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专题2.1 双曲线及其标准方程
教学目标 1.理解双曲线的定义； 2.掌握双曲线标准方程推导过程； 3.通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美，培养学习数学的兴趣．
教学重难点 1.重点：理解和掌握双曲线的定义、图形和标准方程及其求法. 2.难点：双曲线方程的推导.
知识点01 双曲线的定义（重点）
1.定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.集合语言表达式
集合:.
(1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，M点不存在．
【知识剖析】
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练】
1.已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)
A．||PF1|－|PF2||＝5　 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
【答案】A
【详解】A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；
B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；
C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；
D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.，故选A．
知识点02 双曲线的标准方程（重点）
1.标准方程
标准方程 （） （）
图形
间的关系
【知识剖析】
探究双曲线的标准方程中的“标准”
连接双曲线两焦点所得线段的中点在原点，且平面直角坐标系是以两定点所在直线和两定点所连线段的垂直平分线为坐标轴建立的，不符合上述特征的双曲线的方程都不是双曲线的标准方程.
2．探究双曲线的标准方程
(1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,ab>0.
(2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件.
(3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点的位置是双曲线的定位条件,焦点的位置决定了双曲线标准方程的类型:焦点在x轴上标准方程中含项的系数为正;焦点在y轴上标准方程中含项的系数为正.
3.双曲线的一般方程
若不能确定双曲线焦点的位置,常可设出所求双曲线的一般方程.
(1)当m>0,n<0时，双曲线的焦点在x轴上；
(2)当m<0,n>0时，双曲线的焦点在y轴上.
4.双曲线的基础三角形
在双曲线的标准方程中，因为a,b,c三个量满足,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,此三角形为双曲线的基础三角形，且长度为c的线段是此三角形的斜边,如图.
【即学即练】
1．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义即可求解.
【详解】设动点，则由题意可得，
所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又，
所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
2．在双曲线的标准方程中，若a=3,b=4,则其标准方程为 .
【答案】
【详解】当焦点在x轴上时，由,得双曲线的标准方程为
当焦点在x轴上时，由,得双曲线的标准方程为
知识点03椭圆与双曲线定义及方程的比较（难点）
椭圆 双曲线
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆 平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线
标准方程 ＋＝1；＋＝1(a>b>0) －＝1；－＝1(a>0，b>0)
a、b、c的关系 a>b>0，b2＝a2－c2 a>0，b>0，a不一定大于b，b2＝c2－a2
焦点位置的判定 通过比较x2项，y2项系数的大小进行判定 比较x2项与y2项系数的正负，哪项系数为正，焦点就在哪条轴上
图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
【即学即练】
1.椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，且P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|等于__________________.
【答案】m－a
【详解】由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2， ①
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2， ②
由①2减去②2的差再除以4得|PF1|·|PF2|＝m－a.
题型01 待定系数法求双曲线的标准方程
【典例1】根据下列条件求双曲线的标准方程
(1)与双曲线有相同焦点，且经过点;
(2)双曲线过两点.
【详解】(1)方法1:由条件可知焦点在轴上，设双曲线方程为
则解得
∴所求以曲线标准方程.
方法2：设所求双曲线方程为,
则，
∴或（舍去）.
∴所求以曲线标准方程.
(2)因为双曲线的焦点位置不定，所以设双曲线的方程为：
∵点在双曲线上，,
解得，所求的双曲线方程为.
【解后反思】(1)待定系数法是求双曲线标准方程的基本方法,有时也可结合双曲线的定义求其标准方程.
(2)与双曲线共焦点的双曲线方程可设为
,焦点在y轴上的类似可设.
待定系数法求双曲线标准方程的步骤
【变式1-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得.
【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且，
故可设所求双曲线方程为：，依题得：，
解得：，故所求的双曲线方程为：.
故选：D.
