线的方程为，设，则
，利用两点间的距离公公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果.
【解析】（1）设双曲线的方程为，
由及，可得，所以，
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）①由题可得，
因为，所以直线的方程为，
设，则，
所以，
，所以，为定值.
②因为，由①得，
因为，所以，
又都是锐角，所以，
所以，所以.
21．（2025·广东中山·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标
【答案】(1)为双曲线的一部分，解析式为
(2)或
【解析】（1）设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为，
则，，
由题意得，得，化简得，
，．令，得，
为双曲线的一部分，解析式为；
（2）由题意知．
设，，，，
则，，，
，，，
易知，，得，，
即，．
将点的坐标代入，得，
化简整理得．
同理可得，
与为方程的两个解，
．
由题知，，解得，
点的坐标可能为或.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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