【变式1-2】（24-25高二上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【详解】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
题型02 定义法求双曲线的标准方程
【典例2】求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
【详解】(1)方法一：(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程得
－＝1，又a2＋b2＝9，
解得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法二：(定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，
则2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
即双曲线的标准方程为－＝1.
利用定义法求双曲线的标准方程
若已知双曲线两焦点及双曲线上一点的坐标，则由双曲线定义可知，双曲线上的任一点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，由此可确定a的值，再进一步求b.
【变式2-1】（24-25高二上·重庆·期中）如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义和性质计算即可.
【详解】
设双曲线的方程为，
由题意得，则，
，则，，
所以双曲线的方程为.
【变式2-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为 .
【答案】
【分析】由题意判断满足双曲线的定义，通过双曲线的定义求出所求的方程即可．
【详解】因为在直角坐标平面内，已知，，
所以点满足双曲线的定义，到与到的距离的差是常数2，轨迹是双曲线的一支．
由题意可知，，所以，
所求的点所在曲线的方程为：，即．
题型03 由方程表示双曲线的条件求参
【典例3】（多选）（24-25高二上·广西桂林·期中）对于曲线，下面说法正确的是（ ）
A．若，曲线的长轴长为2
B．若曲线是椭圆，则的取值范围是
C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3
【答案】CD
【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误；
B选项，，解得或，B错误；
C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，
故，解得，
又，解得，D正确.
故选：CD
由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围.
【变式3-1】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得.
故选：A.
【变式3-2】（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BC
【详解】对A，当曲线是椭圆时，则，解得或，故A错误；
对B，当曲线是双曲线时，，解得或，故B正确；
对C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
对D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，故D错误．
故选：BC．
题型04 点与双曲线位置关系的判断
【典例4】若点P在椭圆内，也在双曲线内，则t的取值范围为 .
【答案】
【详解】根据题意得，解得,即的取值范围为.
点与双曲线位置关系的判断方法
双曲线是一个开放的图形，平面内点和双曲线的位置关系如下：
（1）若，则点在双曲线上；
（2）若，则点在双曲线内；
（3）若，则点在双曲线两支之间．
【变式4】若点P在椭圆外，也在双曲线的两支之间，则t的取值范围为 .
【答案】
【详解】根据题意得，解得,即的取值范围为.
题型05 利用定义求双曲线的焦半径
【典例】设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
【答案】B
【详解】双曲线的，
由双曲线的定义可得．
因为，所以，得或17，
若，则在右支上，应有，不成立；
若，则在左支上，应有，成立．
故选：B．
利用定义求双曲线的焦半径
若点P在以F1，F2为焦点的双曲线上，则由双曲线的定义可得故已知双曲线的一条焦半径时，可用双曲线的定义求得它的另一条焦半径，但要注意检验所求得的两解是否都符合题意.
【变式5-1】已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ）
A．20 B．22 C．28 D．36
【答案】C
【详解】由题意知，，
所以，
又，
所以，
所以的周长为．
故选：C．
【变式5-2】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ．
【答案】9
【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有，
因为，解得，
由双曲线的定义：，
解得或，
由图可知，可知被舍去，
所以.
题型06 与双曲线有关的轨迹问题
【典例6-1】（24-25高二上·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点，则的斜率为，的斜率为，
故，
所以，故D正确.
故选：D
【典例6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
故选：C
两种方法搞定与双曲线有关的点的轨迹问题
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，若符合双曲线的定义，从而得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴．(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．　
【变式6-1】已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．
故选：C．
【变式6-2】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，
设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，
由圆O与圆C外切，得，又，，
则，
因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，
所以双曲线方程：．
故选：C
【变式6-3】过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】点，且圆的圆心，半径为2，
由题意，即，
所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，，
得，故圆心P的轨迹方程为．
故答案为：.
题型07 双曲线的焦点三角形问题
【典例7】设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ．
【答案】
【详解】【解法一】
由题意，，不妨设，
则，由余弦定理，
所以，，
所以，.
[秒解]利用双曲线焦点三角形面积公式秒杀
.
双曲线的焦点三角形求解策略
1．双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形．对于双曲线的焦点三角形问题常利用双曲线定义结合三角形有关知识(正、余弦定理、面积公式)求解，要注意把握整体思想的应用．
2．双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
【变式7-1】（24-25高二下·安徽·月考）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案.
【详解】由双曲线，则，
由于为的中点，Q为线段的中点，且，
所以，则.
故选：C.
【变式7-2】（24-25高二上·河北衡水·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，即可利用余弦定理求解.
【详解】由双曲线方程知，焦点为，则椭圆中，

由双曲线和椭圆的定义知：，，
所以，又，
则.
故选：C
【变式7-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点，
(1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程；
(2)若，求的值．
【分析】（1）根据三角形面积以及离心率计算可得结果；
（2）设，结合双曲线定义以及勾股定理计算可求得的长，再由正切值定义计算可得.
【详解】（1）设点，由题意知．
则，解得．
由题意知，所以，
所．
所以双曲线的方程为．
（2）设，则由双曲线定义得，则．
由勾股定理得，则．
由题意知，代入上式得，
解得或（舍去），
所以．
题型08 双曲线中的距离最值问题
【典例8-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）(24已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．
【答案】B
【详解】由圆可化为，则，半径为1，
因为是的下焦点，则，
由双曲线定义可得，
所以，
当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.
故选：B.
【典例8-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ．
【答案】8
【详解】，，
，
而函数在上单调递增，
所以当且仅当时，.
双曲线中的距离最值求解策略
1.在遇到双曲线中线段和或的最值问题时，常利用双曲线的上点的性质（）及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解.
2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.
【变式8-1】（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值；
【详解】设双曲线的右焦点为.
对于双曲线，可得，则.
因为点在双曲线的右支上，所以，即.
则.
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号.
已知，，根据两点间距离公式，可得.
所以，即的最小值为.
【变式8-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解.
【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，.
由双曲线定义可得，即.
，
当且仅当三点共线时，取得最大值.
∵点N是圆上的动点，
∴圆心设为，半径，
，.
故答案为：.
题型09 双曲线的实际应用
【典例9】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
【分析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论；
设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论．
【详解】（1）由题意可得，，，
，，
经过口时最短距离：，
经过口时最短距离：．
因为,
所以经过入口运送较近．
（2）设点，已知
，可得
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点．
双曲线的实际应用
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.
【变式9-1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ）
A．3米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断.
【详解】根据题意，，，故，解得，即，
则当水面宽度为米时，即时，解得，，
因此，拱顶M到水面的距离为.
故选：D
【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】设炮弹爆炸点P的坐标为，则，
所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支．
因为，所以．又，
所以，
故炮弹爆炸点的轨迹方程为．
故选：B．
题型10 双曲线与向量、复数模长交汇问题
【典例10-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用复数的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】由复数满足，可得
根据复数的几何意义，方程表示复数对应的点到点和间的距离之差的绝对值为定值，
由双曲线的定义，可得复数所对应轨迹为以和为焦点的双曲线
且，可得，则，
所以复数所对应的点的轨迹方程为.
【典例10-2】（2025·江西·模拟预测）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】设，，，根据题意分析得为双曲线右支上一点，为圆上一点，从而将问题转化为的最小值，利用双曲线与圆的性质即可得解.
【详解】因为，所以假设，，.
由，得，
设，则点到点与的距离之差为2，
即点的轨迹为双曲线的右支，其中，
则，即为双曲线右支上一点.
由，得，即为圆上一点.
如图，要求的最小值，即求的最小值，即求的最小值.
设，，所以，所以.
双曲线与向量、复数的模长交汇问题
平面向量与复数的一类模长问题可转化为点到两定点间距离之差或差的绝对值为定值的问题，对于这类问题，常进一步转化为双曲线问题求解.
【变式10】（24-25高二下·上海·开学考试）平面向量为两个相互垂直的单位向量．，满足，，则在方向上的数量投影的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设平面向量，在分别在坐标轴上，设，，由双曲线和圆的定义得到点，的轨迹方程，由投影的定义作出图像，然后由双曲线渐近线求得最值.
【详解】∵平面向量，为两个相互垂直的单位向量，
∴设平面向量，在直角坐标系的轴和轴上，且起点均为坐标原点.
则设，，即，
，
∵，，
∴，
由双曲线的定义可知，点在以双曲线上，
，即，
由圆的定义可知，点在圆上，
如图：
显然当点坐标为或，点坐标为或时，
在方向上的数量投影为0.
由对称性，我们取点在一象限.
过点分别作的垂线，分别垂直于点.
即为在方向上的数量投影，
显然当时，，此时最大，
因为，，
所以当最小时，最大，
又因为双曲线的渐近线为，设，则，即，
所以.
∴.
练基础
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D. (，0)
【答案】C
【详解】将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，故右焦点的坐标为.
2．（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】由题意可知，,故动点的轨迹是以为端点，以轴正方向的一条射线，
故选：D
3．（24-25高三下·广西·阶段练习）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（ ）
A．1 B．1或9 C．9 D．3
【答案】C
【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】由题意可得，即，又，即，
由双曲线的定义可得，解得或9，
又，所以．
故选：C.
4.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且．
设双曲线的方程为，所以解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：D．
5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程.
【详解】由及双曲线的定义可知，
点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则，
因为，所以，故点的轨迹方程为．
故选：A
6（24-25高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，
以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.
由题意可知，设，则，
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，
所以，所以方程可化简为，
将和的坐标代入式可得，解得，
则笔筒最细处的直径为.故选：C.
7.（多选）（24-25高二·全国·单元测试）过点且的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】分焦点在x轴上和焦点在轴上两种情况讨论，求出对应的标准方程即可.
【详解】∵，∴，
当焦点在轴上时，设，代入点，得，
此时双曲线方程为，
同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为，
故选AC.
8．（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知曲线，则（ ）
A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线
【答案】CD
【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为曲线：.
当时，表示圆；
当，且时，表示椭圆；
当时，表示双曲线；
当或时，表示两条直线.
所以CD正确.
故选：CD
9．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程的特征即可求解.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得.
故答案为：.
10.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】设，，由题意知动点M满足，
故动点M的轨迹是射线．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
【答案】4
【详解】双曲线右焦点为(4，0)，
将x＝3代入－＝1，得y＝±.
所以点M的坐标为(3，)或(3，－)，
所以点M到双曲线右焦点的距离为＝4.
12．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C的轨迹L的方程．
【详解】依题意得两圆的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，
所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝2，
所以圆心C的轨迹是双曲线，其中a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，
故圆心C的轨迹L的方程是－y2＝1.
13．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知双曲线C：的焦点为4，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)双曲线C的两个焦点是，，双曲线上有一点P，，求的面积．
【分析】（1）利用双曲线的离心率和其所过的点即可求出，；
（2）利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）双曲线的焦距为4，可得c=2，
所以，①
又因为双曲线经过点，则，②
联立①②解得，
则双曲线的方程为.
（2）点为双曲线上一点，，设，，由（1）知，
由双曲线的定义可得：，则有，③
又由，得，④
联立③④解可得，
则△的面积.
14．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线的焦距为,
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
【分析】（1）根据双曲线的性质，利用焦点到渐近线的距离和焦距以及即可求解；
（2）设双曲线的左焦点为，根据双曲线定义将转化为，即可得出当，，三点共线时取得最小值，进而求解即可.
【详解】（1）双曲线的焦距为，
半焦距，右焦点，
，
双曲线的方程为.
（2）设双曲线的左焦点为，则，
由双曲线的定义可知，，
，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故的最小值为.
练提升
15．（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可.
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，所以,
所以，点的轨迹为双曲线的右支.
设双曲线的方程为，则，，，
所以，点的轨迹方程为.
故选：D.
16．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理计算可得.
【详解】如图，由于，，且，，
设，则，故，
所以，即，则，，，，
在中由余弦定理.
故选：B
17．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A．不存在 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案..
【详解】依题意，下焦点，设上焦点，
双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，
所以延长时，与双曲线没有交点，，
设延长，交双曲线上支于，
依题意，是双曲线上支上的动点，
根据双曲线的定义可知，
，当在点时等号成立，则，
所以，所以，
所以，所以的最大值不存在.
故选：A
18. (多选)（24-25高二上·贵州铜仁·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹是椭圆
B．若，则点的轨迹为圆
C．若，则点的轨迹为双曲线
D．若，则点的轨迹为一条线段
【答案】B
【分析】令，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D.
【详解】令，则：
A：由，结合椭圆定义，显然轨迹不是椭圆，错；
B：由，则，
所以，即点的轨迹为圆，对；
C：由，根据双曲线定义，轨迹为双曲线的右支，错；
D：由题设，整理得，即点的轨迹为一条直线，错.
故选：B
19.(多选)（24-25高三上·浙江·期末）已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
【答案】ACD
【分析】利用椭圆、双曲线方程及位置特征，逐项列式求解判断.
【详解】对于A，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，A正确；
对于B，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，B错误；
对于C，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，C正确；
对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，D正确.
故选：ACD
20.(24-25高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ．
【答案】
【分析】利用双曲线表达式求出焦距，结合余弦定理求出的值，即可求出的周长.
【详解】由题意，
在双曲线中，，
∴，，
由余弦定理的推论可得，
所以，
所以，，
所以，所以，
所以的周长为．
21．（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】由利用双曲线的定义，得到，利用余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
因为是该双曲线上一点，且，可得，
即，
在中，可得，
可得，所以的面积为.
故答案为：.
22．（24-25高二上·河北保定·期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到，由此得解.
【详解】如图，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，
故，
所以曲线的轨迹方程为，
因为，
所以，
当且仅当共线时，等号成立，
所以从处到、两村的路程之和的最小值为.
23.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．
(1)求的轨迹的方程；
(2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上，所以，
又点是圆上一动点，所以．
①当时，；
②当时，，
所以的轨迹满足，
根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左 右焦点，实轴长为的双曲线，
可得，所以的轨迹的方程为．
（2）设，所以，
因为直线的斜率为，所以，即，
与联立解得（舍去）或3．
所以点的坐标为．
24．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)当时，求的面积.
(3)求的取值范围.
【分析】（1）由题意可得，可求得轨迹的方程；
（2）由余弦定理得，给合，可求得的面积；
（3）设，分别用向量表示，由题意可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线，
设此双曲线方程为，
易知，又由，解得，
即轨迹的方程为：；
（2）∵为双曲线E:上的一点，
∴，平方得 ①，
在中，由余弦定理，得，
即 ②，
由，得，即，
所以的面积.

（3）设，则，所以，.
所以的取值范围是.
练创新
25．（23-24高二上·安徽·阶段练习）根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可求出a的值，即得的值，利用余弦定理即可求出的值，从而求得的面积，进而结合等面积法求得答案.
【详解】设双曲线的焦距为2c，
由题意，得，所以，解得，
所以，由及余弦定理，
得，
即，所以，
的面积，
设P到公路l的距离为h，则，所以，
即P到公路l的距离为，
故选：D.
26．（24-25高二下·上海金山·期中）在平面中，非零向量满足，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，即可得到点在以、为焦点的双曲线上（一支），且为边长为6的等边三角形，以所在的轴为轴，以的垂直平分线为轴建立如图所示平画直角坐标系，求出双曲线方程，再由向量模的坐标公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】设，，
因为，，
则，，
所以点在以、为焦点的双曲线上（一支），且为边长为6的等边三角形，
以所在的轴为轴，以的垂直平分线为轴建立如图所示平画直角坐标系，
则，
设双曲线方程为，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以
，
当时，取到最小值．
27．（24-25高二·上海·随堂练习）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
(1)求最小直径圆面的面积；
(2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.
【分析】（1）由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解；
（2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解.
【详解】（1）
由题设，则有在双曲线上，
所以，解得，
因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，
此时圆面的面积为（平方米）；
（2）由（1）可知的一条渐近线方程为，
如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，
所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为，
，
由，解得，则，
由，解得，则，
所以（米）.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.1 双曲线及其标准方程
教学目标 1.理解双曲线的定义； 2.掌握双曲线标准方程推导过程； 3.通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美，培养学习数学的兴趣．
教学重难点 1.重点：理解和掌握双曲线的定义、图形和标准方程及其求法. 2.难点：双曲线方程的推导.
知识点01 双曲线的定义（重点）
1.定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的 为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ， 叫做双曲线的焦距.
2.集合语言表达式
集合:.
(1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是 ；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是 ；
(3)当2a>|F1F2|时，M点 ．
【知识剖析】
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练】
1.已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)
A．||PF1|－|PF2||＝5　 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
知识点02 双曲线的标准方程（重点）
1.标准方程
标准方程 （） （）
图形
间的关系
【知识剖析】
探究双曲线的标准方程中的“标准”
连接双曲线两焦点所得线段的中点在原点，且平面直角坐标系是以两定点所在直线和两定点所连线段的垂直平分线为坐标轴建立的，不符合上述特征的双曲线的方程都不是双曲线的标准方程.
2．探究双曲线的标准方程
(1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,ab>0.
(2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件.
(3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点的位置是双曲线的定位条件,焦点的位置决定了双曲线标准方程的类型:焦点在x轴上标准方程中含 的系数为正;焦点在y轴上标准方程中 的系数为正.
3.双曲线的一般方程
若不能确定双曲线焦点的位置,常可设出所求双曲线的一般方程.
(1)当 时，双曲线的焦点在x轴上；
(2)当 时，双曲线的焦点在y轴上.
4.双曲线的基础三角形
在双曲线的标准方程中，因为a,b,c三个量满足,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,此三角形为双曲线的基础三角形，且长度为c的线段是此三角形的斜边,如图.
【即学即练】
1．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．在双曲线的标准方程中，若a=3,b=4,则其标准方程为 .
知识点03椭圆与双曲线定义及方程的比较（难点）
椭圆 双曲线
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆 平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线
标准方程 ＋＝1；＋＝1(a>b>0) －＝1；－＝1(a>0，b>0)
a、b、c的关系 a>b>0，b2＝a2－c2 a>0，b>0，a不一定大于b，b2＝c2－a2
焦点位置的判定 通过比较x2项，y2项系数的大小进行判定 比较x2项与y2项系数的正负，哪项系数为正，焦点就在哪条轴上
图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
【即学即练】
1.椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，且P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|等于__________________.
题型01 待定系数法求双曲线的标准方程
【典例1】根据下列条件求双曲线的标准方程
(1)与双曲线有相同焦点，且经过点;
(2)双曲线过两点.
待定系数法求双曲线标准方程的步骤
【变式1-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高二上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
题型02 定义法求双曲线的标准方程
【典例2】求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
利用定义法求双曲线的标准方程
若已知双曲线两焦点及双曲线上一点的坐标，则由双曲线定义可知，双曲线上的任一点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，由此可确定a的值，再进一步求b.
【变式2-1】（24-25高二上·重庆·期中）如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【变式2-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为 .
题型03 由方程表示双曲线的条件求参
【典例3】（多选）（24-25高二上·广西桂林·期中）对于曲线，下面说法正确的是（ ）
A．若，曲线的长轴长为2
B．若曲线是椭圆，则的取值范围是
C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3
由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围.
【变式3-1】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
题型04 点与双曲线位置关系的判断
【典例4】若点P在椭圆内，也在双曲线内，则t的取值范围为 .
点与双曲线位置关系的判断方法
双曲线是一个开放的图形，平面内点和双曲线的位置关系如下：
（1）若，则点在双曲线上；
（2）若，则点在双曲线内；
（3）若，则点在双曲线两支之间．
【变式4】若点P在椭圆外，也在双曲线的两支之间，则t的取值范围为 .
题型05 利用定义求双曲线的焦半径
【典例】设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
利用定义求双曲线的焦半径
若点P在以F1，F2为焦点的双曲线上，则由双曲线的定义可得故已知双曲线的一条焦半径时，可用双曲线的定义求得它的另一条焦半径，但要注意检验所求得的两解是否都符合题意.
【变式5-1】已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ）
A．20 B．22 C．28 D．36
【变式5-2】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ．
题型06 与双曲线有关的轨迹问题
【典例6-1】（24-25高二上·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
两种方法搞定与双曲线有关的点的轨迹问题
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，若符合双曲线的定义，从而得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴．(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．　
【变式6-1】已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
题型07 双曲线的焦点三角形问题
【典例7】设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ．
双曲线的焦点三角形求解策略
1．双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形．对于双曲线的焦点三角形问题常利用双曲线定义结合三角形有关知识(正、余弦定理、面积公式)求解，要注意把握整体思想的应用．
2．双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
【变式7-1】（24-25高二下·安徽·月考）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式7-2】（24-25高二上·河北衡水·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点，
(1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程；
(2)若，求的值．
题型08 双曲线中的距离最值问题
【典例8-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）(24已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．
【典例8-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ．
双曲线中的距离最值求解策略
1.在遇到双曲线中线段和或的最值问题时，常利用双曲线的上点的性质（）及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解.
2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.
【变式8-1】（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
【变式8-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 .
题型09 双曲线的实际应用
【典例9】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
双曲线的实际应用
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.
【变式9-1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ）
A．3米 B．米 C．米 D．米
【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型10 双曲线与向量、复数模长交汇问题
【典例10-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为 .
【典例10-2】（2025·江西·模拟预测）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为 .
双曲线与向量、复数的模长交汇问题
平面向量与复数的一类模长问题可转化为点到两定点间距离之差或差的绝对值为定值的问题，对于这类问题，常进一步转化为双曲线问题求解.
【变式10】（24-25高二下·上海·开学考试）平面向量为两个相互垂直的单位向量．，满足，，则在方向上的数量投影的取值范围是 ．
练基础
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D. (，0)
2．（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
3．（24-25高三下·广西·阶段练习）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（ ）
A．1 B．1或9 C．9 D．3
4.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6（24-25高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A． B． C． D．
7.（多选）（24-25高二·全国·单元测试）过点且的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知曲线，则（ ）
A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线
9．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ．
10.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
12．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C的轨迹L的方程．
13．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知双曲线C：的焦点为4，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)双曲线C的两个焦点是，，双曲线上有一点P，，求的面积．
14．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线的焦距为,
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
练提升
15．（24-25高二上·江西·月考）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
16.（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A．不存在 B．8 C．7 D．6
18. (多选)（24-25高二上·贵州铜仁·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹是椭圆
B．若，则点的轨迹为圆
C．若，则点的轨迹为双曲线
D．若，则点的轨迹为一条线段
19.(多选)（24-25高三上·浙江·期末）已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
20.(24-25高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ．
21．（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ．
22．（24-25高二上·河北保定·期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为 .
23.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．
(1)求的轨迹的方程；
(2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标．
24．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)当时，求的面积.
(3)求的取值范围.
练创新
25．（23-24高二上·安徽·阶段练习）根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（ ）

A． B． C． D．
26．（24-25高二下·上海金山·期中）在平面中，非零向量满足，，则的最小值为 ．
27．（24-25高二·上海·随堂练习）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
(1)求最小直径圆面的面积；
(2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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